UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

Année 2019–2020: SMA4/M21: Analyse 6 Calcul intégrales et formes di¤érentielles

Correction : 5-7–9-10-11-15 Exercices suplémentaires

.

Exercice 5

.Calculer les intégrales curvilignes le long des courbes Cindiquées:

(a)

^R_C(x+y+z)dx+ (x)dy+ (xy)dz;

C:le segment reliant les points(1;2;1)à (2;1;0):

Un vecteur directeur deC est donné par;(2;1;0) (1;2;1) = (1; 1; 1):

Une paramétrisation deC est donnée par:

(x(t); y(t); z(t) =t(1; 1; 1) + (1;2;1);donc x(t) =t+ 1; y(t) = t+ 2; z(t) = t+ 1;0 t 1:

R

C(x+y+z)dx+ (x)dy+ (xy)dz

=R1

0((t+ 1) + ( t+ 2) + ( t+ 1) (t+ 1) (t+ 1)( t+ 2))dt R1

0( 2t+ 3) ( t²+t+ 2))dt=R1

0(1 +t² 3t)dt

=h

t+^t₃^{3 3}₂t²i1

0= 1 +¹₃ ³₂ = ¹₆:

(b)

^R_Czdx+xdy+ydz;

C:r(t) = (cos(t);sin(t); t)du point(1;0;0) au point(1;0;4 ):

On a0 t 4 ; R

Czdx+xdy+ydz=R4

0 (t( sint) + cost(cost) + sint)dt R4

0 tsintdt+R4

0 cos²tdt+R4 0 sintdt En intégrant par partie, cos²(t) = ^1+cos(2t)₂ ;on obtient:

R

Czdx+xdy+ydz= 4 + 2 + 0 = 6 :

(c)

^R_C ^y

x²+y²dx+ x x²+y²dy;

oùC est l’arc du cerclex²+y²= 9 reliant les points (3;0)et (3p

3 2 ;3

2)dans le sens contraire d’une montre:

Une paramétrisation de la coube C:x(t) = 3 cost; y(t) = 3 sint;0 t ₄: ((x(t); y(t)) = (3;0))cost= 1; sint= 0)t= 0:

((x(t); y(t)) = (^3p₂³;³₂))cost=^p₂³; sint= ¹₂ )t= ₃: R₃

0 ( ^{3 sin}₉ ^t( 3 sin(t) +^{3 cos}₉ ^t(3 cost)))dt=R₃

0 dt= ₃:

(d)

^R_C(x²y)dx+ (xy²)dy;

C est l’arc du cerclex²+y²= 1reliant les points(1;0) et( p2

2 ; p2

2 ) dans le sens contraire d’une montre:

Une paramétrisation de la coube C:x(t) = cost; y(t) = sint;0 t ₄: R

C(x²y)dx+ (xy²)dy=R ₄

0 (cos²(t) sin(t)( sin(t)) + (cos(t) sin²(t) cos(t))dt R

C(x²y)dx+ (xy²)dy=R₄

0 0dt= 0:

(e)

^R_C(3x²+ 6y)dx+ ( 14yz)dy+ 20xz²k;

Cest le chemin reliant les points(0;0;0) et(1;1;1)formé par des segments reliant(0;0;0) a(1;0;0);puis(1;0;0)à(1;1;0);et(1;1;0)à(1;1;1):

On aC=C1[C2[C3;

Une paramétrisationC1:x(t) =t; y(t) = 0; z(t) = 0;0 t 1:

R

C1(3x²+ 6y)dx+ ( 14yz)dy+ 20xz²dz=R1

0 3t²dt= 1:

Une paramétrisationC₂:x(t) = 1; y(t) =t; z(t) = 0;0 t 1:

R

C2(3x²+ 6y)dx+ ( 14yz)dy+ 20xz²dz=R1

0 3 + 6tdt= 6:

:Une paramétrisationC3:x(t) = 1; y(t) = 1; z(t) =t;0 t 1:

R

C3(3x²+ 6y)dx+ ( 14yz)dy+ 20xz²dz=R1

0((9 14t+ 20t²)dt=²⁶₃: R

C(x²y)dx+ (xy²)dy= 1 + 6 +²⁶₃ = ⁴⁷₃:

Exercice 7

(a)

Démontrer que le champ de vecteurs

F(x; y; z) = (2xy+z³)i+x²j+ (3xz²)k dérive d’un potentielf(x; y; z). Déterminerf:

Le champ F est dé…ni surR³;

y (2xy+z³) = 2x= _x((x²)

z (2xy+z³) = 3z²= _x(3xz²)

z(x²) = 0 = _y(3xz²):

Le champ de vecteurs F(x; y; z)dérive d’un potentiel f tel que:

8>

<

>:

f(x;y;z)

x = (2xy+z³)(1)

f(x;y;z)

y =x² (2)

f(x;y;z)

z = (3xz²) (3)

En intégrant (1), on af(x; y; z) =x²y+z³x+h(y; z):

En dérivant (2), on a ^f(x;y;z)_y = (x²)+ ^h(y;z)_y = (x²):

h(y;z)

y = 0)h(y; z) =g(z):

f(x;y;z)

z = 3xz²+g⁰(z) = 3xz²)g⁰(z) =c)g(z) =c::

On obtient

f(x; y; z) =x²y+z³x+c:

(b)

Calculer l’intégrale curviligne deF le long d’une courbe C lisse reliant les points(1; 2;1)et (3;1;4):

La formeF:drest exacte, et donc:

R

CF:dr=f(3;1;4) f(1;2;1)

Exercice 9.

En utilisant le théorème de Green-Riemann, calculer les intégrales curvilignes suivantes:

(a)

^R_Ce^x+ydx+e^{x y}dy;

C est le triangle de sommets(0;0);(2;0);(2;1):

R

Ce^x+ydx+e^{x y}dy=R2 0

R^x₂

0 (e^{x y} e^x+y)dydx

=R2

0( e^{x y} e^x+y)

x 2

0dx=R2

0( e^x2 e^32x+ 2e^x)dx= ²₃(e 1)³:

(b)

^R_C(2x³ y³)dx+ (x³+y³)dy,

C est la frontière, orientée dans le sens positif, de la région D bornée par les cercles x²+y²= 1 et x²+y²= 9.

b)

^R_C^{(2x3 y3)dx+ (x3+y3)dy=ZZ}

D

(3x²+ 3y²)dxdy:

D=f(r; )=1 r 3;0 2 g R

C(2x³ y³)dx+ (x³+y³)dy=R2 0

R3

1 3r²rdrd = 120 : Exprimer cette intégrale curviligne comme une intégrale simple, sans la calculer, de la forme Rb

af(t)dt.

(c)

^R_C(2xy)dx+ (y²)dy;

C est la courbe fermée formée pary= x

2; y=pxentre(0;0);(4;2):

c)

^R_C(2xy)dx+ (y²)dy= ZZ

D

(0 2x)dxdy=R2 0

R2y

y²( 2x)dxdy= ⁶⁴₁₅:

(d)

^R_C(x²+ 4xy)dx+ (2x²+ 3y)dy;

C est la courbe d’équation9x²+ 16y²= 144:

d)

^R_C(x²+ 4xy)dx+ (2x²+ 3y)dy= ZZ

D

(4x 4y)dxdy= 0:

En utisant la symétrie ou en calculant directement.

(e)

^R_C(2x+y²)dx+ (x²+ 2y)dy

C est la courbe férmée déterminée par: y= 0, x= 2; y= x³ 4 :

e)

^R_C(2x+y²)dx+ (x²+ 2y)dy= ZZ

D

(2x 2y)dxdy

=R2 0

R^x₄³

0 (2x 2y)dydx=R2

0(^x₂^{4 x}₁₆⁶)dx= ⁷²₃₅: .

Exercice 10.

^. Calculer les intégrales de surfaces suivantes:

(a)

^RR_SF:ndA; F(x; y; z) = (e^y; e ^2z; e^2x); S est la surface déterminée par:

r(u; v) = 3 cos(u)i+ 3 sin(u)j+vk;0 u

2;0 v 2:

(Voir page 92), on a

N = 0

@ i j k

3 sinu 3 cosu 0

0 0 1

1

A= 3 cosui +3 sinuj+ 0k:

hF; Ni= 3e^{3 sinu}cosu+ 3e ^2vsinu RR

SF:ndA=R₂

0

R2

0(3e^{3 sinu}cosu+ 3e ^2vsinu)dvdu R₂

0 (3e^{3 sinu}cosuv ³₂e ^2vsinu)²₀du=R ₂

0 (6e^{3 sinu}cosu ³₂e ⁴sinu+³₂sinu)du

= 2e^{3 sinu}+³₂e ⁴cosu ³₂cosu ₀² = 2e^{3 3}₂e ^{4 1}₂:

(b)

^RR_SF:nds; F(x; y; z) = (x y²)i+ 3yj+ (x³ z)k:

S est l’ellipsoïde4x²+ 4y²+z²= 4:

b)

On utilise le théorème de divergence,divF = 1 + 3 1 = 3:

RR

SF:nds= ZZZ

S

div(F)dxdydz= ZZZ

S

3dxdydz RR

SF:nds= 3vol(S) = 3 ⁴₃ (2) = 8 : Car S:x²+y²+^z₂²2 1:

(c)

Exprimer l’intégrale de surfaceRR

SF:nds; F(x; y; z) =xi+yj+zk;

S est la sphèrex²+y²+z²= 1;en fonction du volume de la sphèreS:

c)

Le champ de vecteursF et la syrfaceF véri…ent les conditions du théorème de divergence, on a :

div(F) = _xx+ _yy+ _zz= 1 + 1 + 1 = 3:

D’après le théorème de divergence, on a

RR

SF:nds= ZZZ

S

div(F)dxdydz= ZZZ

S

3dxdydz= 3 ZZZ

S

dxdydz= 3vol(S)

Le volume de la sphère de rayonrest égal à ⁴₃ r³:Donc, RR

SF:nds= 3vol(S) = 3⁴₃ (1)³= 4 : Véri…ons le résultat en calculons directement:

En utilisant la symétrie de la S est la sphèrex²+y²+z²= 1;

RR

SF:nds= 2RR

S1F:nds S1 est la demi-sphèrez=f(x; y) =p

1 x² y²; dé…nie surD= (x; y)=x²+y² 1 ;

(la normalenest dirigée vers le haut).

D’après la dé…nition de l’intégrale de surface, on a:

RR

S1F:nds= ZZ

D

( x _xf y _yy+f(x; y))dxdy

= ZZ

D

(p ^x2

1 x² y² +p ^y2

1 x² y² +p

1 x² y²)dxdy:

car _xf = p ^x

1 x² y²; _yf = p ^y

1 x² y²: En utilisant les coordonnées, on a

RR

S1F:nds= ZZ

D

p 1

1 x² y²dxdy=R2 0

R1 0

p r

1 r²drd RR

S1F:nds= lim_b!1R2 0

Rb 0

p r

1 r²drd = 2 : RR

SF:nds= 2 RR

S1F:nds= 4 :

Exercice 11.

(a)

Calculer directement l’intégrale de surface:

RR

SRotF:nds; F(x; y; z) =x²i+y²j+z²k:

à travers le côté éxtérieur de S, où S est la demi-sphèrez=p

1 x² y²: Véri…er ce résultat en utilisant la formule de Stokes.

a)

On a : RotF = 0

@

i j k

x y z

x² y² z² 1

A= 0i+ 0j+ 0k; donc RR

SRotF:nds= 0:

CalculonsR

CF:dr; Cla frontière déterminée par;C= (x; y;0)=x²+y²= 1 : paramétriée parx= cost; y= sint; z(t) = 00 t 2 ;

R

CF:dr=R2

0 (cos²(t)( sin(t)dt) + (sin²(t)(cos(t)dt) = 0

(b)

Véri…er le théorème de Stokes: F(x; y; z) =yi x²j+ 2z²k;

S est la région du parabolïdez= 4 x² y²; au dessus du plan xy.

la normalenest dirigée vers le haut.

b)

La frontière deS est déterminée parC= (x; y;0=x²+y²= 4 : Une paramétrisation de C est donnée par :

x(t) = 2 cost; y(t) = 2 sint; z(t) = 0;0 t 2 : R

CF:dr=R

Cydx x²dy+ 2z²dz=R2

0 ( 4 sin²t 8 sin³t) = 4 : En utilisant le théorème de Stokes, on a:

RotF = 0

@

i j k

x y z

y x² 2z² 1

A= ( 2x 1)k

RR

SRotF:nds= ZZ

D

(2x+ 1)dxdy=R2 0

R2

0 (2 cos 1)rdrd = 4 :

(c)

En utilisant le théorème de Stokes, calculer l’intégrale curviligne;

R

Cx²ydx+y²zdy+xzdz:

où C est l’intersection entre le planx+ 3y+z= 4et le cylindrex²+y²= 1;

la normalenest dirigée vers le haut.

c)

On a:

RotF= 0

@

i j k

x y z

x²y y²z xz 1

A= y²i zj x²k:

La normaleN du planx+ 3y+z= 4est égale à(1;3;1):

Doncn= ^N

kNk = p¹

11(1;3;1) ethRotF; ni=p¹

11(y² 3z x²):

D’après le théorème de Stokes:

R

Cx²ydx+y²zdy+xzdz= ZZ

S

hRotF; nids= p¹ 11

ZZ

S

(y²+ 3z+x²)dS:

S la surface déterminée parz=g(x; y) = 4 x 3y dé…nie surD= (x; y)=x²+y²= 1 :

D’après remarque 10, page87, on a,

ZZ

S

f ds= ZZ

D

f(x; y; g(x; y) r

g x

2

+ ( _yy^g)²+ 1dxdy

ZZ

S

hRotF; nids= p¹ 11

ZZ

S

(y²+ 3z+x²)dS ZZ

S

hRotF; nids=p¹ 11

ZZ

D

(y²+ 3(4 x 3y) +x²) q

(1)²+ (3)²+ 1dxdy

ZZ

S

hRotF; nids= ZZ

D

(y²+ 12 3x 9y+x²)dxdy

En utilisant les coordonnées polaires, on a ZZ

S

hRotF; nids= R2 0

R1

0(r² 3rcos 9rsin + 12)rdrd = ²⁵₂ :

Exercice 15

^{. Pour toutz=x+}iy;on dé…nit la fonction

:

f(z) =e^{x2 y2}cos(2xy) +ie^{x2 y2}sin 2xy:

(a)

Déterminer l’ensemble où la fonctionf est holomorphe et calculer sa dérivée .

Les fonctionsf(z) =e^{x2 y2}cos(2xy) +ie^{x2 y2}sin 2xyest continue surC De plus les fonctionsu(x; y) =e^{x2 y2}cos(2xy)etv(x; y) =e^{x2 y2}sin 2xy sont de classeC¹ surR²:De plus

x(e^{x2 y2}cos(2xy))) = 2xe^{x2 y2}cos(2xy) 2ye^{x2 y2}sin(2xy) = _ye^{x2 y2}sin 2xy

y(e^{x2 y2}cos(2xy))) = 2ye^{x2 y2}cos(2xy) 2xe^{x2 y2}sin(2xy) = _xe^{x2 y2}sin 2xy D’après la réciproque du théorème2.3.1( page 18), la fonction est dérivable

surC, et on a:

f⁰(z) = 2xe^{x2 y2}cos(2xy) 2ye^{x2 y2}sin(2xy)+i(2ye^{x2 y2}cos(2xy)+2xe^{x2 y2}sin(2xy)):

Autre méthode. On peut remarquer queRe(z²=x² y²;Im(z²) = 2xy;

donc d’après la dé…nition de l’exponentielle, on af(z) =e^z2;

par conséquentf(z)est dérivable surCcomme composée de deux fonctions dérivables sur Cet on af⁰(z) = 2ze^z2:

(b)

Déterminer une constanteatelle que la fonctionu(x; y) = sin(x) cosh(ay) soit harmonique et déterminer sa conjuguée.

Pour que que la fonctionu(x; y) = sin(x) cosh(ay)soit harmonique u= (1 a²) sin(x) cosh(ay) = 0;on obtienta= 1oua= 1:

Dans les deux cas, on au(x; y) = sin(x) cosh(y):

Ses conjuguéesv(x; y)véri…ent :

v

y = ^u_x= cos(x) cosh(y))v(x; y) = cos(x) sinh(y) +h(x)

v

x= sin(x) sinh(y) +h⁰(x) = ^u_y = sin(x) sinh(y))h(x) =c:

Les conjugées deusont déterminées par : v(x; y) = cos(x) sinh(y) +c:

(c)

Déterminer une constanteatelle que la fonction u(x; y) =e x

2 cos(ay) soit harmonique et déterminer sa conjuguée.

c)

a= ¹₂ ,u(x; y) =e x

2 cos(¹₂y)etv(x; y) = e x

2 sin(^y₂) +c: