UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat

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Année 2019–2020: SMA4/M21: Analyse 6 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

Correction-Exercices suplémentaires 1-2-3-4

Exercice 1.

Calculer l’intégrale suivante:

(a)

^R₀^2R₀^{p4 x2}(x+y)dydx

a)

^R₀^2R₀^{p4 x2}(x+y)dydx=R2 0

hxy+^y₂²i^p4 x²

0 dx=R2 0(xp

4 x²+⁴₂^x2)dx= h 1

3(4 x²)³² + 2x ^x₆³i2

0= 4 ⁸₆+⁸₃ = ¹⁶₃:

(b)

^R₀^1R1_y2ye^x2dxdy

b)

^R₀^1R1_y2ye^x2dxdy=R1 0 y(R1

y²e^x2dx)dy, on ne peut pas déterminer (R1

y²e^x2dx) car on ne peut pas exprimer ex- plicitement

la primitive de la fonctione^x2:D’après les bornes, le domaineDd’intégration est donné par.

0 y 1; y² x 1;

Puisque D est un domaine régulier, d’après le théorème de Fubini, on peut inverser d’intégration:

D est aussi déterminé par : 0 x 1;0 y px:On alors:

R1 0

R1

y²ye^x2dxdy=R1 0

R^px

0 ye^x2dydx=R1 0

hy² 2e^x2i^px

0 dx

=R1 0

x

2e^x2dx=h

1 4e^x2i1

0=^e₄¹:

(c)

^RR_S(_1+x²2)dA;

S est le triangle dont les sommets sont(0;0);(2;2) (0;2):

c)

Le domaineS est borné par les droitesy= 0; y= 2ety =x:

DoncS est déterminé par: 0 y 2;0 x y;on a, RR

S(_1+x²2)dA=R2 0

Ry

0(_1+x²2)dxdy=R2

0 [2Arctan(x)]^y₀dy=R2

0 2Arctan(y)dy En intégrant par partie, on obtient:

RR

S(_1+x²2)dA= 2yArctan(y) ln(1 +y²) ²₀= 4Arctang(2) ln(5):

(d)

^R2₂^Rpp4₄^x_x²2e^x2+y2dydx:

1

d)

D’après les bornes, le domaineD est le disque; x²+y² 4;

En passant aux coordonnés polaires

x=rcos ; y=rsin ;

le domaineDest déterminé par:

0 r 2;0 2 : R2

2

R^p4 x²

p4 x²e^x2+y2dydx=R2 0

R2

0 e^r2rdrd = (e⁴ 1)

Exercice 2.

(a)

Evaluer géometriqument RR

T(x+y)dA

sans utiliser les méthodes de calcul oùT désigne la région délimitée par le parallélograme dont les sommets sont (2;2);(1; 1);( 2; 2);( 1;1):

a)

En utilisant la symétrie par rapport àxet y:

RR

T(x+y)dA=RR

TxdA+RR

TydA RR

T(x+y)dA=R1 1

R(x)dydx+R2

2

R(y)dxdy= 0 + 0 = 0:

(b)

Evaluer RR

T(xy)dA où T désigne la région délimitée par : y=x² et y= 1:

(c).

^{Calculer RR}_D^4xydA;où D est la région bornée par les graphes d’équations: y=x+ 1 et x= 1 y²:

c)

Le domaine es borné par la droitex=y 1et la parabolex= 1 y² Déterminons les points d’intersections des deux courbes:

y 1 = 1 y²()y²+y 2 = (y 1)(y+ 2) = 0()y = 1ouy= 2:

Le domaineD est déterminé par : 2 y 1; y 1 x 1 y²: RR

D4xydA=R1 2

R1 y²

y 1 4xydxdy=R1

2 2x²y ^{1 y}

2

y 1 dy=²⁷₂:

(d)

CalculerR R

S

p4 x² y²dA;S est la région dans le premier quadrant bornée par le cercle x²+y²= 4,y= 0 et y=x:

d)

En passant aux coordonnées polaires, on obtient:

R R

S

p4 x² y²dA=R ₄

0

R2 0(p

4 r²)rdrd

=h

1

3(4 r²)³²i2

0(₄) =⁸₃(₄) =²₃ :

Exercice 3.

On considère l’intégrable double : (*)R^p3

p3

R^p3 x² p3 x²(p

4 x² y² 1)dydx:

a)

Déterminer et représenter graphiquement le domaine d’intégrationD:

a)

Le domaine est déterminé par le disque borné par le cerclex²+y²= 3:

2

D= (x; y)=x²+y² 3

b)

Calculer l’intégrale (*). Que représente la valeur de l’intégrale (*).

b)

En passant aux coordonnés polaires

x=rcos ; y=rsin ;

le domaineDest déterminé par:

0 r p

3;0 2 : R^p3

p3

R^p3 x² p3 x²(p

4 x² y² 1)dydx= R^p3 0

R2 0 (p

4 r² 1)rdrd

=h

1

3(4 r²)^{32 r}₂²i^p3 0

R2

0 d = h

1

3(1 4³²) ³₂i

(2 ) = ⁵₆2 = ⁵₃ :

La valeur de l’intégale représente le volume de l’intérieur de la sphère x²+y²+z²= 4au dessus du plan z= 1:

Exercice 4.

Calculer les intégrales triples suivantes:

(a)

^R₁^4R_z^2z₁^R₀^y+2z dxdydz= ¹⁸⁹₂

(b)

^R1₁^Rpp1₁^x2_x2

R4 x y

1 2xydzdydx R1

1

R^p1 x² p1 x²

R4 x y

1 2xydzdydx=R1 1

R^p1 x²

p1 x²[2xyz]⁴₁^{x y}dydx

=R1 1

R^p1 x²

p1 x² 10xy 2x²y 2xy² dydx= R1

1 5xy² x²y^{2 2}₃xy³

p1 x² p1 x2

dx

=R1

1( ⁴₃(1 x²)³²dx=h

4

15(1 x²)⁵²i1 1= 0:

( c)

^Rpp3₃^Rpp3₃^z2_z2

R3

y²+z²dxdydz R^p3

p3

R^p3 z² p3 z²

R3

y²+z²dxdydz= R^p3 p3

R^p3 z²

p3 z²[x]³_y2+z²dydz

=R^p3 p3

R^p3 z²

p3 z²[x]³_y2+z²dydz =R^p3 p3

R^p3 z²

p3 z² 3 y² z² dydz

En passant aux coordonnées polaires y=rcos ,z=rsin ; on a:

R^p3 p3

R^p3 z² p3 z²

R3

y²+z²dxdydz

=R2 0

R^p3

0 (3 r²)rdr=R2 0

h

3^r₂^{2 r}₄⁴i^p3

0 d =⁹₂:

3

4