UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat Année 2019–2020: SMA4/M21 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat Année 2019–2020: SMA4/M21 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

DEVOIR 2

EXAMEN FINAL20145-2016 :

Exercice 1.

On considère la fonctionF dé…nie par : F(x) =R1

0 ln(1 + 2tcosx+t²)dt:

1)

Montrer queF est dé…nie et de classeC¹sur 0;₂ : 2)Calculer explicitementF⁰(x); pour toutx2 0;₂ :

Exercice 2 .

1)

Calculer

ZZ

jx+yjdxdy;

où est l’intérieur du triangle de sommets données par les points:

A( 1; 1); B(1; 1); C(1;1):

2)

SoitD= (x; y)2R²=x 0;x²+y² 1;x²+y² 2y : a) DessinerD.

b)Calculer

ZZ

D

p(x²+y²)dxdy:

Exercice 3.

On donne le champ de vecteurs:

V(x; y; z) = (y²cos(x);2ysin(x) +e^z;2ye^z):

1)

Montrer que ce champ est champ gradient(découle d’un potentiel).

2

) Déterminer le potentielU(x; y; z)dont dérive ce champ sachant queU(0;0;0) = 1:

3)

Quelle la circulation de ce champ deA(0;1;0)àB(₂;3;0)?

(Circulation=RB A V:dr):

Exercice 4 .

1)

SoitV le demi cylindre dé…ni par:

V = (x; y; z)2R³= y 0; x²+y² R²;0 z H ; 1

oùRet H sont des réels strctement positifs.On suppose que V est homogène de masse volumique (constante) :

Déterminer le centre de masse du solideV:

2