Indications-DEVOIR 5

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UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat Année 2019–2020: SMA4/M21 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

Indications-DEVOIR 5

Exercice 1.

Démontrer que:

R1 0

ln(t) 1+t²dt=

X1 n=0

( 1)ⁿ⁺¹ (2n+1)²:

Utiliser le résultat suivant ; Sit2[0;1]alors_1+t¹2 =P₁

n=0( 1)ⁿt²ⁿ: Considérer la suiteu_n(t) = ( 1)ⁿt²ⁿln(t):

Utiliser le théorème (I.4) du cours pour conclure.

Exercice 2 .

On considère la fonctionF dé…nie sur] 1;1[;par : F(x) =R1

0 t 1 ln(t)t^xdt:

1) Montrer queF est dé…nie et de classeC¹ sur] 1;1[ Véri…er que les limites suivantes :

lim_t_!₁ _ln(t)^t ¹t^x , lim_t_!₀⁺_ln(t)^t ¹t^x existent.

2)CalculerF⁰(x);pour toutx > 1:

Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale.

3)Montrer quelim_x_!1F(x) = 0:

Véri…er quejF(x)j _x+1^M ;M une constante à déterminer.

4)Donner l’expression de F(x)pour toutx > 1 et en déduire queR1

0 t 1

ln(t)dt= ln(2):

Utilser la question 2.

Exercice 3.

1)

Soient <2 etD le domaine dé…ni par:

D= (x; y; z)2R³= 0< x²+y² z 1 : Calculer :

ZZZ

D x²

(x²+y²) dxdydz:

Utiliser les coordonnées cylindriques.

2)Soit

1

(2)

V = (x; y; z)2R³= x 0; y 0; x+y z 1 :

DessinerV et calculer son volume.

V = ¹₆:

Exercice 4 .

Soit! la forme di¤érentielle dé…nie surR²par :

!(x; y) = (y² x²)dx 2xydy:

1)

!est-elle fermée? exacte?

Non

2

) On considère les deux pointsO(0;0)et A( ;0):

a)CalculerI=R

1! et J=R

2! où ₁ est le segmentOA

et où ₂ est le chemin allant deA àO et d’équationy= sin(x);0 x : ComparerI etJ:Conclure:

I= ₃³; J = ₃³ : On aI6= J =R

2!, ₂est le chemin allant deO à A:

L’intégrale dépend du chemin suivi,!n’est pas exacte.

b)Retrouver la valeur deI+J par la formule de Green-Riemann.

I+I=R

0(Rsin(x)

0 4ydydx= (à véri…er)

3)Véri…er quef(x; y) =_(x2+y¹²)² est un facteur intégrant de!surR²n f(0;0)g et trouver une primitive de =f !surR²n f(0;0)g:

Véri…er que:

f(x(y)y² x²)

y = f(x(y)( 2xy) y

4)SoitC le cercle de rayonR et de centreO(0;0):

DéterminerR

C = 0 (Justi…er):

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