3)Montrer que pour toutx >0;R1 0 tx 1e tdtest convergente

UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat Année 2019–2020: SMA4/M21 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.

Concours National d’admission aux grandes écoles d’ingénieurs-Maroc-1999. Troisième partie.

1)Montrer que la suite u_n = 1 +¹₂+¹₃+:::+_n¹ ln(n)converge vers un réel positif appelée constante d’Euler.

2):a)Démontrer que pour touts 1;l’intégrale R₁

0

e ^t e ^st

t dt

est convergente et que sa valeur est égale àln(s) (Indication:On pourra montrer que por" >0 on a :

R₁

"

e ^t e ^st

t dt=Rs"

"

e ^t t dt):

b)Montrer alors que : limn!1 R₁

0 (e ^t+e ^2t+::::+e ^{nt e t} _t^{e nt})dt= : c)Déduire de la question précédente que l’intégraleR₁

0 (₁ ¹_e t 1 t)e ^tdt converge et que sa valeur est égale à :

d)En déduire après justication de la convergence, queR₁

0 e ^tln(t)dt vaut .

3)Montrer que pour toutx >0;R₁

0 t^{x 1}e ^tdtest convergente.

On note par l’application de…nie sur]0;1[par (x) =R₁

0 t^{x 1}e ^tdt:

4)Démontrer que pour toutn2N ett2[0; n]on a 1 _n^{t n} e ^t: 5)Montrer que la fonction x!xe ^x est bornée sur[0;1[.

On poseM = sup_{x 0}xe ^x.

6)On poseu_n(t) =e ^t 1 _n^{t n};0 t n:

a)Trouver une fonction v_n tele que8t2[0; n];on au⁰_n(t) =e ^tv_n(t):

b)Etudier les variations de v_n sur[0; n]et en déduire qu’il existe un unique _n 2]0; n[ tel quev_n( _n) = 0:

c)Montrer queu_n( _n) = ^ne_n ⁿ:

d)Etudier les variations deun sur[0; n]et en déduire que : 8t2[0; n], 0 un(t) ^M_n:

7)Soit" >0:

a)Montrer qu⁰il existe X >0 tel queR₁

X t^{x 1}e ^tdt ":

Un tel X sera …xé pour toute la suite de cette question.

b)On pose

fn(t) = 1 _n^{t n} si0 t n

0 si t n:

Véri…er quef_n est continue sur[0;1[et que :

1

8n X;0 RX

0 t^{x 1}e ^tdt RX

0 t^{x 1}f_n(t)dt ^{M X}_xn^x: c)Déduire de ce qui précéde que pour tout x >0, on a :

limn!1Rn

0 1 _n^{t n}t^{x 1}dt= (x):

8)a)Montrer que : 8n 1;Rn

0 1 _n^{t n}t^{x 1}dt=n^xR1

0(1 y)ⁿy^{x 1}dy:

b)En déduire, à l’aide d’intégration par parties, que pour x >0 on a (x) = lim_n!1 ^{nx n!}

x(x+1):::(x+n):

9)Montrer que pour toutx >0, le produit in…ni Y

n 1

(1 + ^x_n)e^nx est convergent et que :

1

(x) =xe ^x Y1 n=1

(1 +^x_n)e^nx:

2