EXAMEN FINAL2016-2017 . (A rendre avant le 27 Mai)

(1)

Pour toutn2N;on pose : I_n=R1 0

xⁿ p1 x³dx:

1:Montrer queI_n existe,8n2N:

( Indication: utiliser le changement de variabley = 1 x):

2:Calculer la limite deIn quandn! 1:

On considère la fonctionF dé…nie, pour toutx 0;par : F(x) =R1

0 e ^xtln(t)dtdt:

1)CalculerF(0):

Montrer queF est dé…nie pour tout x 0:

3)Montrr que F est de classeC¹ sur]0;1[ 4)Calculer explicitementF⁰(x); pour toutx >0:

5)Trouver une équation di¤érentielle véri…ée par F et en déduire l’expression deF:

SoitD une plaque homogène deR²de densité surfacique et délimitée par les deux paraboles d’équations:

y= 2px²et x= 2qy²; avecpet qdeux reéls distincts strictement positifs.

) DessinerD.

2)Déterminer la masse de la plaqueD.

3)Déterminer le centre de masse M de la plaqueD.

SoitK= (x; y; z)2R³= x²+y² zx 0;0 z 1 : Calculer de deux manières di¤érentes, l’intégrale suivante:

ZZZ

K

z(x²+y²)dxdydz:

1

(2)

On considère le champ de vecteurs deR² dé…ni par : V(x; y) = (x+y²; x+y²):

Le champV dérive-t-il d’un potentiel? Justi…er votre réponse.

) Calculer la circulation du champV le long du périmétre

du triangleOABparcouru dans le sens positif; avecO(0;0)A(2;0)àB(0;1):

a)Par intégrale curviligne.

b)Par application du théorème de Green-Riemann.

2