Barycentres. Coordonnées dans l'espace ; plans de l\'espace.

(1)

NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Exercice 1

1) Dans chaque cas, écrire le point A comme barycentre des points B et C : B A C

--|--|--|--|--|--|--|--|-- CA 3ABJJJG= JJJG

AB 3AC BC 2BA+ + = JJJG JJJG JJJG JJJG

2) Ci-dessous, les quadrillages sont carrés, les points sont placés sans ambiguïté et, là où c’est utile, des égalités de longueurs ont été indiquées. Dans chaque cas, écrire G comme barycentre des points A, B et C convenablement pondérés.

G bar A B C G bar A B C G bar A B C G bar A B C

Exercice 2

L’espace est rapporté à un repère (O, I, J, K). On appelle E l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ; z) dans le repère vérifient -2x + 5y – 3z = 4. Il s’agit de prouver que E est un plan. Les points A

5 0 2

− 

 

  , B

4 0 4

 

 

− 

  , C

2 0 0

− 

 

  et D

6 1 1

− 

− 

 

 

sont dans E (on ne demande pas de le prouver).

1) Ecrire les coordonnées de 2 points R et S de E (distincts de A, B, C et D), et de 2 points U et V ne se trouvant pas dans E.

R S U V

2) Quelles propriétés mathématiques

essentielles utiliser pour prouver que (CBD) est un plan ?

3) Peut-on parler de même du plan (ABC) ? Prouver la réponse.

4) a) Prouver que, pour n’importe quel point M du plan (CBD), il est certain qu’il y a deux nombres a et b tels que CM aCB bCDJJJJG= JJJG+ JJJG

.

b) Prouver que tout point M de (CBD) est aussi un point de E.

A bar B C A bar B C A bar B C A bar B C

(2)

NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes 5) Soit un point P(x ; y ; z) de l’espace. La seule chose connue de P est que c’est un point de E.

a) Pour prouver que le point P est dans (CBD), il suffit de résoudre un système

d’équations. Ecrire ce système en précisant les inconnues.

b) Ecrire les solutions de ce système (on ne demande pas de présenter la résolution).

c) Ecrire alors CPJJJG

à l’aide de CB et CD

JJJG JJJG .

d) Que peut-on conclure de l’étude de cette question 5) ? Exercice 3 (à faire pour le )

Les droites (AB) et (AC) ne sont pas confondues.

1) Placer les points D, E et F tels que : D est le barycentre de (A ; 3) et (C ; -1), E est le barycentre de (A ; 2) et (B ; 1) et F est le barycentre de (A ; -1), (B ; 1) et (C ; 1).

Il s’agit de prouver que les points D, E et F sont alignés.

Ci-dessous et au dos de cette feuille en cas de besoin,

2) prouver que F est le barycentre de (A ; 2), (B ; 1) et (D ; -2).

3) en déduire que D, E et F sont alignés.

(3)

Eléments pour un corrigé Exercice 1

1) Dans chaque cas, écrire le point A comme barycentre des points B et C : B A C

--|--|--|--|--|--|--|--|-- CA 3ABJJJG= JJJG

AB 3AC BC 2BA+ + = JJJG JJJG JJJG JJJG

2) Ci-dessous, les quadrillages sont carrés, les points sont placés sans ambiguïté et, là où c’est utile, des égalités de longueurs ont été indiquées. Dans chaque cas, écrire G comme barycentre des points A, B et C convenablement pondérés.

G bar A B C G bar A B C G bar A B C G bar A B C

2 3 3 2 1 3 3 -1 1 6 3 2

Exercice 2

L’espace est rapporté à un repère (O, I, J, K). On appelle E l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ; z) dans le repère vérifient -2x + 5y – 3z = 4. Il s’agit de prouver que E est un plan. Les points A

5 0 2

− 

 

  , B

4 0 4

 

 

− 

  , C

2 0 0

− 

 

  et D

6 1 1

− 

− 

 

 

sont dans E (on ne demande pas de le prouver).

1) Ecrire les coordonnées de deux points R et S de E et de deux points U et V ne se trouvant pas dans E.

Par exemple

R (-0,5 ; 0 ; -1) S (0,5 ; 1 ; 0) U (0 ; 0 ; 0) V (1 ; 1 ; 1)

2) Quelles propriétés

mathématiques essentielles utiliser pour prouver que (CBD) est un plan ?

(th.1) : dans l’espace, trois points définissent un plan si et seulement s’ils ne sont pas alignés.

(th.2) : trois points A, B et C ne sont pas alignés si et seulement si ABJJJG et ACJJJG

ne sont pas colinéaires.

3) Peut-on parler de même du plan (ABC) ? Prouver la réponse.

A 5 0 2

− 

 

  , B

4 0 4

 

 

− 

  et C

2 0 0

− 

 

 

th.3→ 9 AB 0 6

 

 

− 

 

JJJG et

3 AC 0 2

 

 

− 

 

JJJG

Donc (th.4) AB 3.ACJJJG= JJJG

Par suite (définition des vecteurs colinéaires et th.2) A, B et C sont alignés : ces trois ne définissent donc (th.1) pas un plan.

Th.3 : si A

a b c

  

  

  et B

a ' b ' c '

  

  

 

dans un repère de l’espace alors

a ' a AB b ' b c ' c

 − 

 − 

 

 − 

 

JJJG

th.4 : si, relativement aux vecteurs d’un repère, u(a ;b ;c)G et v(a ' ;b ' ;c ')

G alors u( a ; b ; c)α α α αG et u v(a a ' ;b b ' ;c c')G G+ + + + 4) a) Prouver que, pour

n’importe quel point M du plan (CBD), il est certain qu’il y a deux nombres a et b tels que CM aCB bCDJJJJG= JJJG+ JJJG

.

(CBD) étant un plan, les points C, B et D ne sont pas alignés et ils forment donc (th.5) un repère

(

^{C, CB, CD}^{JJJG JJJG}

)

du plan (BCD) ; par suite, tout point M a des coordonnées a et b dans ce repère, c’est à dire (définition des coordonnées d’un point dans un repère)

CM aCB bCDJJJJG= JJJG+ JJJG .

Th.5 : trois points non alignés d’un plan déterminent un repère de ce plan.

b) Prouver que tout point M de (CBD) est aussi un point de E.

Soit M un point de l’espace appartenant à (CBD) alors M(x ; y ; z) dans le repère (O, I, J, K) et CM aCB bCD= +

JJJJG JJJG JJJG . Or (par analogie à 3))

x 2 6 4

CM y et CB 0 et CB 1

z 4 1

+ −

     

    − 

     

  −   

     

JJJJG JJJG JJJG

donc (th.4)

x 2 6a 4b y b z 4a b

+ = −

 = −

 = − +



, par suite -2x + 5y – 3z = -2(6a – 4b – 2) + 5(-b) – 3(-4a + b)

donc -2x + 5y – 3z = -12a + 8b + 4 – 5b + 12a – 3b, donc -2x + 5y – 3z = 4 donc M appartient à E.

Finalement : tout point de (CBD) est aussi un point de E.

A bar B C

3 2

A bar B C

3 1

A bar B C 2 4

A bar B C -2 3

(4)

Eléments pour un corrigé

5) Soit un point P(x ; y ; z) de l’espace. La seule chose connue de P est que c’est un point de E.

e) Pour prouver que le point P est dans (CBD), il suffit de résoudre un système d’équations.

Ecrire ce système en précisant les inconnues.

x 2 6a 4b y b z 4a b

+ = −

 = −

 = − +



dont les inconnues sont a et b.

f) Ecrire les solutions de ce système (on ne

demande pas de présenter la résolution). Les nombres a et b tels que

b y a y z

4

 = −

 =− −



g) Ecrire alors CPJJJG

à l’aide de CB et CDJJJG JJJG

. _CP ^{y z}_{CB yCD}

4

=− − −

JJJG JJJG JJJG

h) Que peut-on conclure de l’étude de cette

question 5) ? Tout point de (E) est aussi un point de (BCD).

Exercice 3 (à faire pour le )

Les droites (AB) et (AC) ne sont pas confondues.

1) Placer les points D, E et F tels que : D est le barycentre de (A ; 3) et (C ; -1), E est le barycentre de (A ; 2) et (B ; 1) et F est le barycentre de (A ; -1), (B ; 1) et (C ; 1).

Il s’agit de prouver que les points D, E et F sont alignés.

Ci-dessous et au dos de cette feuille en cas de besoin,

2) prouver que F est le barycentre de (A ; 2), (B ; 1) et (D ; -2).

3) en déduire que D, E et F sont alignés.