ÉTUDE DES MATHÉMATIQUES AU LYCÉE

1

LE CÔNE ET LA SPHÈRE

ÉTUDE DES MATHÉMATIQUES AU LYCÉE

Laurent KABLA

Les éditions Le Cône et la Sphère

2018

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Table des matières

Chapitre 1 – Les nombres et les ensembles ... 3

Chapitre 2 – Relations d’ordre et intervalles ... 4

Chapitre 3 – Dérivabilité - Continuité ... 5

Chapitre 4 – Fonction dérivée et variations ... 6

Chapitre 5 – Fonction valeur absolue f(x) = IxI ... 7

Chapitre 6 – Fonction logarithme Népérien f(x) = lnx ... 10

Chapitre 7 – Fonction inverse f(x) = 𝟏𝐱 ... 12

Chapitre 8 – Fonction carrée f(x) = x² ... 14

Chapitre 9 – Fonction polynôme de degré 2 f(x) =ax² +bx + c ... 15

Chapitre 10 – Fonction exponentielle f(x) = e^x ... 17

Chapitre 11 – Compléments sur les fonctions - Résolution graphique d’équations et d’inéquations ... 19

Chapitre 12 - Primitives et intégrales ... 20

Chapitre 13 - Les nombres complexes ... 22

Chapitre 14 - Les suites ... 25

Chapitre 15 - Les droites – le plan ... 29

Chapitre 16 - Proportion – Pourcentage ... 31

Chapitre 17 - Les fonctions cosinus et sinus ... 33

Chapitre 18 - Produit scalaire de deux vecteurs ... 37

Chapitre 19 - Relations métriques dans le triangle ... 39

Chapitre 20 - Les vecteurs ... 42

Chapitre 21 - Probabilités ... 48

ANNEXE 1 - Primitives des fonctions usuelles ... 53

ANNEXE 2 - Calculs des limites ... 54

ANNEXE 3 - Le raisonnement par récurrence ... 55

ANNEXE 4 - Algorithme ... 56

3

Chapitre 1 – Les nombres et les ensembles

Il existe une infinité de nombres. Au collège et au lycée, nous en découvrons certains, regroupés au sein de quelques ensembles :

 ℕ : Les entiers naturels : Sont tous les entiers positifs ou nul

 ℤ : Les entiers relatifs : sont tous les entiers positifs, négatifs ou nul

 D : Les décimaux : sont tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient d’un nombre entier par une puissance de 10

 ℚ : Les nombres rationnels : sont tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient de 2 nombres entiers (dénominateur ≠ 0)

 ℝ : Les nombres réels : sont tous les nombres rationnels auxquels on ajoute des nombres qui ne sont pas rationnels, comme π, √2, …

 ℂ : Les nombres complexes : sont tous les nombres de la forme a + ib, avec a et b réels, et i un nombre imaginaire tel que i² = -1 Avec :

ℕ ⊂ ℤ ⊂ D ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Il existe beaucoup d’autres ensembles Mathématiques.

4

Chapitre 2 – Relations d’ordre et intervalles



Si a < b alors a + c < b + c

Si a < b et c < d alors a + c < b + d Si a < b et si c > 0 alors ac < bc Si a < b et si c < 0 alors ac > bc



Si a < b alors l’intervalle [a ; b] est l’ensemble de tous les nombres compris entre a et b, les bornes a et b comprises.

b – a est l’amplitude de l’intervalle [a ; b]

Notations :

x > a

x ϵ ]a ; +∞[

x < a  x ϵ ]- ∞ ; a[

x ≥ a  x ϵ [a ; + ∞[

x ≤ a

x ϵ ]-∞ ; a]

a < x < b  x ϵ ]a ; b[

a ≤ x < b

x ϵ [a ; b[

a < x ≤ b

x ϵ ]a ; b]

a ≤ x ≤ b  x ϵ [a ; b]

On appelle intersection de deux intervalles I et J, l’ensemble des nombres qui appartiennent à I et à J. On note I∩J.

On appelle réunion de deux intervalles I et J, l’ensemble des

nombres qui appartiennent à I ou à J. On note IꓴJ.

5

Chapitre 3 – Dérivabilité - Continuité

Dérivabilité – Définitions

Soit f une fonction d’ensemble de définition D

et a un réel de D

. f est dérivable en a :

si

x→af(x) = f(a) ou si

lim

x→0

f(a+h)−f(a)

h

est finie.

τ(h) =

h

est le taux d’accroissement de f en a et est noté f’(a), nombre dérivé de la fonction f en a.

f’(a) est le coefficient directeur de la tangente à C

en a.

Equation de la tangente à C

en a : Y

= f(a)(x-a) + f(a)

Continuité – Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a une réel de I. La fonction f est continue en a si lim

x→a

f(x) = f(a)

Remarques : si f est continue sur I alors elle est continue en a. Si f est

dérivable sur I alors elle est continue sur I.

6

Chapitre 4 – Fonction dérivée et variations

 Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a et b deux réels de I tels que a < b.

Si f(a) < f(b) alors f est croissante sur I, Si f(a) > f(b) alors f est décroissante sur I.

 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. La fonction dérivée de f est la fonction notée f’

Pour tout réel x de I :

Si f’(x) ≥ 0 alors f est croissante sur I Si f’(x) ≤0 alors f est décroissante sur I

Si f’(x) s’annule en changeant de signe en a alors f(a) est un extremum local de f sur I.

 Calculs de dérivées

Soit U et V, deux fonctions définies sur un même intervalle I :

[U(x) + V(x)]’ = U’(x) + V’(x) [U(x) x V(x)]’ = U’(x)V(x) + U(x)V’(x) [U(x)

V(x)]

′

= U^′(x)V(x) − U(x)V′(x) V²(x)

[_U(x)¹ ]′ = −^U′(x)

V²(x)

Soit k un réel [kU(x)]’ = kU’(x)

7

Chapitre 5 – Fonction valeur absolue f(x) = IxI

Condition : Df

= R = ]-∞ ; +∞[

Si x > 0 alors f(x) = x

Si x < 0 alors f(x) = -x

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Distance :

Soit (d) une droite du repère (O ; I). Soit M et N, deux points de (d) d’abscisses respectives x et y. On note d(x ; y) la distance MN.

Si x ≤ y alors d(x ; y) = y – x Si x ≥ y alors d(x ; y) = x – y

Pour tout réel x, on définit la valeur absolue de x, notée |𝑥| = d(0 ; x), donc d(x ; y) = |x − y|

Propriétés :



|𝑥| ≥ 0 et |𝑥| = 0 pour x = 0



|𝑥| = { x si x ≥ 0

−x si x ≤ 0



|−𝑥| = |𝑥|



|𝑥| = |𝑦| si et seulement si x = y ou x = -y



√𝑥

= |𝑥|



|x × y| = |x| × |y| et |

y

| =

|y|

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Inégalité triangulaire :



|𝑥 − 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|



|𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|



Soit a ϵ R et r > 0, on a :

|x − a| ≤ r si et seulement si x ∈ [a − r ; a + r]

10

Chapitre 6 – Fonction logarithme Népérien f(x) = lnx

Condition : x > 0

Ensemble de définition : Df = ]0 ; +∞[

Recherche des limites :

x→0+lim lnx = −∞ lim

x→+∞lnx = +∞

Conséquence :

La droite d’équation x = 0 est une asymptote verticale à la courbe.

11

Variations :

f’(x) =

Propriétés :

 Si a > 0 et b ϵ R, lna = b a = e^b

 Ln1 = 0 et lne = 1

 e^lna = a et ln(e^b) = b

 lna + lnb = ln(ab)

 ln^a

b = lna – lnb et ln¹

a = -lna

 Ln(aⁿ) = nlna et ln√a = ¹

2lna Autres limites :

limx→0xⁿlnx = 0

lim

x→+∞

lnx xⁿ

= 0

 f(x) = ln[A(x)]

Condition : A(x) > 0 étude du signe de A(x)

 f(x) = ln[A(x)B(x)]

Condition : A(x)B(x) > 0 étude du signe de A(x)B(x) par tableau de signes

 f(x) = ln[^A(x)

B(x)]

Conditions : B(x) ≠ 0 et ^A(x)

B(x) > 0 étude du signe de ^A(x)

B(x) par tableau de signes.

12

Chapitre 7 – Fonction inverse f(x) =

Condition : x ≠ 0

Ensemble de définition : Df = ]-∞ ; 0[ ꓴ ]0 ; +∞[

Recherche des limites :

 lim

𝑥→±𝑜𝑢−∞

1

𝑥 = 0 donc la courbe Cf admet la droite d’équation y = 0 comme asymptote horizontale.

 {

𝑥→0−lim

1

𝑥 = −∞

𝑥→0+lim

1

𝑥 = +∞ donc la courbe Cf admet la droite d’équation x = 0 comme asymptote verticale.

13

Variations : f’(x) =

−

𝑥² définie sur R*

Autres cas :

f(x) = ¹ U(x)

Condition : U(x) ≠ 0 définition des valeurs interdites

14

Chapitre 8 – Fonction carrée f(x) = x²

Condition : Ø

Ensemble de définition : Df = R Recherche des limites :

𝑥→−∞lim 𝑥² = lim

𝑥→+∞𝑥² = +∞

Variations : f’(x) = 2x

15

Chapitre 9 – Fonction polynôme de degré 2 f(x) =ax² +bx + c

Condition : Ø

Ensemble de définition : Df = ]-∞ ; +∞[

Variations : f’(x) = 2ax + b f’(x) = 0  x =

−

2a

Le sommet S de la parabole a donc pour coordonnées : S(

−

2a

; 𝑓(−

2a

))

L’expression ax² + bx +c, avec a ≠ 0 est appelée polynôme de degré 2. La forme générale de la courbe représentative varie en fonction du signe de a et de la valeur du discriminent ∆ = b² - 4ac.

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Les différentes formes de la fonction polynôme de degré 2 :

 Forme développée : f(x) = ax² + bx + c

 Formes factorisées ∆ ≥ 0 : f(x) = a(x-x1)(x-x2) ou a(x-x0)²

 Forme canonique : f(x) = a(x-α)² + β, avec α =

−

2a et β = f(α)

Résolution dans C de l’équation f(x) = 0 :

 Si ∆ = 0 ou si ∆ > 0, l’équation f(x) = 0 admet les mêmes solutions que dans R

 Si ∆ < 0, l’équation admet 2 solutions complexes conjuguées notées z1 et z2, avec :

z

=

2a

et z

=

2a

17

Chapitre 10 – Fonction exponentielle f(x) = e

Condition : Ø

Ensemble de définition : Df = ]-∞ ; +∞[

Recherche des limites :

𝑥→−∞

lim 𝑒

lim

𝑥→+∞

𝑒

= +∞

Variations : f’(x) = f(x) = e^x

18

Propriétés :

 e⁰ = 1

 e^-x = ¹

𝑒^𝑥

 e^(x+y) = e^xe^y

 (e^x)ⁿ = e^nx

 e^(x-y) = ^𝑒

𝑥

𝑒^𝑦 Autres limites :

𝑥→−∞

lim 𝑒

= 0 lim

𝑥→+∞

𝑒

= +∞

𝑥→−∞

lim 𝑥

𝑒

= 0 lim

𝑥→+∞

𝑒^𝑥

𝑥^𝑛

= +∞

Autre cas :

f(x) = e

19

Chapitre 11 – Compléments sur les fonctions - Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Résolution de f(x) = k

Les solutions de l’équation f(x) = k sont les abscisses des points d’intersection de la droite y=k avec la courbe Cf

Résolution de l’équation f(x) = g(x)

Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de Cf et de Cg

Résolution de l’inéquation f(x) < g(x)

Les solutions de l’inéquation f(x) < g(x) sont les abscisses des points de Cf

situés en dessous des points de même abscisse de Cg

Résolution de l’inéquation f(x) ≤ g(x)

Les solutions de l’inéquation f(x) ≤ g(x) sont les abscisses des points de Cf

situés en dessous des points de même abscisses de Cg et les abscisses des points d’intersection de Cf et de Cg

20

Chapitre 12 - Primitives et intégrales

Définitions :

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et Cf sa représentation graphique.

L’aire du domaine délimitée par Cf, les droites d’équation y = 0, x = a et x = b est notée :

A =

∫ f(x)dx

Remarque : Si f est continue et négative sur l’intervalle [a ; b] alors :

∫ f(x)dx

= -

21

Valeur moyenne :

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] avec a < b, La valeur moyenne est donnée par :

µ = ¹

b−a

∫ f(x)dx

Relation de Chasles :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I, on a :

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx

c b b

a c

a

Linéarité :

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et k un réel. Pour tout réel a et b de I, on a :

∫ (f + g)(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx

b a b

a b

a

et,

∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx

b a b

a Primitive d’une fonction :

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b] :

F(b) – F(a) =

∫ f(x)dx

22

Chapitre 13 - Les nombres complexes

Définition :

Un nombre complexe est un nombre de la forme a+ib, où a et b sont deux nombres réels et i un nombre imaginaire, tel que i² = -1

zM est l’affixe du point M. zM = a+ib

Si a = 0 alors zM = ib et zM est un imaginaire pur Si b = 0 alors zM = a et zM est un réel

23

Propriétés :

 2 nombres complexes z et z’ sont égaux si ils ont la même partie imaginaire et la même partie réelle.

 Le conjugué de z est un nombre complexe noté z̅, tel que z̅ = a-ib.

 Opérations sur les nombres complexes : On a : z = a+ib et z’ = a’+ib’

z+z’ = (a+a’) + i(b+b’) zz’ = (aa’-bb’) + i(ab’+a’b)

 Soit I le milieu du segment [AB]. zA et zB sont les affixes respectives des points A et B :

z

zA+zB

2

et

Modules et arguments d’un nombre complexe – forme trigonométrique Soit M un point d’affixe zM = a+ib

On appelle Module de zM, IzMI= OM =

√a

+ b²

{

cosθ = a IzI sinθ = b

IzI La forme trigonométrique de z est :

Z = IzI(cos

θ + isinθ)

24

Propriétés du module et de l’argument :

 2 nombres complexes sont égaux s’ils ont le même module et le même argument.

 I-zI = IzI =

√zz̅

 IzIxIz’I = Izz’I

 Arg

z̅

 Arg(zz’) = Argz + Argz’ (2π)

 Arg(-z) = π + Arg(z) (2π)

 I¹

z

I =

IzI

 I^z

z′

I =

Iz′I

 Arg

(

z

) = −Argz

 Arg(^z

z′

) = Argz − Argz

(2π)

Forme exponentielle d’un nombre complexe :

z = |z|e



e

× e

= e

 ^eiθ

e^iθ′

= e

Transformation du plan :

Translation : soit z, z’ et b 3 nombres complexes tels que z’ = z + b. La transformation qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ est la translation de vecteur U⃗⃗ d’affixe b.

Homothétie : Soit z, z’ et b 3 nombres complexes et k un réel non nul, tels que z’

– b = k(z – b). La transformation qui à tout point M d’affixe z associe le point M’

d’affixe z’ est l’homothétie de rapport k et de centre le point B d’affixe b.

Rotation : Soit z, z’ et b 3 nombres complexes et α un réel tels que z’ – b = e^i∝(z − b). La transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’

d’affixe z’ est la rotation d’angle α et de centre le point B d’affixe b.

25

Chapitre 14 - Les suites

Définitions :

Une suite est une liste de nombres ordonnés.

Exemple : 1 5 9 13 21 25 1 est le premier terme de la suite et 5 le deuxième.

Une suite U définie à partir d’un rang p est une fonction qui à chaque entier n >

p, associe un réel noté Un, noté aussi (Un).

Un est le terme général de la suite ou le terme de rang n ou le terme d’indice n.

On parle alors de notation indicielle.

Une suite est définie de façon explicite si l’on peut calculer directement chaque terme de la suite à partir de son indice : Un = f(n)

Une suite est définie par récurrence si chaque terme de la suite peut être calculé à partir du précédent :

Un+1 = f(Un)

Sens de variation d’une suite :

 Une suite Un est croissante à partir d’un rang p si pour tout n ≥ p, Un+1 ≥ Un.

 Une suite Un est strictement croissante à partir d’un rang p si pour tout n

> p, Un+1 > Un.

 Une suite Un est décroissante à partir d’un rang p si pour tout n ≥ p, Un+1 ≤ Un.

 Une suite Un est strictement décroissante à partir d’un rang p si pour tout n ≥ p, Un+1 < Un.

 Une suite Un est constante si tous les termes de la suite sont égaux.

26

Pour les suites définies de façon explicite :

 Si la fonction f est croissante sur un intervalle [p ; +∞[ alors Un est croissante à partir du rang p.

 Si la fonction f est décroissante sur un intervalle [p ; +∞[ alors Un est décroissante à partir du rang p.

Suite majorée, minorée et bornée :

 Une suite Un est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout entier n, Un ≤ M.

 Une suite Un est minorée s’il existe un réel M tel que, pour tout entier n, Un ≥ M.

 Une suite Un est bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

Suite convergente :

Une suite Un est convergente si elle est à la fois croissante et majorée ou décroissante et minorée.

Suites adjacentes :

Deux suites Un et Vn sont adjacentes, si l’une est croissante, l’autre est décroissante, et leur différence converge vers 0.

Si deux suites Un et Vn sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite.

Limites et comparaisons de suites :

Soit Un et Vn deux suites, telles que Un < Vn

Si

lim

n→+∞

U

= +∞ alors lim

n→+∞

V

= +∞

Si lim

n→+∞

V

= −∞ alors lim

n→+∞

U

= −∞

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Théorème des gendarmes :

Soit Un, Vn et Wn trois suites et l un réel.

Si Un < Vn < Wn et

lim

n→+∞

U

= lim

n→+∞

W

= +∞

alors lim

n→+∞

V

= +∞

Pour les suites monotones et convergentes : Soit Un une suite convergente vers un réel l.

Si Un est croissante alors elle est majorée par l et Un < l Suites arithmétiques :

Une suite Un est arithmétique, si à partir de son premier terme, chaque terme est obtenu en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison de la suite.

On a donc :

Un+1 = Un + r ou plus généralement, pour tout entier n et p, avec n > p, Un = Up + (n-p)r.

 Si r > 0, alors la suite Un est strictement croissante et

lim

n→+∞

U

= +∞

 Si r < 0, alors la suite Un est strictement décroissante et

lim

n→+∞

U

= −∞

 Si r = 0, alors la suite Un est constante.

Suites géométriques :

Une suite est géométrique, si à partir de son premier terme, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un même nombre, appelé raison q.

On a donc :

Un = U0xqⁿ ou plus généralement, pour tout entier n et p tels que n < p, Un = Upxq^n-p.

28

 Si q > 1 alors la suite Un est strictement croissante et

n→+∞lim U_n = +∞

 Si q = 1 alors la suite Un est constante

 Si -1 < q < 1 alors lim

n→+∞U_n = 0

 Si q < -1 la suite Un n’a pas de limite.

Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique : Tn = U0 + U1 + U2 + … + Un = U0 x ^{1− q}

n+1

1−q Les suites arithmético-géométriques : Ces suites sont de la forme : Un+1 = aUn + b.

Pour en étudier le comportement, le plus souvent il est nécessaire de passer par une suite auxiliaire Vn pour laquelle le cours permet l’étude.

Les suites Un et Vn étant liées par une relation du type :

Un = Vn ± …., le comportement de la suite Un est alors « apparent ».

Les calculatrices permettent aussi de connaitre les limites des suites arithmético- géométriques en saisissant la définition de la suite et la recherche des valeurs pour un très grand nombre d’indices.

29

Chapitre 15 - Les droites – le plan

 Dans le plan :

Soit la droite (d) :

y = ax + b est l’équation réduite de la droite (d). Le vecteur directeur de la droite (d) a alors pour coordonnées :

U⃗⃗

(

)

ax + by + c = 0 est l’équation cartésienne de la droite (d). Le vecteur directeur de la droite (d) a alors pour coordonnées :

U⃗⃗

(

)

 Dans l’espace :

Représentation paramétrique de la droite (d) :

Soit U⃗⃗ un vecteur directeur de la droite (d). Les coordonnées de U⃗⃗ sont :

U⃗⃗ (a ; b : c), et A est un point de (d). Les coordonnées de A sont : A (xA ; yA ; zA).

Pour tout point M (x ; y : z) de (d), on a :

(d)

{

x = at + x

y = bt + y

z = ct + z

30

 Le plan :

Un plan est défini par 2 vecteurs U⃗⃗ et V⃗⃗ non colinéaires, c’est-à-dire que U⃗⃗ ≠ kV⃗⃗ .

On a dans ce schéma U ⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ , V⃗⃗ = AC⃗⃗⃗⃗⃗ et vecteur normal n⃗ = AD⃗⃗⃗⃗⃗ . Avec n⃗ (a ; b ; c), l’équation cartésienne du plan est :

ax + by + cz + d = 0

On donne U ⃗⃗⃗ (a ; b ; c), V⃗⃗ (a’ ; b’ ; c’) et A (xA ; yA ; zA), la représentation paramétrique du plan est pour tout point M :

{

x = at + a^′t′ + x_A y = bt + b′t′ + y_A z = ct + c^′t′ + z_A

31

Chapitre 16 - Proportion – Pourcentage

Pourcentage d’un nombre : t %  ^t

100 donc calculer t% d’un nombre revient à multiplier ce nombre par ^t

100

.

Déterminer une population en % :

Pour calculer une population spécifique au sein d’un ensemble, on détermine :

Effectif du sous−ensemble

Effectif total

× 100

Evolutions et pourcentages :

On considère une quantité V1 passant à une quantité V2

 La variation absolue est la quantité V2 - V1,

 Le coefficient multiplicateur est CM = ^V2 V1

 La variation relative est le quotient : ^{V2 − V1} V1

,

 Le pourcentage d’évolution ou taux d’évolution est la variation relative exprimée en pourcentage :

t = ^{V2 − V1}_V1 × 100 Propriétés :

Augmenter une quantité de t% revient à la multiplier par CM = 1 + ^t

100

.

100

.

32

Indices et évolutions :

Le calcul des indices permet de comparer plus aisément les évolutions par rapport à l’année choisie pour base, ou année de référence qui a pour indice 100.

Année indice n = valeur de l^′année n

valeur de l^′année de base × 100

Evolutions successives et réciproques :

Lors de 2 évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient : V0 V1 V2

CM1 CM2

Alors : CM global = CM1 x CM2

Les coefficients multiplicateurs de 2 évolutions réciproques sont inverses : CM1 x CM2 = 1.

33

Chapitre 17 - Les fonctions cosinus et sinus

Tableau des valeurs usuelles :

Quelques valeurs remarquables à connaître et à retrouver par le cercle trigonométrique :

Mesure de l’angle

0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 2π

Cosinus 1 √3

2

√2 2

1 2

0 -1 1

Sinus 0 1

2

√2 2

√3 2

1 0 0

34

Parité :

La fonction f(x) = cosx est paire donc f(-x) = f(x) La fonction f(x) = sinx est impaires donc f(-x) = -f(x) Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, à partir duquel nous apprenons à déterminer les valeurs des angles, à construire les cosinus, sinus et tangentes et de ces mêmes angles. Sur le cercle trigonométrique, les angles sont définis en radian.

On a :

α = CAD̂, donc cosα = AE , sinα = AF et tanα = ^sinα

cosα

de plus, cos ²α + sin²α = 1, d’après le théorème de Pythagore.

35

Quelques formules trigonométriques obtenues à partir du cercle trigonométrique :

cos α = cos (-α) cos (π-α) = - cos α cos (π+α) = - cos α sin α = - sin (α) sin (π-α) = sin α sin (π+α) = - sin α

on a aussi :

cos ( ^π

2+ x) = −sinx cos ( ^π

2− x) = sinx

sin ( ^π

2+ x) = −cosx cos ( ^π

2− x) = cosx

36

Formules d’addition du cosinus et du sinus : cos(a – b) = cosacosb + sinasinb

cos(a + b) = cosacosb – sinasinb sin(a - b) = sinacosb – sinbcosa sin(a +b) = sinacosb + sinbcosa

Formules de duplication du cosinus et du sinus : cos2a = cos²a – sin²a

cos2a = 2cos²a – 1 cos2a = 1 – 2sin²a sin2a = 2sinacosa

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Chapitre 18 - Produit scalaire de deux vecteurs

Définitions :

Soit U et V deux vecteurs non nuls tels que U⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗

et V⃗⃗ = AC⃗⃗⃗⃗⃗ . Alors leur produit scalaire est noté : U⃗⃗ .V⃗⃗

U⃗⃗ .V⃗⃗ = ‖U⃗⃗ ‖ x ‖V⃗⃗ ‖ x cos(U⃗⃗ ; V⃗⃗ )

U⃗⃗ .V⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ . AC⃗⃗⃗⃗⃗ = { AB × AH si BAH = 0̂

−AB × AH si BAH = π̂

38

Produit scalaire et norme :

U⃗⃗ .V⃗⃗ = ¹₂ [‖U⃗⃗ + V⃗⃗ ‖²− ‖U⃗⃗ ‖²− ‖V⃗⃗ ‖²]

= ¹₂ [−‖U⃗⃗ + V⃗⃗ ‖²+ ‖U⃗⃗ ‖²+ ‖V⃗⃗ ‖²]

Dans un repère orthonormé :

Si U⃗⃗

(

)

(

)

Dans l’espace : U⃗⃗ .V⃗⃗ = xx’ + yy’ + zz’

Si U⃗⃗ ⊥ V⃗⃗ alors U⃗⃗ .V⃗⃗ = 0

Propriétés algébriques du produit scalaire :

 Symétrie : U⃗⃗ .V⃗⃗ = V⃗⃗ .U⃗⃗

 Linéarité :

U⃗⃗ .(V⃗⃗ + W⃗⃗⃗ ) = U⃗⃗ .V⃗⃗ + U⃗⃗ .W⃗⃗⃗

U⃗⃗ .(kV⃗⃗⃗⃗ ) = k(U⃗⃗⃗⃗ .V⃗⃗ )

 Identités remarquables :

(U⃗⃗ + V⃗⃗ )² = U²⃗⃗⃗⃗ + V²⃗⃗⃗⃗ + 2U⃗⃗ .V⃗⃗

(U⃗⃗ - V⃗⃗ )² = U²⃗⃗⃗⃗ + V²⃗⃗⃗⃗ - 2U⃗⃗ .V⃗⃗

(U⃗⃗ + V⃗⃗ )( U⃗⃗ - V⃗⃗ ) = U²⃗⃗⃗⃗ - V²⃗⃗⃗⃗

39

Chapitre 19 - Relations métriques dans le triangle

Loi des sinus :

On considère le triangle DEF quelconque suivant :

On a alors :

a

sinA= b

sinB = c sinC

40

Théorème d’Al Kashi :

Reprenons le même triangle DEF. On a alors :

a² = b² + c² -2bccosA b² = a² + c² -2accosC c² = b² + a² -2abcosB

41

Théorème de la médiane :

Considérons le triangle quelconque ABC suivant :

D est le milieu de [BC] et (AD) la médiane issue de A dans le triangle ABC.

On a alors :

b² + c² = 2 m² +

2

𝑎²

42

Chapitre 20 - Les vecteurs

Définitions :

Soit A et B, 2 points du plan.

Le vecteur AB⃗⃗⃗⃗⃗ symbolise le déplacement de A vers B. On le note par une flèche.

Le vecteur AB⃗⃗⃗⃗⃗ est défini par : {

sons sens ∶ de A vers B

sa direction ∶ celle de la droite (AB) sa norme ∶ la distance AB

43

Coordonnées de vecteurs et distance : Coordonnées :

AB⃗⃗⃗⃗⃗

(

B−y_A

)

et AB⃗⃗⃗⃗⃗ (x_B − x_A ; y_B − y_A ; 𝑧_𝐵 − 𝑧_𝐴) dans l’espace.

Distance :

AB² = (x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² dans le plan,

et AB² = (x_B − x_A)² + (y_B− y_A)² + (𝑧_𝐵 − 𝑧_𝐴)² dans l’espace.

Somme de 2 vecteurs :

 Soit U⃗⃗ et V⃗⃗ deux vecteurs, tels U⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ et V⃗⃗ = AC⃗⃗⃗⃗⃗ .



AB⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗ = U⃗⃗ + V⃗⃗ = AC’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Les points A, B, C’ et C forment un parallélogramme.

Translation de vecteur AC⃗⃗⃗⃗⃗

44

 Soit U⃗⃗ et V⃗⃗ deux vecteurs, tels U⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ et V⃗⃗ = BC⃗⃗⃗⃗⃗ .

AB⃗⃗⃗⃗⃗ + BC⃗⃗⃗⃗⃗ = U⃗⃗ + V⃗⃗ = AC⃗⃗⃗⃗⃗ Relation de Chasles

 Soit U⃗⃗

(

)

(

)

(

)

.

Egalité de 2 vecteurs :

Soit U⃗⃗

(

)

(

)

Si U⃗⃗ = V⃗⃗ alors {𝑥 = 𝑥′

𝑦 = 𝑦′

Produit d’un vecteur par un réel :

Si U⃗⃗

(

)

(

)

45

Colinéarité de 2 vecteurs :

Deux vecteurs U⃗⃗ et V⃗⃗ non nuls sont colinéaires si : U⃗⃗ = kV⃗⃗ ou V⃗⃗ = ¹

k U⃗⃗ et k et ¹

k sont les coefficients de colinéarité.

Applications :

 Cas n°1 : les points A, B et C sont alignés si les vecteurs AB⃗⃗⃗⃗⃗ et AC⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

46

 Cas n°2 : Soit A, B, C et D quatre points distincts deux à deux. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si les vecteurs AB⃗⃗⃗⃗⃗ et CD⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

Equation de la droite (AB) par les vecteurs :

47

Soit A

(

A

)

(

B

)

(

)

ϵ

AB⃗⃗⃗⃗⃗

(

B−y_A

)

(

M−y_A

)

(x_B− x_A)( y_M − y_A) – (y_B− y_A)( x_M − x_A) = 0 est l’équation cartésienne de la droite (AB).

48

Chapitre 21 - Probabilités

Variable aléatoire discrète – Loi de probabilité discrète – Probabilité conditionnelle

 Une variable aléatoire discrète sur Ω (univers) est une fonction X de Ω dans R qui à tout élément de Ω fait correspondre un réel. Soit P une loi de probabilité de Ω, et X prenant les valeurs {𝑥₁ ; 𝑥₂ ; 𝑥₃ ; … ; 𝑥_𝑛}.

Définit la loi de probabilité de X, c’est donner la valeur P(X = 𝑥_𝑖), pour tout i, avec 1 ≤ i ≤ n.

Valeurs xi prises par X

X1 X2 … Xn

Probabilités Pi P1 P2 … Pn

 L’espérance Mathématiques de la variable X est le réel noté : E(X) = ∑ⁿ_i=1P_ix_i

 La variance de la variable X est le réel positif V(X) défini par :

V(X) = ∑ⁿ_i=1P_i[x_i− E(X)]²

 L’écart type σ est défini comme la racine carrée de la variance : σ = √V(X)

49

 Soit A et B, 2 évènements tels que :

La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé est donnée par :

P_A(B) = A ∩ B P(A)

Autrement dit

,

et P(B) = P_A(B) x P(A) + P_A̅(B) x P(A̅) (probabilité totale).

 Loi binomiale :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à 2 issues. On note S pour succès et E pour échec et on note p(S) = p, p(E) = q = 1-p.

La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et aléatoires s’appelle un schéma de Bernoulli.

Soit X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de succès sur les n répétitions.

La loi de probabilité de X est appelée Loi Binomiale, notée : B(n;p) et : X ~ B(n;p)

Pour tout entier k, 1 ≤ k ≤ n, correspondant au nombre de succès réalisés :

P(n = k) = (ⁿ_k) × p^k × q^n-k

50

L’espérance mathématique de la variable X est E(X) = np et la variance de X est V(X) = np(1-p).

Loi de probabilité continue

Densité de probabilité : L’univers Ω est un intervalle de R, a et b 2 réels tels que a < b et I = [a ; b].

On appelle densité de probabilité sur I toute fonction continue et positive telle que :

∫ f(x)dx_a^b = 1

Soit J un intervalle tel que J = [c ; d], a < c < d < b, donc J

⊂ I. X est une variable aléatoire, à valeur dans I, et suivant une loi de

probabilité de densité f si :

P(X ϵ J)

= ∫ f(x)dx



Loi uniforme sur un intervalle I = [a ; b]

On appelle loi uniforme sur I, la loi de probabilité dont la densité est la fonction constante

b−a

.

51

X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur I, E(x) = ^a+b 2

 Loi exponentielle

Soit λ ϵ R, 𝜆 > 0.

La fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(t) = 𝜆e^−λt est la densité d’une loi appelée loi exponentielle de paramètre 𝜆.

P(X ≤ t) = 1

- e

et

 Loi normale N(0 ; 1)

La variable aléatoire X ~ N(0 ; 1) si elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie sur R par :

f(x) = 1

√2π

e

52

et E(X) = 0 et V(X) = 1 Avec la calculatrice :

 Calcul de P(a ≤ x ≤ b)

CASIO TI

MENU STAT (2) DIST (F5) NORM (F1)

Ncd (F2) Lower a Upper b 𝜎 1 µ 0

 résultat

2^nde Var, 3

normalFRep(a,b,0,1)

 résultat

 Pour calculer P(X ≤ b), non donné par les calculatrices Si b ≥ µ, P (x ≤ b) = 0,5 + P(µ ≤ x ≤ b)

Si b ≤ µ, P (x ≤ b) = 0,5 - P(b ≤ x ≤ µ) Théorème de Moivre – Laplace :

Si X ~ B(n ; p) alors Zn = ^X−np

√np(1−p)

~

 Loi normale N(µ ; σ²)

Soit µ

ϵ

σ ϵ

X ~ N(µ ; σ²) si Y = ^𝑋−µ

σ ~

Et E(X) = µ et V(X) =

σ²

53

ANNEXE 1 - Primitives des fonctions usuelles

f est définie par : Les primitives F de f sont définies par :

f(x) = a F(x) = ax + cste

f(x) = x F(x) = ¹

2 x² + cste

f(x) = xⁿ F(x) = ¹

𝑛+1 xⁿ⁺¹ + cste f(x) = ¹

𝑥² F(x) = -¹

𝑥 + cste f(x) = ¹

√𝑥 F(x) = 2√𝑥 + cste

f(x) = cosx F(x) = sinx + cste

f(x) = sinx F(x) = -cosx + cste

f(x) = sin(ax + b) F(x) = ⁻¹

𝑎 cos(ax+b) + cste

f(x) = cos(ax + b) F(x) = ¹

𝑎 sin(ax+b) + cste

54

ANNEXE 2 - Calculs des limites

x→αlimf(x) lim

x→αg(x) lim

x→α(f + g)(x) lim

x→α(f × g)(x)

limx→α(f g)(x)

l l’ l + l’ ll’ l/l’

l > 0 + ∞ + ∞ + ∞ 0

l > 0 -∞ -∞ - ∞ 0

l < 0 + ∞ + ∞ - ∞ 0

l < 0 -∞ -∞ + ∞ 0

+ ∞ + ∞ + ∞ + ∞ FI

-∞ -∞ -∞ + ∞ FI

+ ∞ -∞ FI - ∞ FI

∞ l’ ∞ ± ∞ ± ∞

l ≠ 0 0 l 0 ± ∞

0 ∞ ∞ FI 0

0 0 0 0 FI

55

ANNEXE 3 - Le raisonnement par récurrence

Soit Pn une proposition.

 Tout d’abord cette proposition doit être montrée pour n = 0, n = 1, n = 2,

…

P0 = …., P1 = ….., P2 = …..,

 Puis nous allons supposer cette proposition vraie pour tout n, donc Pn

vérifiée,

 Enfin, nous allons démontrer cette proposition au rang n+1. Pn+1 = ….

Par hérédité, cette proposition sera alors vraie au rang n, donc Pn est vraie.

56

ANNEXE 4 - Algorithme

Comme au collège, un algorithme est composé de 3 parties :

 Déclaration des variables,

 Instructions,

 Affichage du résultat attendu.

Au niveau des instructions, nous retrouvons systématiquement les affectations, les boucles. Il existe 4 types de boucles : « si … alors », « si …. Alors …..Sinon »,

« Pour … » et « Tant que …. » Les affectations : exemples A, B ; variables

Les instructions : exemples

Instructions de base : { Saisir A B prend la valeur A²

Sortie de l’algorithme : Afficher B

Les boucles « si … alors » et « si …. alors ….. sinon » : exemples A et B variables

Saisir A Saisir B

Si A > B alors faire ……

Sinon faire …….

57

La boucle « Pour » : exemples

Pour i allant de 1 à 10 Faire ……

La boucle « Tant que » : exemples

A et B variables

Saisir A Saisir B

Tant que A < B faire ….

58

Laurent KABLA

Professeur Indépendant en Mathématiques (Enseignement public et privé) 25 rue du Maréchal Foch

78000 Versailles N° SIRET : 41516071200030

ETUDE DES MATHEMATIQUES AU LYCEE Editions Le Cône et la Sphère

ISBN 978-2-9560572-1-5

PRIX : 13 €