Feuille d'exercices : Limites et continuité avec corrections

Feuille d'exercices : Limites et continuité avec corrections

Exercice 1 (* à **)

Calculer les limites suivantes :

• lim

x→+∞

e ^3x+1

(ln x) ⁴ • lim

x→+∞

e ^2x 3x ²

• lim

x→+∞ ln(x ² + 1) − 2 ln x • lim

x→+∞

√ x + 5 − √ x − 3

• lim

x→0

⁺

x ln x

√ x + 1 • lim

x→0

⁺

x ^x

• lim

x→0

⁺

(1 + x ² )

^1x

• lim

x→0

⁺

2 √ x ln(1 + x)

• lim

x→0

⁺

ln(1 + 4x)

x • lim

x→+∞ x ⁴ e ⁻

√ x

• lim

x→+∞ x ln(1 + ¹ _x ) • lim

x→3

⁺

2x ² − 3x + 2 x ² − 9

• lim

x→2

⁺

1

x − 2 − 1

x ² − 4 • lim

x→1

⁻

3x ² − 4x + 1 x ² − 1

Exercice 2 (** à ***)

Déterminer l'ensemble de dénition, puis toutes les asymptotes ou branches innies des fonctions suivantes :

• f ₁ (x) = x ² + x ln x

x + 1 • f ₂ (x) = e ^x + e ^−x e ^x − e ^−x

• f ₃ (x) = ln(e ^x + e ^−x ) • f ₄ (x) = x ³ − 2x ² + x x ² − 1

• f ₅ (x) = −3x + ln x • f ₆ (x) = √

x + ln x

• f ₇ (x) =

r 2x + 1

x − 1 • f ₈ (x) = ln(x ² − 3x + 2)

Exercice 3 (**)

Montrer que, ∀x ∈ R, 1 + x 6 e ^x 6 1 + xe ^x . En déduire la valeur de lim

x→0

e ^x − 1 x . Montrer que, ∀x ∈] − 1; +∞[ , x

1 + x 6 ln(1 + x) 6 x . En déduire la valeur de lim

x→0

ln(1 + x)

x .

1

3. h(x) =

1 + 1 x

x

4. k(x) = x ln(1 + x) − (x + 1) ln x

Exercice 5 (**)

Étudier la continuité des fonctions suivantes :

1. f(x) =



 

 

4x ² + 5x − 4

2x + 1 si x 6= − 1 2

0 si x = − 1

2

2. f(x) =





 x ²

x − e

^1x

si x 6= 0 0 si x = 0 3. f(x) =







x ln x ² + 1

x si x > 0

0 si x = 0

4. f(x) =

ln( √

x − 1) − ln(x − 1) si x > 1

0 si x = 1

5. f(x) = x + p

x − Ent(x)

Exercice 6 (**)

Peut-on prolonger les fonctions suivantes par continuité aux bornes de leur ensemble de déni- tion ?

• f (x) = 1

x − 1 − 3

(x − 1) ² • g(x) = x ² − 2x − 3 x + 1

• h(x) = x ² − 2x − 3

√ x + 1 • k(x) = x ln x

x + 1

Exercice 7 (**)

On considère la fonction f dénie par f(x) = e ⁻

^x12

si x > 0 , et f (x) = 0 si x 6 0 . Montrer que f est continue sur R. Calculer sa dérivée et montrer qu'elle est aussi continue. Faire de même avec la dérivée seconde. Pour les motivés : prouver que, quel que soit l'entier n ∈ N, la dérivée n -ème de la fonction f est continue (mais là c'est du ****).

Exercice 8 (*)

Montrer que chacune des équations suivantes admet une solution sur l'intervalle I considéré.

1. x ²⁰⁰⁸ − x ²⁰⁰⁷ = 1 sur I = [−1; 1] . 2. ln x = x ² − 5

x + 2 sur I = [1; 10] .

2

3. 3x = 1 + ln(2 + x ² ) sur I = [0; 1] . 4. e ^x = 2 + x sur [ln 2; 2 ln 2] .

5. x ³ − 3x ² = −1 sur I = [−1; 1] .

Déterminer par dichotomie (et en utilisant la calculatrice !) une valeur approchée à 0.01 d'une solution de chaque équation.

Exercice 9 (***)

On dénit, pour tout entier n ∈ N, la fonction f _n par f _n (x) = x ⁿ + 9x ² − 4 .

1. Montrer que l'équation f _n (x) = 0 a une seule solution strictement positive, qu'on notera désormais u _n .

2. Calculer u 1 et u 2 et vérier que, ∀n ∈ N ^∗ , u n ∈

0; 2 3

. 3. Montrer que, ∀x ∈]0; 1[, f n+1 (x) < f n (x).

4. Que peut-on en déduire concernant la suite u n ?

5. Montrer que u n est convergente vers une limite qu'on notera l.

6. Déterminer la limite de u ⁿ _n et en déduire la valeur de l.

Exercice 10 (***)

Soit f la fonction dénie sur R ^∗ ₊ par f (x) = x − 2 + ln x.

1. Calculez f(1) et f (3) . Que peut-on en déduire ?

2. Montrez que l'équation f(x) = 0 possède en fait une unique solution α sur R ^∗ + .

3. À l'aide de la calculatrice et en procédant par dichotomie (décrivez les étapes), déterminez une valeur approchée de α à 10 ⁻² près.

4. Montrer que f est bijective de R ^∗ ₊ dans R. On note g la réciproque de f , déterminer la conti- nuité, le tableau de variation et les limites de g .

5. Déterminez lim

x→+∞

f (x)

x et en déduire lim

t→+∞

f(g(t))

g(t) . En déduire un équivalent de g en +∞ .

Exercice 11 (**)

On considère la fonction f dénie sur R par f (x) = e ^x + x.

1. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle à expliciter.

2. Justier que pour tout entier positif n , l'équation f(x) = n possède une unique solution que l'on notera par la suite x n .

3. Déterminer la monotonie de la suite x n .

4. Démontrer que ∀n > 1, ln(n − ln n) 6 x n 6 ln n.

5. En déduire la limite de la suite (x _n ) puis un équivalent simple de x _n .

3

Exerie1(*à**)

• e ^3x+1

(ln x) ⁴ = e × e ^3x

(ln x) ⁴

^et

lim

x → + ∞

e ^3x

(ln x) ⁴ = + ∞

^{par roissane omparée, don}

lim

x → + ∞

e ^3x+1 (ln x) ⁴ = + ∞

^.

• lim

x → + ∞

e ^2x

3x ² = + ∞

^{par roissane omparée.}

• ln(x ² +1) − 2 ln x = ln(x ² +1) − ln(x ² ) = ln x ² + 1

x ² = ln 1 + _x ¹

2

,don

lim

x → + ∞ ln(x ² +1) − 2 ln x = 0

^.

• √

x + 5 − √

x − 3 = 8

√ x + 5 + √

x − 3

^enmultipliantparlaquantitéonjuguée,don

lim

x → + ∞

√ x + 5 −

√ x − 3 = 0

^.

• lim

x →0

⁺

x ln x

√ x + 1 = 0

^{(il n'y avait ii pas vraiment de diulté, le numérateur tend vers}

0

^{et le}

dénominateur vers

1

^).

• x ^x = e ^{x ln x}

^.Or,

lim

x →0 x ln x = 0

^,don

lim

x → 0

⁺

x ^x = 1

^.

• (1 + x ² )

^x1

= e

^x1

^ln(1+x

²

⁾

^.Comme

ln(1 + x ² ) ∼

0 x ²

^,ona

lim

x → 0

ln(1 + x ² )

x = 0

^,et

lim

x →0

⁺

(1 + x ² )

^x1

= 1

^.

•

^{Utilisons également les} équivalents :

ln(1 + x) ∼

0

⁺

x

^{, don}

2 √ x ln(1 + x) ∼

0

⁺

2 √ x

x ∼

0

⁺

2 √ x

^{, don}

x lim →0

⁺

2 √ x

ln(1 + x) = 0

^.

•

^Comme

4x

^tendvers

0

^quand

x

^tendvers

0

^{,on a}

ln(1 + 4x)

x ∼

0

4x

x

^,don

lim

x → 0

⁺

ln(1 + 4x) x = 4

^.

•

^Enposant

X = √ x

^{,on a}

x ⁴ e ^{− √ x} = X ⁸

e ^X

^,ave

X

^{tendant vers}

+ ∞

^,don

lim

x → + ∞ x ⁴ e ^{− √ x} = 0

^.

•

^{En posant}

X = 1

x

^{, on se ramène exatement à aluler la limite en}

0

^de

ln(1 + x) x

^{, don}

x → lim + ∞ x ln(1 + ¹ _x ) = 1

^.

•

^{Lenumérateurprendpourvaleur}

11

^pour

x = 3

^,et

lim

x → 3

⁺

x ² − 9 = 0 ⁺

^,don

lim

x → 3

⁺

2x ² − 3x + 2 x ² − 9 = + ∞

^.

•

^{Il vaut mieux ommener par mettre au même} dénominateur pour éviter de seretrouverfae àune forme indéterminée :

1

x − 2 − 1

x ² − 4 = x + 2 − 1

x ² − 4 = x + 1

x ² − 4

^{.Le numérateurayant pour}

limite

3

^etledénominateur

0 ⁺

^,

lim

x → 2

⁺

1

x − 2 − 1

x ² − 4 = + ∞

^.

•

^{Lenumérateur etle}dénominateur s'annulant en

x = 1

^{,on peutommener par fatoriser:si}

x 6 = 1

^,

3x ² − 4x + 1

x ² − 1 = (x − 1)(3x − 1)

(x − 1)(x + 1) = 3x − 1

x + 1

^{.Ce nouveau quotient vaut}

2

^quand

x = 1

^,

don

lim

x → 1

⁻

3x ² − 4x + 1 x ² − 1 = 1

4

Exerie 2 (** à ***)

•

^{La fontion}

f ₁

^{et dénie sur}

R ^∗ +

^{. En}

0 ⁺

^{, la limite de}

f ₁

^{est égale à}

0

^{puisque le numérateur}

tendvers

0

^{et le}dénominateur vers

1

^{,don il n'y a pas}d'asymptote vertiale. Par ontre, on peutprolonger

f ₁

^{par ontinuité en}

0

^.Ensuite,

f ₁ (x) = x + ln x

1 + _x ¹

, don

lim

x → + ∞ f ₁ (x) = + ∞

^,et

f ₁ (x)

x = 1 + ^lnx _x

1 + ¹ _x

^{, don}

lim

x →+∞

f (x)

x = 1

^{. Il faut don aluler}

f (x) − x = x + ln x − x − 1 1 + ¹ _x = ln x − 1

1 + ¹ _x

^{. On a don}

lim

x →+∞ f (x) − x = + ∞

^{, la ourbe de}

f

^{admet don en}

+ ∞

^{une branhe}

paraboliquede diretion

y = x

^{.Pour ompléter, je rajoutepour haque fontion l'allurede la}

ourbe:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

•

^{La fontion n'est pas dénie lorsque}

e ^x − e ^{− x} = 0

^{, soit}

e ^x = e ^{− x}

^{, e qui implique}

x = − x

^,

don

x = 0

^,d'où

D f

2

= R ^∗

^{.Leslimitesde}

f ₂

^en

0

^{sont innies(lenumérateurytendvers}

2

^et

ledénominateur vers

0

^{), don la ourbe admet pour asymptote vertiale l'axedes ordonnées.}

De plus

f ₂ (x) = e ^x (1 + e ^{− 2x} )

e ^x (1 − e ^−2x )

^{, don}

lim

x → + ∞ f ₂ (x) = 1

^{, et la ourbe admet pour asymptote}

horizontaleen

+ ∞

^{ladroited'équation}

y = 1

^.Deplus,

f ₂

^{estunefontionimpairear}

f ₂ ( − x) = e ^{− x} + e ^x

e ^{− x} − e ^x = − f ₂ (x)

^{, don}

lim

x →−∞ f ₂ (x) = − 1

^{, et on a une asymptote} horizontale d'équation

y = − 1

^.

5

0 1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

0 1

−1

−2

−3

−4

•

^Lafontion

f ₃

^estdéniesur

R

^puisqu'uneexponentielleeststritement positive.Ilsutdon deregarderequisepasseauxinnis,etonpeutommenerparonstaterque

f ₃

^estpaire.La

limiteen

+ ∞

^de

f ₃

^est

+ ∞

^etdeplus

f ₃ (x) = ln(e ^x (1+e ^{− 2x} )) = x +ln(1+e ^{− 2x} )

^,don

f ₃ (x)

x =

1 + ln(1 + e ^−2x )

x

^{,qui apour limite}

1

^quand

x

^{tend vers}

+ ∞

^{. Enn,}

f (x) − x = ln(1 + e ^{− 2x} )

^,

quitendvers

0

^{,donladroite d'équation}

y = x

^{estaymptoteoblique àlaourbeen}

+ ∞

^.Par

symétriepar rapport àl'axe desabsisses, ladroite d'équation

y = − x

^{estasymptote oblique}

en

−∞

^.

0 1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

0 1 2 3 4 5

•

^{Un lassique:}

D f

4

= R\{− 1; 1 }

^{. En}

− 1

^{,le numérateur tend vers}

− 4

^{et le}dénominateur vers

0

^{,il y a don des limites innies etune asymptote vertiale d'équation}

x = − 1

^{. Par ontre,}

en

1

^{, numérateur et}dénominateur tendent vers

0

^{,on estobligés de fatoriserde haqueté.}

Pour lenumérateur, remarquons que

x ³ − 2x ² + x = x(x ² − 2x + 1) = x(x − 1) ²

^{,don pour}

x 6 = 1

^,

f ₄ (x) = x(x − 1)

x + 1

^{,quia pour limite}

0

^en

1

^{.Pasde deuxième asymptotevertiale don.}

Pour les innis, utilisons les équivalents pour aller plus vite :

f ₄ (x) ₊ ∼

∞

x ³

x ² = x

^{, don les}

limites sont innies, et

f ₄ (x) x ₊ ∼

∞ 1

^{. Reste à aluler}

f (x) − x = x ³ − 2x ² + x − x ³ + x

x ² − 1 =

6

− 2x ² + 2x x ² − 1 ₊ ∼

∞ − 2

^{.Conlusiondetousesaluls:ladroited'équation}

y = x − 2

^estasymptote

obliqueà laourbe en

+ ∞

^eten

−∞

^{(où les}équivalentssont les mêmes).

0 1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

0 1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

•

^{La fontion}

f ₅

^{est dénie sur}

R ^∗ ₊

^{, a pour limite}

−∞

^en

0

^{, don une asymptote vertiale, et}

+ ∞

^en

+ ∞

^.Deplus,

f (x)

x = − 3 + ln x

x

^apourlimite

− 3

^,et

f (x) + 3x = ln x

^tendvers

+ ∞

^,

donon aune branhe parabolique de diretion

y = − 3x

^.

0 1 2 3 4 5

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11

−12

•

^{Comme i-dessus, le domaine de dénition est}

R ^∗ ₊

^{et il ya une asymptotevertiale en}

0

^.De

plus,

lim

x →+∞ f ₆ (x) = + ∞

^et

f ₆ (x)

x = 1

√ x + ln x

x

^,don

lim

x →+∞

f ₆ (x)

x = 0

^{.Ilya don en}

+ ∞

^une

branheparabolique de diretion

(Ox)

^.

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

1 2

−1

−2

−3

•

^Lafontion

f ₇

^{estdéniequand}

2x + 1

x − 1 > 0

^{,don(petittableaudesigne)sur}

−∞ ; − 1 2

∪ ]1; + ∞ [

^.

En

− 1

2

^{, il n'y a rien à faire, la fontion est dénie, il ne peut pas y avoir} d'asymptote ver- tiale. Par ontre, en

1

^{, il y a bien une limite innie, don une asymptote vertiale. Enn,}

quand

x → ±∞

^,

2x + 1

x − 1 → 2

^,don

f

x →±∞ 7

(x) = √

2

^{, il y a don une asymptote} horizontale

d'équation

y = √ 2

^.

0 1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

0 1 2 3 4 5

•

^Enn,

f ₈

^{est dénie quand}

x ² − 3x + 2 > 0

^, 'est-à-dire en dehors de ses raines évidentes qui sont

1

^et

2

^{, don}

D ^f

⁸

=] − ∞ ; 1[ ∪ ]2; + ∞ [

^{. En}

1

^et

2

^{, la parenthèse tend vers}

0

^{don la}

fontionvers

−∞

^{,ilya don deuxasymptotesvertiales. En}

±∞

^{,lafontion tendvers}

+ ∞

^,

et

f ₈ (x)

x = ln(x ² (1 − ³ _x + _x ²

2

))

x = 2 ln x

x + 1 x ln

1 − 3

x + 2 x ²

.Tout ei tendant vers

0

^{,il ya}

unebranhe parabolique de diretion

(Ox)

^.

8

0 1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

0 1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Exerie 3 (**)

Pour montrer que

1 + x > e ^x

^{, il n'y a pas vraiment d'autre hoix que d'étudier la fontion}

f : x 7→ e ^x − 1 − x

^{,qui est dénie etdérivable sur}

R

^{,de dérivée}

f ^′ (x) = e ^x − 1

^{, don} déroissante sur

R −

^{etroissante sur}

R +

^{.Elle atteint don sonmaximum pour}

x = 0

^.Or,

f (0) = 0

^{, don on a}

∀ x ∈ R

^,

f (x) > 0

^,d'où

1 + x 6 e ^x

^.

De même, posons

g(x) = 1 + xe ^x − e ^x

^{, la fontion}

g

^{est dénie dérivable sur}

R

^{, de dérivée}

g ^′ (x) = e ^x + xe ^x − e ^x = xe ^x

^{. La fontion}

g

^{est don} déroissante sur

R −

^{et roissante sur}

R +

^{, et}

atteint don un minimum en

0

^{qui vaut aussi}

0

^{, d'où la deuxième inégalité. On a don}

∀ x ∈ R

^,

x 6 e ^x − 1 6 xe ^x

^{, et}

∀ x 6 = 0

^,

1 6 e ^x − 1

x 6 e ^x

^{.Les deux termes extrêmes tendant vers}

1

^quand

x

tendvers

0

^{,on a d'aprèslethéorèmedes gendarmes}

lim

x →0

e ^x − 1 x = 1

^.

Similairement, posons

h(x) = x − ln(1 + x)

^,

h

^{estdénie etdérivablesur}

] − 1; + ∞ [

^{, et}

h ^′ (x) = 1 − 1

1 + x = x

1 + x

^{, don la fontion}

h

^est déroissante sur

] − 1; 0]

^{et roissante sur}

R +

^{. Comme}

d'habitude, ellea un minimumnulen

0

^{,e dont on déduitque}

ln(1 + x) 6 x

^.

Enn, posons

k(x) = ln(1 + x) − x

1 + x

^{, de dérivée}

k ^′ (x) = 1

1 + x − 1 + x − x

(1 + x) ² = 1 + x − 1 (1 + x) ²

^.

Grande surprise,la fontion admet un minimum en

0

^{,qui vaut}

0

^{,d'où ladeuxième inégalité. On a}

alors

∀ x ∈ ] − 1; + ∞ [

^,

1

1 + x 6 ln(1 + x)

x 6 1

^{, donpar théorème desgendarmes}

lim

x → 0

ln(1 + x) x = 1

^.

Exerie 4 (*)

1.

f (x) = x ² + ln x xe ^{− x} + 2 ₊ ∼

∞

x ²

2

^et

f (x) ∼ ₀ ln x 2

^.

2.

g(x) = x(ln(1 + x)) ⁴ ₊ ∼

∞ x(ln x) ⁴

^{(on a le droit d'élever un équivalent à une puissane quel-}

onque) et

g(x) ∼

0 x × x ⁴ ∼ x ⁵

^{en utilisant que}

ln(1 + x) ∼ x

^.

3.

h(x) =

1 + 1 x

x

= e ^{x ln(1+}

^1x

⁾

^{. L'exposant a pour limite}

1

^en

+ ∞

^et

0

^en

0

^{, don}

h

^{a des}

limitesnies égalesà

e

^et

1

^en

+ ∞

^eten

0

^.

9

Le seul problème qui se pose pour la ontinuité est l'endroit où on hange la dénition de la

fontion.

1. Ona

lim

x →−

¹2

4x ² + 5x − 4 = − 11

2

^,don

f

^{ne tend sûrement pasvers}

0

^quand

x

^{tend vers}

− 1 2

^.

Lafontion

f

^{est ontinue seulement sur}

R\{− 1 2 }

^.

2. Il est indispensable de distinguer e qui se passe en

0 ⁺

^{et en}

0 ⁻

^{: en}

0 ⁺

^,

e

^{x1 tend vers}

+ ∞

et

f

^{a don pour limite}

0

^en

0 ⁺

^{.Par ontre, en}

0 ⁻

^,

e

^{1x tend vers}

0

^{, et même beauoup plus}

rapidement que

x

^,don

f (x) ∼

0

⁻

x ²

x

^,don

lim

x → 0

⁻

f(x) = 0

^.Finalement, lafontion

f

^{esttout de}

même ontinue en

0

^{puisque ontinue à gauhe et à droite, elle est don ontinue sur}

R

^tout

entier.

3. Ona

f (x) = x ln(x ² + 1) − x ln x

^si

x > 0

^{.Chaun desdeux termestendvers}

0

^en

0 ⁺

^{,don la}

fontionest ontinue sur

R +

^.

4. Celle-i est un peu plus diile :

f (x) = ln

√ x − 1 x − 1 = ln

√ x − 1 ( √

x − 1)( √

x + 1) = − ln( √ x + 1)

^,

don

lim

x →1

⁺

f (x) = − ln √

2

^{.La fontion n'est don pasontinue en}

1

^.

5. Lafontionestdéniesur

R

⁽

x − Ent(x)

^{esttoujours positif, omprisentre}

0

^et

1

^{) etontinue}

surtouslesintervallesdelaforme

]n; n +1[

^,ave

n ∈ Z

^{puisquelesseulspointsde}disontinuité de la partie entière sont les entiers. Reste à déterminer e qui se passe pour

n

^{: on a}

f (n) = n + √

n − n = n

^,mais

lim

x → n

⁻

x − Ent(x) = 1

^,don

lim

x → n

⁻

f (x) = n + √

1 = n + 1

^{.Lafontion est}

don disontinue entous lesentiers.

Exerie 6 (**)

•

^{La fontion}

f

^{est dénie etontinue sur}

R\{ 1 }

^{, et}

f (x) = x − 1 − 3

(x − 1) ² = x − 4

(x − 1) ²

^{.La fontion}

f

^{adon deslimites inniesquand}

x

^tendvers

1

^{,elle n'yest pas}prolongeable parontinuité.

•

^{La fontion}

g

^{est dénie et ontinue sur}

R\{− 1 }

^{. De plus, numérateur et} dénominateur ont pour limite

0

^en

− 1

^{,onpeutdonfatoriserpar}

x + 1

^:

g(x) = (x + 1)(x − 3)

x + 1 = x − 3

^.Onen

déduitque

lim

x →− 1 g(x) = − 4

^{,etonpeutdonprolonger}

g

^{par ontinuitéenposant}

g( − 1) = − 4

^.

•

^{Caressembleau préédent? C'est pourtant diérent puisqueette fois}

h

^{n'est dénie quesur}

] − 1; + ∞ [

^{, et}

h(x) = (x + 1)(x − 3)

√ x + 1 = (x − 3) √

x + 1

^{. Cette fois-i, la limite en}

− 1

^vaut

0

^,

donon peutprolonger

h

^{parontinuitéen posant}

h( − 1) = 0

^.

•

^Lafontion

k

^{est déniesur}

R ^∗ +

^{,etapour limite}

0

^en

0

^{,don est} prolongeablepar ontinuité à

R +

^{en posant}

k(0) = 0

^.

Exerie 7 (**)

Seul

0

^{peutposerunproblèmedeontinuitéàdroite.Or,}

lim

x →0

⁺

− 1

x ² = −∞

^,don

lim

x →0

⁺

f (x) = 0

^,et

f

^{estbienontinueen}

0

^.Deplus,

∀ x > 0

^,

f ^′ (x) = 2

x ³ e ⁻

^x12.Posons

X = 1

x

^,onalors

f ^′ (x) = 2X ³ e ^{− X}

^2,

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quipar roissaneomparéea pour limite

0

^en

+ ∞

^,don

f ^′

^{estégalement ontinue en}

0

^.Onfaitle

même type dealul pour

f ^′′

^:

∀ x > 0

^,

f ^′′ (x) = 6

x ⁴ + 4 x ⁶

e ⁻

^{x21 ,qui aégalement pour limite}

0

^en

0

^.

Pour les dérivées ultérieures, le prinipe est le même, mais pour tout traiter d'un seul oup, il

est néessaire d'éeetuer une réurrene et d'avoir quelques onnaissanes sur les polynomes. On

prouve en faitpar réurrene quela

n

^{-ièmedérivée de lafontion}

f

^(sur

]0; + ∞ [

^{) peut s'ériresous}

la forme

P n (x)

x ^a

ⁿ

e ⁻

^{x12, où}

a _n

^{est un entier naturel et}

P _n

^{est un polynome. C'est vraipour}

n = 1

^et

même

n = 2

^{d'aprèslesalulspréédents.Supposonsdésormaisque}

f ⁽ⁿ⁾ (x) = P _n (x)

x ^a

ⁿ

e ⁻

^x12.Onpeut

dériverette fontion sur

]0; + ∞ [

^etobtenir

x ^a

ⁿ

P _n ^′ (x) − a _n nx ^a

ⁿ

^{n − 1} P _n (x)

x ^2a

ⁿ

e ⁻

^x21

− 2P n (x)

x ^a

ⁿ

⁺³ e ⁻

^{x21 .Cei}

estbien dela formevoulue, e qui ahève laréurren. Or,un quotient depolynomesmultipliépar

e ⁻

1 x2

a toujours pour limite

0

^en

0

^{,don ladérivée}

n

^-ièmede

f

^{estontinue en}

0

^.

Exerie 8 (*)

Le prinipe estle même àhaque fois:lafontion étudiée est ontinue,etles signesdesvaleurs

prises aux extrémités de l'intervalle sont opposés. Par le théorème des valeurs intermédiaires, la

fontion s'annulesur l'intervalle.

1. Posons

f (x) = x ²⁰⁰⁸ − x ²⁰⁰⁷ − 1

^,

f ( − 1) = 1 − ( − 1) − 1 = 1

^{, et}

f (1) = 1 − 1 − 1 = − 1

^,don

f

^{s'annule sur}

I

^{. Par dihotomie, on obtient} suessivement,en notant

a

^{lasolution herhée,}

f (0) = − 1

^don

a ∈ [ − 1; 0]

^,puis

f (0.5) ≃ − 1

^don

a ∈ [ − 1; − 0.5]

^{et. Il n'est pastrès diile}

deseonvainre quelavaleurde

a

^{estextrêment prohede}

− 1

^:

x ²⁰⁰⁸ − x ²⁰⁰⁷ = x ²⁰⁰⁷ (x − 1)

^,

ave

x − 1 ∈ [ − 2; − 1]

^{, don}

x ²⁰⁰⁷

^{doit être ompris entre}

− 0.5

^et

1

^{pour que l'équation}

puisse être vériée, e qui implique

0.5 6 ( − x) ²⁰⁰⁷ 6 1

^{, soit}

ln 0.5 6 2007 ln( − x) 6 0

^{, don}

e

^20070.5

6 − x 6 1

^,soit

− x = 1

^à

0.001

^{près. Onadon}

x ≃ − 1

^à

0.01

^près.

2. Posons

f (x) = ln x − x ² − 5

x + 2

^,

f (1) = 0 − − 4 3 = 4

3

^{, et}

f (10) = ln 10 − 95

12 < 0

^{(ar par}

exemple

e ⁴ > 2 ⁴ > 16

^{, don}

4 > ln 10

^{, et}

95

12 > 4 > ln 10

^{), don}

f

^{s'annule sur}

I

^{. Plutt}

que de ouper exatement en

2

^{, faisons une dihotomie ave des valeurs pas trop areuses :}

f (5) ≃ − 1.24

^,don

a ∈ [1; 5]

^,puis

f (3) ≃ 0.30

^,don

a ∈ [3; 5]

^;

f(4) ≃ − 0.44

^don

a ∈ [3; 4]

^;

f (3.5) ≃ − 0.6

^don

a ∈ [3; 3.5]

^;

f (3.25) ≃ 0.12

^don

a ∈ [3.25; 3.5]

^;

f (3.375) ≃ 0.03

^don

a ∈ [3.375; 3.5]

^;

f (3.44) ≃ − 0.02

^don

a ∈ [3.375; 3.44]

^;

f (3.41) ≃ 0.001

^,don

a ∈ [3.41; 3.44]

^;

etenn

f (3.425) ≃ − 0.001

^don

a ∈ [3.41; 3.425]

^{. Onadon}

a ≃ 3.42

^à

0.01

^près.

3. Posons

f (x) = 3x − 1 − ln(2 + x ² )

^,

f (0) = 0 − 1 − ln 2 < 0

^et

f (1) = 3 − 1 − ln 3 = 2 − ln 3 > 0

^,

ar

e ² > 3

^,don

ln 3 < 2

^{.La fontion s'annule don sur}

I

^{.Toujours lemême prinipe,je vais}

allerunpeuplusvite:on al ule

f(0.5) ≃− 0.31

^,puis

f(0.75) ≃ 0.31

^;

f(0.625) ≃ 0.003

^;

f(0.56) ≃− 0 .16

^;

f ( 0 .59 ) ≃ − 0 .08

^et

f ( 0 .61 ) ≃ − 0 .03

,dontondéduitque

a ≃ 0 .62

^à

0 .01

^{près .}

Constatonsquequandontombeaumilieudes alulssurunevaleurtrèspro hede

0

^,on

adebonneshanesd'êtretrèsprèsdelasolution herhée...

4.Posons

f(x)= e ^x − 2 − x

^,

f(ln2)=2 − 2 − ln2 < 0

^,et

f(2ln2)=4 − 2 − 2ln2=2(1 − ln2)> 0

^,

don

f

^s'annulesur

I

.Ii,lesbornesdel 'intervallessontmoyennementpratiques ,maiselles valentenviron

0.7

^et

1.4

, equipermetde ouperen

1

puisdeprendredesvaleursplusrondes ensuite :

f(1) ≃− 0.28

^;

f(1.2) ≃ 0.12

^;

f(1.1) ≃− 0.10

^;

f(1.15) ≃ 0.008

^;

f(1.125) ≃− 0.04

^;

f(1.14) ≃− 0.01

^,

don

a ≃ 1.14

^à

0.01

^près.

5.Posons

f(x)= x 3 − 3x 2 +1

^,

f( − 1)= − 1 − 3+1= − 3

^et

f(1)=1 − 3+1= − 1

^.Cane

marhepas?Si,ar

f (0) = 1

^,don

f

s'annuleenfaitaumoinsdeuxfoissur

I

:unefoissur

[ − 1; 0]

etuneautresur

[0; 1]

^{.Pourladi hotomie ,ontentons} -nousdedéterminerunevaleur appro héedelasolutionssetrouvantdans

[0;1]

(onpeutnaturellementtrouverégalementune

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