Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°20 Limites et continuité
Exercice 192
Soitf la fonction définie par :
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f : R\ {5} → R
x 7→ 2x−1 5−x
.
Démontrer les assertions suivantes, en revenant à la définition de la notion de limite.
(a) f(x) →
x→1
1
4 (b) f(x) →
x→5+−∞ (c) f(x) →
x→+∞−2
Exercice 193
Soit (un)n∈Nla suite définie paru0∈[1,+∞[ et la relation de récurrence : un+1=ln(un)+1
valable pour toutn∈N.
1. Démontrer que pour toutn∈N:unest bien défini etun≥1.
2. Étudier le signe de ln(x)+1−xsur [1,+∞[.
3. En déduire que la suite (un)n∈Nest décroissante.
4. Démontrer que la suite (un)n∈Nest convergente, et préciser sa limite.
Exercice 194
Soitf une fonction définie et continue sur un intervalleIdeR, telle qu’il existea∈Ivérifiantf(a)>0. Démon- trer quef est strictement positive localement ena.
Exercice 195
Soita∈R. Donner une condition nécessaire et suffisante surapour que la fonction
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f : R → R
x 7→
sin(x)
|x|a six6=0 0 six=0 soit continue surR.
Exercice 196
1. Montrer que la fonctionf définie par :
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f : ]0,1[∪]1,+∞[ → R
x 7→ ln(x)
x−1 est prolongeable par continuité en 1.
2. Peut-on prolonger par continuité la fonction
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g : ]0,+∞[ → R
x 7→ sin
µ1 x
¶
en 0 ?
1
Exercice 197
Soitf une fonction définie et continue sur un intervalleIdeR, qui ne s’annule pas surI.
1. Démontrer quef garde un signe constant surI, i.e. :
¡∀x∈I f(x)>0¢
ou ¡
∀x∈I f(x)<0¢ . 2. On suppose ici de plus queIest un segment. Démontrer que :
¡∃m∈R>0 ∀x∈I f(x)≥m¢
ou ¡
∃M∈R<0 ∀x∈I f(x)≤M¢ .
Exercice 198
Soitf une fonction définie et continue sur [0,+∞[, telle quef(x) →
x→+∞0. Montrer quef est bornée sur [0,+∞[.
Exercice 199
Montrer que l’équation :
(E):xcos2014(x)+xsin(x)+1=0 possède une solution surR.
Exercice 200
1. Soitf une fonction. On appelle point fixe def tout élémentx0deDf tel que : f(x0)=x0.
Interpréter graphiquement l’existence d’un point fixe pour la fonctionf.
2. Soitf : [0,1]→[0,1] une fonction continue sur [0,1]. Montrer quef possède un point fixe.
Exercice 201
Démontrer que l’équation :
(E): ln(x)=2−x d’inconnuex∈[1,2] possède une unique solution.
Exercice 202
1. Soitn∈N∗fixé. Soitfnla fonction définie par :
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fn : R → R
x 7→ xn+nx−1 . Démontrer que l’équation :
(En):fn(x)=0
d’inconnuex∈[0,1] possède une unique solution. On notexncelle-ci dans la suite.
2. Démontrer que la suite (xn)n∈N∗est décroissante.
3. Démontrer quexn→0.
4. Démontrer quexn∼1 n. Exercice 203
Soitf une fonction définie surR, continue en 0 et telle que pour tout (x,y)∈R2: f(x+y)=f(x)+f(y).
On se propose de montrer quef est alors linéaire.
1. Montrer quef est continue surR.
2. On posea=f(1). Montrer que pour pour toutx∈R: (∗) f(x)=ax.
Indication : on pourra d’abord montrer que(∗)est vraie pour x∈N, puis pour x∈Z, puis pour x∈Q, avant d’établir le résultat pour x∈Rquelconque.
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