CChhaappiittrree IIII

polyphasiques dispersés aux cultures cellulaires en chémostat.

C C h h a a p p i i t t r r e e I I I I

R R é é s s u u l l t t a a t t s s g g é é n n é é r r a a u u x x . .

S S e e c c t t i i o o n n I I I I . . 6 6 . .

Remarque sur une certaine relativité

dans l’écriture des bilans.

II.6. Remarque sur une éventuelle relativité dans l’écriture des bilans.

On peut trouver assez troublant de constater qu’il faille utiliser deux niveaux de description (celui de la micelle et celui du système) pour obtenir l’expression correcte et complète du bilan dans une phase.

D’une part, si l’on part du niveau de description des micelles et que l’on somme sur celles-ci, le bilan de phase est donné par (II.4.12). Le bilan du système est alors donné par sommation des bilans de phases sur toutes les phases.

D’autre part, en partant du niveau de description du système, le bilan de phase est obtenu par décomposition du système entier en ses diverses phases.

Ce qui est remarquable, c’est qu’en utilisant ces deux méthodes apparemment symétriques, le résultat obtenu n’est pas le même.

Reprenons rapidement le développement en distinguant les niveaux de description utilisés. La relation (II.4.14) peut être mise sous la forme

mic S i

i E i SYS i

dt F dM dt F

dM = − + (II.6.1)

La notation _X indique le niveau de description auquel on se place pour dériver l’expression (« niveau X », dans l’exemple).

En divisant (II.6.1) à gauche et à droite par un volume constant VT, on obtient que

mic i T

S i E i SYS i

dt C d V

F F dt

C

d~ ~

− +

= (II.6.2)

Le bilan de phase obtenu au départ des micelles est donné par (II.4.12) ; il suffit donc de sommer sur toutes les phases pour obtenir la contribution au niveau du système. On a donc que

∑

=

p mic

p i mic

i

dt C d dt

C

d~ ~

(II.6.3)

D’une part, on a que (cf. (II.3.7))

⁼

∑

p p i

i C

C~ ~

(II.6.4)

Et d’autre part, on peut distribuer les entrées/sorties globales de i entre les différentes phases : ^{− =}

_∑ (

)

p

S p i E p i S i E

i F F F

F ~ ^, ~ ^,

(II.6.5) Utilisant (II.6.3-5) dans (II.6.2), on obtient :

∑ ∑

∑

p p mic

p i T

S p i E p i p SYS

p i

dt C d V

F F dt

C

d~ _{, ,} ~

(II.6.6)

Il est facile de distribuer les termes des sommes en les affectant chacun à une phase, d’où

mic p i T

S p i E p i SYS p i

dt C d V

F F dt C

d~ _{, ,} ~

− +

= (II.6.7)

où le dernier terme du membre de droite n’est autre que (II.4.12) divisé par VT. On montre que _{{ }}

dt N C d V r V dt p

C

d p _T^p

i T p p i q p i mic p

i ~ ln

(.) ) (

~

0

, + +

Φ

= _≠ (II.6.8)

Ecrivons (II.6.7) sous une forme plus compacte

S mic SYS vE i vi i

v() = _/ ()+ () (II.6.9) où v(i)_SYS et v(i)_mic sont les vitesses de transformation de i obtenues respectivement par une description au niveau du système et des micelles, et v_E/S(i) est la vitesse nette d’entrée/sortie du système. Par analogie, nous pouvons utiliser le terme de « référentiel » plutôt que niveau de description. On constate alors que la vitesse de transformation (bio)chimique du composé i dans la phase p dépend du référentiel utilisé pour écrire les équations. Cette proposition est à rapprocher de celle-ci : « Dans des systèmes de référence différents les lois du mouvement n’ont en général pas la même forme. » (Landau et Lifchitz (1969)), qui est une proposition fondamentale dans le principe de relativité galiléenne.

Le fait important dans ce « principe de relativité cinétique » (PRC) est que la relativité de la vitesse observée dépend de l’ouverture ou non du système. En effet, si le système est fermé, on a quev_E/S(i)≡0 et donc, de (II.6.9) :

v(i)SYS=v(i)mic (II.6.10) Le choix du référentiel est alors indifférent.

Discussion :

Nous ne pensons pas que ce « principe de relativité cinétique », ou PRC, soit trivial du point de vue de la pratique courante et principalement dans la modélisation des mécanismes cellulaires et/ou des bioréacteurs. Dans le premier cas, il arrive fréquemment que des modèles de physiologie cellulaire soient élaborés sans spécifier dans quel environnement se trouve la cellule (batch, fed-batch, chémostat, etc.). Il est possible d’écrire un modèle dans ces conditions, mais il n’est pas possible de réaliser une vérification expérimentale sans choisir un environnement particulier pour la cellule. Le PRC peut alors faire apparaître des discordances entre modèle et vérification expérimentale par le simple fait que les modalités d’obtention du modèle appartiennent à un référentiel alors que la vérification expérimentale s’inscrit dans un autre. De même, l’observation des variables d’état au niveau d’un bioréacteur peut amener à des déductions fausses sur les mécanismes intracellulaires si l’on néglige les corrections éventuelles dues au PRC. La figure II.6.1. schématise la situation qui mène à l’obtention des vitesses relatives (II.6.9).

R_mic

R_SYS

A

B

Exemple.

Pour renforcer les considérations qui précèdent sur l’éventualité d’un PRC, nous proposons un exemple très simple de relativité basé sur une approche plus intuitive que mathématique.

La figure II.6.2. montre l’évolution de la biomasse X (densité de phase cellulaire) lors d’une brusque augmentation de la vitesse de dilution dans un chémostat survenant après l’établissement d’un état stationnaire.

Figure II.6.1. Représentation des référentiels.

Le cylindre horizontal représente un système ouvert dans lequel un flux fait entrer et sortir des micelles comportant le composé i. Dans le cas (A), la cinétique de transformation de i est obtenue en fixant le référentiel sur une micelle (Rmic). Dans le cas (B), la cinétique est obtenue en travaillant dans le référentiel du système entier (RSYS). Les résultats obtenus sont différents et liés par la relation (II.6.9). par analogie avec la mécanique, dans Rmic la micelle est « au repos » (ce qui correspond à une phase fermée), alors que dans RSYS, la micelle est « en mouvement » (ce qui correspond à une phase ouverte).

Temps (U.A.)

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

Biomasse (U.A)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Pour t<0, un état stationnaire a été atteint pour D=D1 ; à t=0, on réalise un shift-up brutal en augmentant brusquement D à D2, avec D2>D1. Il s’ensuit un régime transient, caractérisé par une décroissance de la biomasse, qui tend vers un autre état stationnaire (si D₂ n’excède pas le wash-out).

Supposons que nous disposions de l’expression analytique de X(t). En fait dans cet exemple, nous avons utilisé une expression arbitraire plausible (inspirée de données décrites dans Thierie et al. (1999)) :

^X(t)=X(0)

[

]

Figure II.6.2. Evolution de la biomasse après un shift-up de la vitesse de dilution.

Un état stationnaire a été atteint dans un chémostat (temps<0) pour une vitesse de dilution donnée (D₁) lorsque l’on réalise une brusque augmentation de celle-ci au temps t=0. La biomasse décroît rapidement et relaxe vers un autre état stationnaire, correspondant à la vitesse de dilution D2.

Au départ de telles données, la seule manière de calculer la vitesse de croissance spécifique µ est alors de calculer le rapport de la vitesse (dérivée par rapport au temps) à la biomasse, soit

) (

)

/( t X

t

=X

µ (II.6.12)

On obtient alors une « vitesse spécifique de croissance » négative, puisque (II.6.11) est monotone décroissante.

En réalité, (II.6.12) n’est que l’expression d’une vitesse nette obtenue à l’échelle du système et nous devrions écrire :

) (

)

/( t X

t X

SYS=

µ (II.6.13)

qui est représentée en pointillé sur la figure II.6.3.

Temps (U.A)

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

Vitesse de croissance spécifique (U.A)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

niveau du système niveau cellulaire

Figure II.6.3. Vitesses relatives.

La vitesse spécifique observée dans le référentiel du système (en pointillé) est négative et tend vers zéro, alors que la vitesse spécifique de croissance des cellules (référentiel micellien) est positive et tend vers sa valeur stationnaire, D₂.

La relation (II.6.13) représente en fait la balance entre la croissance cellulaire et la sortie des cellules du chémostat. Nous voyons donc apparaître les termes d’entrée/sortie qui interviennent dans le PRC.

Nous pouvons facilement évaluer le terme de sortie « passif », c’est-à-dire la vitesse de sortie des cellules en l’absence de croissance de celles-ci. Pour un système parfaitement agité, la vitesse de sortie sera égale à la vitesse de dilution multipliée par la biomasse dans le réacteur, soit

X dt D

dX

.

− 2

= (II.6.14)

en réarrangeant, on obtient la vitesse spécifique : 1 D_2.

dt dX

X =− (II.6.15)

Par définition donc :

µ_E/S=−D₂ (II.6.16) En utilisant (II.6.9), il est alors possible de calculer la vitesse de croissance spécifique des cellules (dans le référentiel micellien) :

µ_cell=µ_SYS−µ_E/S (II.6.17) soit en utilisant (II.6.13) et (II.6.16)

₂

/

) (

)

( D

t X

t X

cell= +

µ (II.6.18)

Cette valeur apparaît en trait plein sur la figure II.6.3. C’est, cette fois, une grandeur positive qui tend bien vers D2 lorsque t tend vers l’infini. Lorsque t tend vers l’infini, (II.6.18) tend vers la valeur

D₂

cell≈

µ (II.6.19)

Pour résumer de manière « naïve » le principe de relativité cinétique illustré ici, on peut énoncer les deux propositions équivalentes suivantes :

a. « La vitesse de croissance spécifique de la biomasse tend vers zéro dans le chémostat. » C’est l’expression de ce que l’on observe dans le référentiel du système et qui n’est autre que l’état stationnaire de celui-ci.

b. « La vitesse de croissance spécifique des cellules tend vers D2 pour le nouvel état stationnaire. » C’est le résultat du calcul qui donne la vitesse dans le référentiel micellien.

Il est évident que les deux propositions sont vraies, mais que les valeurs attribuées aux vitesses de croissance spécifiques sont différentes et dépendent du référentiel (niveau de description) dans lequel on se place.