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Théorie et applications des systèmes
polyphasiques dispersés aux cultures cellulaires en chémostat.
C C h h a a p p i i t t r r e e I I I I
R R é é s s u u l l t t a a t t s s g g é é n n é é r r a a u u x x . .
S S e e c c t t i i o o n n I I I I . . 4 4 . .
Obtention des bilans de masse.
II.4. Obtention des bilans de masse.
Considérons une micelle de phase p entourée de trois phases ϕj, ϕk, ϕl, telle que représentée sur la figure II.4.1.
MICELLE
ϕ
lϕ
jϕ
kϕ
prip(.) ΦSi,j(p)
ΦEi,j(p)
ΦEi,k(p)
ΦSi,l(p)
ΦEi,l(p)
ΦSi,k(p)
La micelle qui appartient à la phase p est un système ouvert (qui échange de l’énergie et de la matière avec chacune des phases). Supposons que chaque phase contienne un composé Pi, représenté par son indice i. Le flux de transfert du composé i (exprimé en unité de masse du composé par unité de temps, par exemple en g/h) est représenté par φix,q(p), où i est l’indice du composé transféré, q, l’indice de la phase d’origine et p celui de la phase concernée (celle de la micelle). L’exposant x peut prendre les valeurs E ou S qui indiquent si le composé entre ou sort de la micelle. Par ailleurs, le composé peut subir des transformations (biochimiques, physiques, etc.) au sein de la micelle. Ces transformations sont représentées par la vitesse par
Figure II.4.1. Termes d’échanges et de transformation.
La micelle de phase p est susceptible d’échanger le produit i avec les trois phases j, k, et l qui l’entourent. Des réactions de transformations rip(.)se déroulent à l’intérieur de la micelle.
unité de volume,rip(.), où i est l’indice du composé qui se transforme, p la phase où intervient la transformation ; (.) indique que la cinétique r est une fonction complexe de plusieurs variables (concentrations, paramètres cinétiques, température, pH, …).
De manière générale, rip(.) est une cinétique résultante qui peut être décomposée en plusieurs termes (éventuellement de signes différents) :
=
∑
m p m i p
i r
r (.) , (.) (II.4.1) Au niveau de la micelle, les cinétiques dépendent (entre autres) des concentrations locales, c’est-à-dire, des R-concentrations. Formellement, on a que
(.)
( { }
np,)
p
i C
r = (II.4.2)
Conformément à la cinétique classique, les unités de r s’expriment en unité de masse par unité de temps et par unité de volume micellien (par exemple, en g/(h.l) ou en g/(h.µm3)).
Le bilan de masse du composé i au sein de la micelle s’écrit alors :
N
[ ]
ip pp q q
S q i E
q i p
i p p r v
dt
dm p
(.) ) ( ) (
; 1
,
, − +
= =
∑
≠φ φ (II.4.3)où mipest la masse du composé i dans la micelle et vp est le volume moyen de la micelle. Le premier terme du membre de droite représente l’ensemble des flux de transfert sur toutes les phases (Np est le nombre de phases).
Afin de simplifier l’écriture, nous posons
{ }
∑ [ ]
≠ =≠ −
p q
S q i E
q i p
q
i, (p) φ, (p) φ, (p)
φ (II.4.4)
Cette quantité représente le flux net d’échange interphasique du composé i au niveau de la micelle. Le bilan (II.4.3) s’écrit alors :
i{q p} ip p
p
i p r v
dt
dm =φ, ≠ ( )+ (.) (II.4.5)
Du point de vue où nous nous plaçons, le bilan au niveau de la micelle n’est pas utile ; nous cherchons un niveau de description plus macroscopique. Commençons d’abord par écrire le bilan de masse sur l’ensemble des micelles qui composent la phase p.
Soit NTp le nombre de micelles qui forment la phase. Comme toutes les micelles sont statistiquement « identiques », il suffit de multiplier (II.4.5) à gauche et à droite par NTp ; il vient :
Tp i{q p} Tpip p
p p i
T N p N r v
dt
N dm = φ, ≠ ( )+ (.) (II.4.6)
p p Tv
N n’est autre que le volume de la phase :
Vp=NTpvp (II.4.7) Par ailleurs, nous posons
Φi,{q≠p}(p)=NTpφi,{q≠p}(p) (II.4.8) La masse totale du composé i pour l’ensemble des micelles de cette phase est simplement
p i p T p
i N m
M = (II.4.9)
Dans le cas général, le nombre de micelles n’est pas constant et la dérivée par rapport au temps de (II.4.9) est alors
dt m dN dt N dm dt
dM p Tp
i p p i T p
i = + (II.4.10)
En utilisant les relations (II.4.7) à (II.4.10) dans (II.4.6), le bilan massique du produit i sur l’ensemble des micelles s’écrit :
{ }
dt m dN V r dt p
dM p Tp
i p p i p q i p
i =Φ, ≠ ( )+ (.) + (II.4.11)
En divisant et en multipliant le dernier terme du membre de droite parNTp et en utilisant la dérivée logarithmique, on obtient finalement que
{ }
dt N M d V r dt p
dM p Tp
i p p i p q i p
i ln
(.) )
, ( + +
Φ
= ≠ (II.4.12)
On pourrait croire que le bilan (II.4.12) est bien l’expression du bilan de phase que nous cherchons. Il faut remarquer cependant que rien n’a été dit sur le dispositif réel dans lequel les phases et les micelles sont contenues. En réalité, le bilan (II.4.12) est complet pour un dispositif fermé ; il est incomplet pour un dispositif ouvert. Comme nous nous intéresserons principalement au chémostat, qui est un dispositif ouvert, il convient de compléter le bilan.
L’incomplétude de (II.4.12) n’est cependant pas une constatation immédiate ou intuitive, parce que le terme variationnel du nombre de micelles (dtlnNTp) laisse supposer une ouverture du système. Il n’en est rien, en fait, parce que ce terme apparaît seulement comme la variation de micelles contenant le composé i. En réalité, le bilan est fermé par rapport au composé, malgré le terme variationnel en micelles. En fait, le terme dtlnNTpne représente pas un terme d’entrée/sortie de micelles mais exprime seulement l’aspect « combinatoire » du processus d’échange interphasique de i et la manière de distribuer le composé entre les différentes micelles.
Pour compléter le bilan, nous devons nous placer à un niveau de description supérieur à celui de la micelle et inclure le système tout entier.
Au niveau du système, la variation de la masse du composé peut s’écrire : = − +
∑
p S i E i
i F F
dt
dM contribution desmicelles (II.4.13)
où FiE et FiS sont des termes globaux d’entrée de i via une ou plusieurs phases (y compris, éventuellement, la phase dispersante). La sommation sur la contribution des micelles se fait sur toutes les phases (étant entendu que les phases ne contenant pas i ont une contribution nulle).
En utilisant (II.4.12), il vient que :
∑
{ }
Φ + +
+
−
= ≠
p
p p T i p p i p q i S
i E i i
dt N M d V r p F
dt F
dM ln
(.) )
, ( (II.4.14)
Le terme Φi,{p≠q}(p) représente le flux net de transfert des contributions de toutes les phases à la phase p. Il est évident que la même quantité de i qui entre dans la phase p quitte les phases
p
q≠ . Il est clair que ce raisonnement qui s’applique à la phase p s’applique également à toutes les autres phases. En définitive, il est facile de comprendre que, au niveau du système tout entier, les flux de transfert interphasique s’annulent, puisque toute quantité de matière qui quitte une phase est nécessairement compensée par une entrée de matière dans les autres phases et vice-versa. On a donc que
{ }
∑
N=pΦ ≠ ≡p p q
i p
1
, ( ) 0 (II.4.15) (Une démonstration plus rigoureuse est donnée à l’annexe 4). Formellement, (II.4.14) se réduit alors à
∑
+
+
−
=
p
p p T i p p i S i E i i
dt N M d V r F dt F
dM ln
(.) (II.4.16)
Cette relation exprime la variation de la masse du composé i dans le système entier. Il inclut, grâce aux termes d’entrée/sortie, la possibilité de modifier « arbitrairement » le nombre de micelles dans chaque phase.
Avant de rechercher le bilan complet au niveau d’une phase, nous allons exprimer ce bilan massique (qui est sous forme extensive) sous une forme intensive, c’est-à-dire, en termes de concentrations. Pour cela, divisons (II.4.16) à gauche et à droite par VT :
∑
+
− +
=
p
p T T
p i T p p i T
S i E i i
T dt
N d V M V r V V
F F dt dM V
(.) ln
1 (II.4.17)
Dans le cas général, VT n’est pas une constante et
dt dV V M dt dM V V M dt
d T
T i i T T
i
)2
(
1 −
=
(II.4.18)
Il vient donc que
dt V d V M dt
N d V M V r V V
F F V M dt
d T
T i p
p T T
p i T p p i T
S i E i T
i ln ln
(.) −
+
− +
=
∑
(II.4.19)En utilisant les définitions (II.3.1) et (II.3.5) pour les concentrations, (II.4.19) s’écrit :
dt V Cd dt
N C d V r V V
F F dt
C
d T
i p
p p T i T p p i T
S i E i
i ~ ln ~ ln
(.)
~
−
+
− +
=
∑
(II.4.20)Tenant compte de ce que la concentration pseudo-homogène totale est la somme des concentrations pseudo-homogènes partielles ((II.3.7)), on exprime (II.4.20) en termes de concentrations partielles :
dt V C d dt
N C d V r V V
F F dt C
d T
p p i p
p p T i T p p i T
S i E i p
p
i ~ ln ~ ln
(.)
~
∑ ∑
∑
−
+
− +
= (II.4.21)
Il est alors aisé d’écrire l’équation pour chacune des phases p en distribuant convenablement les termes de (II.4.21) :
T ip
p p T
i T p p i T
S p i E p i p
i FE
dt V d dt
N C d
V r V V
F F dt C
d +
−
+
− +
= ~ ln ln
(.)
~
~ ~ , ,
(II.4.22)
Le premier terme du membre de droite de (II.4.22) exprime la distribution des flux d’entrées entre chacune des phases. Ces flux sont exprimés en termes de concentration pseudo- homogènes, d’où le formalisme (tilde). Le dernier terme du membre de droite exprime les flux d’échanges interphasiques qui apparaissent lorsque l’on partitionne le système en ses phases distinctives.
p
FEi n’est autre que le terme d’échange interphasique divisé par le volume utile, à savoir
{ }
T q p p i
i V
FE Φ, ≠ (p)
≡ (II.4.23)
et nous poserons
{ } { }
T q p i q p
i V
p (p) )
( ,
0 ,
≠
≠
≡Φ
Φ (II.4.24)
que nous appellerons flux interphasique d’échange par unité de volume.
En utilisant le rapport volumique de phase (II.3.14) et en posant
p
p p p i
i M
V q r (.)
= (II.4.25)
on obtient finalement le bilan massique de phase (II.4.22) sous la forme intensive suivante :
{ }
−
+ Φ
+
− +
= ≠ dt
V d dt
N C d
p X
V q F F dt C
d p Tp T
i p q i p p i T
S p i E p i p
i ~ ln ln
) (
~
~ ~
0 , ,
,
(II.4.26)
Le membre de gauche exprime la variation temporelle de la concentration pseudo-homogène (E-concentration) du composé i dans la phase p (unités : masse/(volume.temps)). Dans le membre de droite de (II.4.26) :
• le premier terme exprime, en E-concentrations, les termes d’entrée et de sortie du composé i contenu dans la phase p au niveau du système global. Ce sont donc des termes d’entrée/sortie associés à des micelles de phases p (unités masse/(vol.temps)) ;
• le second terme est le produit de la densité de phase par la cinétique nette des transformations du composé au sein des micelles de phase p. La densité de phase est essentiellement une concentration massique (masse/volume). Comme qip est une vitesse par unité de densité de phase, c’est en réalité une vitesse spécifique (unités : temps-1) ;
• le troisième terme est le flux net d’échange interphasique (unités : masse/(vol.temps).
Il représente le flux net de transfert du composé i provenant ou partant vers toutes les autres phases ;
• le quatrième terme est un terme variationnel tenant compte de la variation
« combinatoire » du nombre de micelles dans la phase et de la variation du volume utile. Pour un système à volume constant, cette dernière contribution est évidemment nulle.
Remarque : Il apparaît clairement dans cette section que la décomposition d’un système global en ses différentes phases (relation (II.4.22)) fait apparaître des flux d’échange
interphasiques qui ne sont pas formalisés dans une description axée seulement au niveau du système.
Remarque concernant le terme variationnel apparaissant dans (II.4.12).
Pour garder au développement un caractère aussi général que possible, nous avons supposé que le nombre de micelles n’était pas constant lors de la dérivation de (II.4.9). Ceci introduit la dérivée du nombre de micelles par rapport au temps, que nous appelons terme variationnel.
Il est important de comprendre la portée de ce terme pour éviter de mauvaises interprétations par la suite, principalement lors de la dérivation de la vitesse d’ensemble (voir Annexe 3 ).
Pour rappel, dans le processus de dérivation de (II.4.12), nous sommes parti d’un bilan de masse au niveau de la micelle pour construire par sommation le bilan au niveau de la phase.
La variation du nombre de micelles dû au terme variationnel est donc une variation au niveau de la phase seulement et ne représente donc pas un terme d’entrée/sortie au niveau global du système entier. Plus important encore, le terme variationnel ne représente pas la variation du nombre de micelles par partition, en général, ou par division cellulaire en particulier. Il est aisé de comprendre, en effet, que la division cellulaire seule ne produit ni ne consomme aucun composé (excepté une part minime liée à l’énergie nécessaire à la division). Une représentation de la division cellulaire seule ne peut donc intervenir comme terme de source ou de puits dans un bilan tel que (II.4.10). En bref, nous savons ce que le terme variationnel n’est pas : ce n’est ni un terme d’échange avec le monde extérieur, ni un terme représentant l’agrégation ou la division de micelles (p. ex., la division cellulaire). En réalité, ce terme représente un terme d’échange interphasique, c’est-à-dire, l’entrée ou la sortie de micelles dans la phase p et provenant d’une (ou de plusieurs) autre(s) phase(s). Considérons un exemple concret. Imaginons une phase solide composée de deux « compartiments » cellulaires : des cellules A inactives et des cellules A* actives. S’il existe un processus d’activation/inactivation du type : A ' A*, il faut pouvoir tenir compte de cette variation du
nombre de micelles dans la phase p et dans la phase p*. C’est ce type de situation que prend en compte le terme variationnel apparaissant dans (II.4.10) et (II.4.12). S’il n’existe qu’une seule phase cellulaire, un taux de viabilité cellulaire de 100% implique que le terme variationnel est nul ; s’il existe une mortalité cellulaire, le terme variationnel est nécessairement négatif, impliquant une perte de micelle de la phase p par mort cellulaire.
Dans ce dernier cas, il n’y a pas échange interphasique de micelles à proprement parler puisqu’il n’y qu’une phase micellienne, mais il existe néanmoins un flux d’échange vers la phase dispersante. (Si cet état de fait est gênant sur le plan du formalisme, il est toujours possible de créer un compartiment « cellules mortes » et générer ainsi une seconde phase micellienne.)
Une manière un peu différente d’aborder cette problématique délicate est décrite à l’annexe 5.
