polyphasiques dispersés aux cultures cellulaires en chémostat.
C C h h a a p p i i t t r r e e I I I I
R R é é s s u u l l t t a a t t s s g g é é n n é é r r a a u u x x . .
Section II.3.
Co C on n ce c en nt tr ra at ti io on n r r éa é ac ct ti io o nn n ne el ll le e e et t p p s s eu e u d d o o h ho o mo m o g g én é né éi it té é. .
II.3. Concentrations réactionnelles et pseudo-homogénéité.
Dans un SPD, il n’est pas nécessaire que les micelles soient homogènes. Elles peuvent être composites, structurées, compartimentées, etc. En particulier, elles peuvent contenir des substances, figurées ou solubles, et être le siège de transformations physiques et/ou (bio)chimiques, etc. Le niveau de description situé à l’échelle de la micelle est appelé niveau local de description. Si l’on accepte l’hypothèse que les lois de la cinétique s’appliquent à ce niveau local, la grandeur pertinente d’expression de cette cinétique est une grandeur intensive : la concentration locale, définie par
p
p p i
i v
C =m (II.3.1)
où Cipest la concentration massique locale du composé i dans la micelle ; mip est la masse du composé i dans la micelle de phase p et vpest le volume de la micelle.
La concentration locale est donc une concentration massique (et non molaire ou autre) que nous appelons concentration réactionnelle ou R-concentration. Les R-concentrations sont donc les valeurs intensives nécessaires pour décrire les cinétiques au niveau micellien, mais elles sont de peu d’utilité au niveau du système. Si le SPD est pseudo-homogène, nous pouvons introduire avec cohérence la notion de concentration pseudo-homogène partielle (partielle, parce que ne concernant que le produit i dans la phase p) définie par
∑
=
=
p NT
i p i T p
i m
C V
1
~ 1
(II.3.2)
où C~ip
est la concentration pseudo-homogène partielle de i associé à la phase p du système ; VT le volume total utile du système et NTp le nombre total de micelles de phase p, mip gardant la même signification que précédemment. D’un point de vue chimique, (II.3.2) exprime la concentration que l’on mesurerait si, par un procédé ou un autre, on avait détruit toutes les
micelles de phase p pour libérer le composé i dans le volume global du système. C’est en réalité une concentration « virtuelle », étendue à l’ensemble du système. Pour cette raison, nous l’appelons E-concentration (concentration étendue).
La concentration définie par (II.3.2) est dite partielle parce qu’elle concerne uniquement la masse du composé i contenue dans la phase p. Ce composé peut évidemment se trouver dans d’autres phases. Il existe donc une concentration pseudo-homogène totale, que l’on obtient en sommant sur toutes les phases :
∑
∑
=
=
=
p p NT
i j i N
T j
i m
C V
1 1
~ 1
(II.3.3) où Np est le nombre total de phases. Il est clair que la somme sur toutes les phases et toutes les micelles de mi n’est autre que la masse du composé i dans le système, que l’on définit par
∑ ∑
=
=
=
p p NT
i j i N
j
i m
M
1 1
(II.3.4)
La concentration pseudo-homogène est alors simplement
T i
i V
C~=M
(II.3.5) Cette dernière relation correspond à la définition usuelle de la concentration massique dans un système homogène. Si Ci0 est cette concentration homogène, il est évident que
Ci0 C~i
= (II.3.6)
La concentration massique homogène et la concentration pseudo-homogène totale sont donc représentées par une même valeur numérique mais la signification physico-chimique des deux grandeurs diffère profondément.
Par ailleurs, en combinant (II.3.2) et (II.3.3), on montre facilement que
∑
=
=
Np
j j i
i C
C
1
~
~ (II.3.7)
qui exprime simplement que la concentration pseudo-homogène totale est la somme des concentrations pseudo-homogènes partielles (somme sur toutes les phases).
Conséquence de la définition de la pseudo-homogénéité.
La définition de la pseudo-homogénéité que nous avons utilisée a d’importantes conséquences quant à la manière de calculer diverses grandeurs. Nous avons introduit la notion d’élément de volume critique de telle manière que deux éléments de volume soient statistiquement identiques. Ce choix permet donc de définir des valeurs moyennes significatives au sein d’un élément de volume et d’éliminer la nécessité de passer par une représentation structurée des micelles. Prenons un exemple simple. On appelle « âge cellulaire » le temps qui s’est écoulé entre le moment de la division cellulaire et l’instant considéré. Il est évident que, dans chaque élément de volume, il existe des cellules d’âges différents, les âges étant distribués selon une certaine loi statistique. Les modèles qui tiennent compte de ce type de distribution sont dits structurés (voir par exemple Fredrickson et Tsuchiya (1963), Tsuchiya et Fredrickson (1966), Minkevich et Abramychev (1994), Schürgl et Bellgardt (2000)). Dans notre approche, les éléments de volume sont choisis de telle sorte que l’âge moyen des cellules est le même dans tous les éléments de volume et il en va de même pour toutes les propriétés micelliennes. En fait, nous considérons que, dans un élément de volume de taille « convenable », toutes les cellules sont identiques et caractérisées par des valeurs moyennes. Examinons l’impact de ce point de vue sur la relation suivante
∑
=
=
p NT
i p i p
i m
M
1
(II.3.8) qui exprime que toute la masse du composé i dans la phase p est égale à la somme des masses de ce composé contenu dans toutes les micelles de la phase. Cette relation est évidemment toujours vraie, quelle que soit la distribution du composé dans les diverses micelles. Si
maintenant nous considérons que toutes les micelles sont statistiquement identiques, mip est alors la valeur moyenne du composé dans une micelle « moyenne ». Nous pouvons alors écrire, si NTp est le nombre total de micelles dans la phase p, que
Mip=NTpmip (II.3.9) Contrairement à (II.3.8), cette relation n’est vraie que dans certaines conditions, qui sont justement celles que nous avons définies pour l’élément de volume critique et les critères de pseudo-homogénéité.
Cette approche peut s’appliquer à diverses grandeurs ; ainsi, le volume de la phase p sera Vp=NTpvp (II.3.10) c’est-à-dire NTp fois le volume micellien vp.
Densité de phase.
Par définition, nous appellerons « densité de phase » la grandeur
T p p T T p p
V m N V
X =M = (II.3.11)
c’est-à-dire le rapport de la masse totale de la phase p au volume utile total.
Pour garder l’usage, nous conserverons le terme de « biomasse » pour cette grandeur lorsque les micelles visées dans (II.3.11) sont des cellules.
Rapport volumique de phase.
Nous pouvons réécrire (II.3.11)
pT
p p
T m
V
N =X (II.3.12)
et mettre (II.3.10) sous la forme
Tp pp v
N =V (II.3.13)
en égalant ces deux équations et en réarrangeant, il vient que
p p
T
p X
V V
=δ (II.3.14)
où, par définition
p pp pp V M v m =
=
δ (II.3.15)
est la masse volumique d’une micelle moyenne ou d’une phase.
Relation entre R- et E-concentrations.
Les relations qui précèdent vont nous permettre de calculer la rapport entre les R- et les E- concentrations.
Par définition, la R-concentration vaut (cf. (II.3.1))
p
p i p
p p i
i V
M v
C =m = (II.3.16)
En multipliant le membre de droite en haut et en bas par VT et en utilisant (II.3.2), (II.3.8) et (II.3.14), on montre aisément que
ip ip pp C X C ~ δ
= (II.3.17)
Cette égalité montre la relation qui existe entre le niveau réactionnel local (les R- concentrations) et les concentrations étendues (E-concentrations). Il n’est pas directement intuitif que la densité de phase intervienne comme facteur. Cette relation (et ses conséquences) sera abondamment utilisée dans l’application des formes explicites des bilans des SPD (cf. Chapitre III, section III.2.3.)
