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Théorie et applications des systèmes
polyphasiques dispersés aux cultures cellulaires en chémostat.
C C h h a a p p i i t t r r e e I I I I
R R é é s s u u l l t t a a t t s s g g é é n n é é r r a a u u x x . .
S S e e c c t t i i o o n n I I I I . . 1 1 . .
Définition d’un système polyphasique dispersé (SPD)
II.1. Définition d’un système polyphasique dispersé (SPD).
Les systèmes polyphasiques dispersés tels que nous les envisageons diffèrent sensiblement des systèmes dispersés des physiciens. A cette catégorie appartiennent principalement les systèmes à deux phases, comme les aérosols, les mousses, les émulsions, les sols et les gels, etc. Les particules dispersées sont comprises entre 10-3 et 1 µm, qui comprennent aussi les micelles, les bicouches et les vésicules à doubles couches (de l’ordre de 5 à 10 nm) (Takeo, 1999). En général, ces systèmes présentent un certain caractère de stabilité dans le sens où ils peuvent se maintenir, même en système fermé, sur une échelle de temps plus ou moins longue. Selon la taille des particules, cette propriété est due au mouvement brownien ou à des forces de répulsion (électrostatiques, par exemple). Ils peuvent être le siège de processus de transformation (agrégation, floculation, etc.) qui peut mener à la séparation des phases, mais ce qui les distingue peut-être le plus des SPD tels que nous les concevons ce sont les forces de dispersion : dans les cas envisagés ci-dessus, ces forces sont générées par le système lui- même (essentiellement des forces de répulsion, voir Takeo, 1999) et peuvent être considérées comme internes. Dans le SPD, au contraire, l’essentiel des forces de dispersion est externe (comme une agitation mécanique, par exemple). La seconde différence fondamentale concerne la taille des « particules » dispersées. L’échelle des dimensions se situe entre le micromètre et le millimètre (voir même le centimètre). Malgré ces différences majeures, il existe évidemment des points communs, qui ne seront pas développés ici. (Il s’agit de concepts déjà évoqués, comme certaines forces de répulsion (ou d’attraction) ou encore de considérations thermodynamiques, etc.). Nous pouvons donc quasiment considérer que la classe de systèmes qui seront envisagés par la suite est indépendante des systèmes dispersés tels que nous les avons présentés au début de cette section. Il était cependant important de spécifier la distinction pour éviter les malentendus.
Nous définirons un système polyphasique dispersé comme un système composé de plusieurs phases (solides, liquides, gazeuses) intimement distribuées les unes dans les autres et, pour la plupart, généralement maintenues dans cet état dispersé par des forces de dispersion externes comme l’agitation mécanique. Les SPD sont donc intrinsèquement des systèmes instables.
L’interface entre deux phases quelconques est donc discontinue et délimite des « fragments de phase » que nous désignerons par « micelles » (pour éviter à la fois de créer un néologisme et d’avoir à utiliser des périphrases).
En toute généralité, la figure II.1.1. montre un SPD à n phases (ϕ1 ,ϕ2 ,ϕ3,…ϕn).
mic(ϕj)
mic(ϕk)
mic(ϕl)
Figure II.1.1. Système polyphasique compact.
Un SPD compact réalise une partition parfaite du système et il n’existe pas de chemin qui permette de parcourir une phase entière sans traverser au moins une interface. (mic(ϕi) se lit « micelle appartenant à la phase i »).
Ce SPD est dit « compact » parce que les micelles (m(ϕi)) forment une partition exacte du système et qu’il n’est pas possible de parcourir entièrement toute une phase sans traverser au moins une interface.
La figure II.1.2. montre un SPD « dilué », où il existe un chemin (c) qui permet de parcourir toute la phase ϕ1sans traverser aucune interface. Dans ce cas, la phaseϕ1est appelée « phase dispersante » et ne forme pas de micelles.
Entre le système compact et le système dilué, il existe un cas intermédiaire, appelé système
« dense », dans lequel on peut trouver des « micelles de phase dispersante » (une micelle de phase dispersante est un fragment de phase dispersante isolée de celle-ci par des micelles d’autres phases).
Figure II.1.2. Système polyphasique dilué.
Dans un système polyphasique dilué, il existe une phase dispersante caractérisée par un chemin (c) qui permet de parcourir toute cette phase sans traverser d’interface.
(C) mic(ϕϕ1)
mic(ϕϕ2)
On peut également définir une phase d’un SPD comme l’ensemble des micelles de même nature, que ce soit dans un système fermé ou dans un système ouvert dont les flux d’entrée et/ou de sortie comportent des micelles. (Ce concept d’inclusion des flux d’entrée/sortie deviendra plus clair par la suite.)
Dans le cas le plus général, il peut exister plusieurs types de micelles différentes pour une même phase. Ainsi, par exemple, la phase solide peut être composée de plusieurs types de micelles solides différentes. La phase liquide peut également être composée de micelles liquides différentes, formées de liquides non miscibles. (Un exemple en phase gazeuse semble difficile à concevoir.)
Généralement, le nombre de micelles d’un SPD (fermé ou ouvert) n’est pas constant. Par exemple, le nombre de bulles d’air peut diminuer par coalescence ; le nombre de micelles solides peut diminuer par agrégation ou augmenter par fragmentation ; deux types de micelles peuvent se combiner pour former un nouveau type de micelle ; dans un système ouvert, il peut exister des flux d’entrée et/ou de sortie des micelles, etc. Néanmoins, s’il existe un état stationnaire, celui-ci est caractérisé par un nombre de micelles constant. L’état stationnaire peut s’appliquer à l’ensemble des micelles du système ou à certaines classes de micelles seulement. A titre d’exemple, une culture aérée peut être composée d’un nombre constant de micelles solides (des cellules, par exemple) alors que la quantité de micelles gazeuses (les bulles) peuvent varier dans le temps.
Les considérations qui précèdent ne suffisent cependant pas à définir complètement un SPD.
Comme il est décrit jusqu’ici, le SPD apparaît clairement comme un système hétérogène. Pour compléter la définition, il faut introduire la notion de pseudo-homogénéité. Cela signifie que,
malgré le caractère intrinsèquement hétérogène du système, il existe un certain niveau de description où l’on peut considérer un élément de volume du système comme homogène (d’un point de vue opérationnel). L’élément de volume en question est nécessairement beaucoup plus grand que le volume micellien moyen, mais très inférieur au volume du système entier.
Si cette notion de pseudo-homogénéité ne s’appliquait pas, l’ensemble des micelles et des phases, etc., décrites précédemment ne constituerait qu’une collection « d’objets » ne pouvant être traités comme un milieu continu. Or, cette propriété est indispensable à une certaine indépendance vis-à-vis des caractéristiques spatiales du système, à la dérivabilité (mathématique) de certaines fonctions, etc. Le fait de pouvoir choisir un niveau de description qui permette de traiter le système comme homogène alors qu’en réalité il ne l’est pas (pseudo- homogène) est la clef de voûte de la définition des SPD. Tout le formalisme mathématique et la modélisation qui suivent sont basés sur cette propriété de pseudo-homogénéité. En réalité, dans la littérature, la propriété de pseudo-homogénéité est souvent implicite et considérée comme « évidente » ; il s’ensuit que la pertinence de la représentation ou de la modélisation n’est pas nécessairement garantie.
