polyphasiques dispersés aux cultures cellulaires en chémostat.
C C h h a a p p i i t t r r e e I I I I
R R é é s s u u l l t t a a t t s s g g é é n n é é r r a a u u x x . .
SSeeccttiioonnIIII..77..
Influence de la densité de phase sur le calcul des concentrations.
II.7. Influence de la densité de phase sur le calcul des concentrations.
Des études théoriques et expérimentales simples ont, dès les années 70, mis en évidence que l’augmentation de la biomasse pouvait améliorer la productivité des cultures continues (Monbouquette, 1987). Plus tard, on a réalisé que les techniques continues utilisant des hautes densités cellulaires représentaient le bon moyen pour éviter des phénomènes d’intoxication cellulaire dus au relargage de sous-produits toxiques (Posten et Rinas, 2000).
Walker (Walker, 1998) distingue les cultures à haute densité cellulaire (HCDC : high cell density cultivation) dont la biomasse est supérieure à 50 g/l (en poids sec, PS), des cultures à très hautes densités cellulaires (VHCDC), qui présentent une biomasse supérieure à 150 gPS/l. Examinant les contraintes liées à de telles cultures (oxygénation, agitation, etc.), il cite l’exemple d’une culture atteignant 420 gPM/l réalisée par Chen et al. (1997).
Ainsi donc, il existe des processus de production qui utilisent des densités de phase cellulaire (« biomasse ») très élevées. Dans une représentation SPD, il existe une différence entre R- et E-concentrations (voir section II.3.) et l’usage de l’une ou l’autre concentration doit être soigneusement respecté. Toutefois, le traitement d’un problème peut parfois être fortement simplifié si les deux concentrations sont très proches et donc assimilables l’une à l’autre sans introduire d’erreur significative (devant l’erreur expérimentale, par exemple). Dans cette section, nous examinons les conditions nécessaires qui permettent d’utiliser indifféremment l’une ou l’autre des concentrations.
Les concentrations « expérimentales » sont, en général, des R-concentrations. Ainsi, le dosage d’un composé i du milieu de culture, obtenu par prélèvement dans le réacteur et mesuré après filtration, s’exprime par le biais d’une concentration homogène obtenue dans la phase liquide (par exemple). On détermine ainsi la quantité de composé dans un aliquote qui a été rendu
« monophasique » (ici, par filtration). La concentration déterminée dans l’aliquote peut être
étendue sans erreur à la concentration dans la phase correspondante du système. Cependant, elle ne peut être étendue au système entier sans que l’on introduise une erreur, si l’on ne tient pas compte de la densité des autres phases. En effet, le volume utile du réacteur est la somme de tous les volumes de phases. En assimilant le volume d’une seule phase avec le volume utile, on commet une erreur qui, dans certains cas, peut être significative. A contrario, il n’est pas toujours justifié de se livrer à des calculs compliqués pour améliorer une valeur dont l’erreur expérimentale est très supérieure à la correction due au volume.
Considérons une concentration obtenue expérimentalement dans la phase p ; c’est une R- concentration calculée par
p p p i
i V
C =M (II.7.1)
Par ailleurs, la concentration pseudo-homogène partielle est donnée par :
T p p i
i V
C~ =M
(II.7.1)
En éliminant Mipentre les deux relations et en réarrangeant, on trouve facilement que
T p p i p
i V
C V C~ =
(II.7.3) Le volume total étant plus grand que le volume de phase, on observe évidemment que la E- concentration est inférieure à la R-concentration.
Tenant compte de ce que le volume total est la somme de tous les volumes de phases : ∑
≠
+
=
p k
k p
T V V
V (II.7.4)
(II.7.3) peut se mettre sous la forme
∑≠
= +
p k
k p p p i p
i V V
C V C~
(II.7.5)
Il est clair que si
∑
≠
>>
p k
k
p V
V (II.7.6)
les deux concentrations ont une valeur très proche et C~ip≈Cip
(II.7.7) La condition (II.7.6) est la condition générale qui permet d’utiliser indifféremment les deux concentrations en n’introduisant qu’une erreur minime ou non significative. Il suffit donc que le volume de la phase considérée soit beaucoup plus grand que la somme de toutes les autres phases. Cette forme est cependant généralement peu pratique et nous souhaitons introduire une condition moins générale mais beaucoup plus opérationnelle.
Système à deux phases.
Pour cela, considérons un système à deux phases, solide et liquide. La relation (II.7.5) se réduit alors à
il il l l s V V C V C~= +
(II.7.8) pour la phase liquide, et la condition (II.7.6) à
s
l V
V >> (II.7.9) Cela signifie simplement que le système est très dilué et que le volume de la phase liquide est presque égal au volume utile. Tout comme précédemment, le volume de la phase solide n’est généralement pas connu. Introduisons donc la densité de phase, qui est plus facilement accessible. Nous pouvons exprimer le volume de la phase solide par le rapport de la masse totale du solide et de sa masse volumique :
s s MS
V = δ (II.7.10)
En multipliant le membre de droite par VT, et en utilisant la définition de la densité de phase, il vient que (cf. (II.3.14))
s s T
s V
X
V = δ (II.7.11)
En introduisant cette valeur dans (II.7.8) on obtient
s s T l l l i l
i V
X V C V C
+ δ
~=
(II.7.12)
Tenant compte de ce que
s T
l V V
V = − (II.7.13)
la forme (II.7.8) peut encore s’écrire
T s l T i l
i V
V CV
C −
~=
(II.7.14) et en utilisant (II.7.11) et en simplifiant, il vient que :
( s)
s l i l
i C X
C~ 1 /δ
−
= (II.7.15)
Exemple numérique.
Soit un réacteur comportant une phase cellulaire de densité de phase (biomasse) égale à 3 gPS/l (PS=poids sec). Avec une teneur en eau de 70%, on obtient une biomasse « mouillée » de 10 gPM/l (PM=poids mouillé). Le volume utile du réacteur est de 250 ml. En utilisant (II.7.11), on trouve que le volume de la phase cellulaire vaut :
103
5 . 4 2 1000
10 = −
= ×
Vc litre
en utilisant comme précédemment une masse volumique cellulaire de 1000 g/l (cf. section II.2.)
Le volume de la phase liquide est alors selon (II.7.13)
Vl=0.25−2.510−3=0.2475litre
soit environ 100 fois plus que le volume cellulaire. On peut dès lors admettre que (II.7.7) est vrai et utiliser indifféremment les R- ou E- concentrations pour le composé i. En d’autres
termes, la biomasse est suffisamment faible que pour pouvoir assimiler la concentration expérimentale de i (R-concentration) à sa concentration pseudo-homogène.
Biomasse critique.
Essayons maintenant d’estimer la limite de la biomasse qui permette cette approximation.
Représentons par fv le facteur qui intervient dans (II.7.15) :
( c c)
V X
f =1− /δ (II.7.16)
Le tableau suivant donne les valeurs de fv pour différentes valeurs de la biomasse (toujours en supposant la masse cellulaire spécifique égale à 1000 g/l et une teneur en eau de 70%).
Xc gPS/l Xc gPM/l fv (1- fv).100 (%)
0 0.00 1.00 0
3 10.00 0.99 1
10 33.33 0.97 3
30 100.00 0.90 10
150 500.00 0.50 50
300 1000.00 0.00 100
Dans un système que l’on peut considérer comme essentiellement composé d’une phase liquide et d’une phase solide, l’erreur est égale ou inférieure à 3% si la biomasse est égale ou inférieure à 10 gPS/l. Cette erreur peut être considérée comme acceptable face à l’erreur expérimentale sur la détermination de la biomasse. Par la suite, nous considérerons que la correction n’est pas significative pour des systèmes dont la biomasse ne dépasse pas 10 gPS/l.
(Nous obtenons ainsi une valeur nettement plus basse que celle admise par Monbouquette (Monbouquette, 1987) qui adopte de 20 à 25 gPS/l. La biomasse critique doit être considérée
Tableau II.7.1.
Variation du facteur de correction entre R- et E-concentrations en fonction de la biomasse.
actuellement comme une grandeur relativement arbitraire, dépendant essentiellement des erreurs de mesures expérimentales. Il n’est cependant pas absurde de se demander s’il n’existe pas un critère (cinétique, par exemple) qui pourrait mieux objectiver cette valeur. A notre connaissance, une telle étude n’a pas été réalisée.) Pour des systèmes à haute densité ou a très haute densité de phase, nous estimons que la correction devient utile, en particulier pour la modélisation mathématique du processus (qui sert au contrôle, le plus souvent). Nous insistons cependant sur le fait que, en l’absence d’une objectivation de la biomasse critique, il faut garder à l’esprit l’objectif de la mesure et la valeur de l’erreur expérimentale (qui peut être très élevée dans un process industriel) avant de fixer une valeur « incontournable » à la biomasse critique
Cas d’une phase gazeuse.
Les systèmes dispersés comportant une phase gazeuse constituent un cas particulier. En effet, celle-ci ne peut être maintenue que dans un système ouvert par rapport à cette phase. Dès que l’aération (par exemple) cesse, la phase gazeuse disparaît et le système « se simplifie ». Lors d’un prélèvement, par exemple, le dégazage se fait quasi instantanément et le résidu de gaz dissous n’entraîne (en général) qu’une variation de volume négligeable.
Lors de l’aération, au contraire, le volume utile peut être parfois considérablement modifié par la présence des bulles de la phase gazeuse. Il convient donc d’être très prudent lors de la définition du volume utile et ce n’est pas nécessairement une opération simple. En effet, on peut définir le volume utile de deux manières : l’une consiste à définir le volume utile sans aération (VT(NG)) et l’autre avec aération (VT(G)). Selon les applications, les deux méthodes peuvent être utiles, mais il va de soi que seul le volume utile avec aération est celui qui correspond à la situation réelle. Il est facile de constater que la relation (II.7.6) peut être
considérablement influencée par la phase gazeuse, même si la phase solide est faible devant la phase liquide. Si le volume utile est défini sans phase gazeuse, les approximations définies au paragraphe précédent restent valables ; dans le cas contraire, il faut apporter des modifications. Malheureusement, dans la littérature, la définition exacte du volume utile n’est généralement pas fournie. Dans la suite, lorsque nous utiliserons des données de la littérature, nous supposerons que le volume utile renseigné est celui sans phase gazeuse et nous garderons l’approximation des 10 gPS/l comme biomasse critique avant d’appliquer des corrections. Il est cependant clair que notre hypothèse n’exclut nullement le risque de certains biais. Heureusement, les exemples traités comportent souvent une biomasse assez inférieure à 10 gPS/l, ce qui réduit l’amplitude de l’erreur.
Chapitre II. Bibliographie.
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