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Theorie algébrique du spin
Jean-Louis Destouches
To cite this version:
THEORIE
ALGÉBRIQUE
DU SPIN Par M. JEAN-LOUIS DESTOUCHES.Institut Henri-Poincaré.)
Sommaire. 2014 En partant d’hypotheses tres générales on est conduit a caractériser un corpuscule par un anneau d’’opérateurs (anneau fondamental). Le spin étant défini comme le complément à ajouter à l’opérateur
moment cinétique pour obtenir un opérateur intégrale première, on obtient pour les opérateurs spin un système de relations d’où sont déduites certaines formules.
Cherchant une méthode pour caractériser les corpuscules élémentaires, on est amené à distinguer divers degrés au moyen de la simplicité par rapport aux opérateurs de l’anneau fondamental. D’où la définition de
corpuscules à spin simple.
On démontre alors que les corpuscules à spin simple sont au plus de trois types (et au moins de deux) :
1° ceux à spin -1, 0, + 1 ; 2° ceux à spin 2014 1
/2, 0, + 1 /2 ; 3° ceux à spin 2014 1 /2, + 1 /2. Sur ces corpuscules quatre théorèmes sont démontrés concernant leur spin ; le premier établit que l’équation d’ondes de tout
corpuscule est du premier ordre et linéaire. Le second qu’un corpuscule est défini par son anneau fondamental
et que le spin ne peut être identiquement nul. Le troisième que les corpuscules à spin simple sont au plus de trois types, le quatrième que les opérateurs spin satisfont à certaines relations.
Enfin ces résultats sont appliqués aux divers corpuscules, en particulier à l’électron lourd (mésoton).
1.
Principes
fondamentaux. - Dans une séried’articles parus ces deux dernières années
(1)
nous avonsdéveloppé
une théorie trèsgénérale
basée sur leminimum
d’hypothèses
ayant
pour but de décrirele mouvement d’un
corpuscule
ou d’unsystème
decorpuscules.
Leshypothèses
que nous avonsadoptées
sont toutes douées d’un caractère de vraisemblancequi
fait que nous pouvons lesaccepter
avec la mêmeévidence que les
principes
de lagéométrie
ou ceux dela
mécanique classique.
Partant,
eneffet,
des notionsde mesure et de
prévision,
nous cherchons à décrirele
plus
simplement
possible
nosprévisions.
Nousconstatons d’abord que nous pouvons décrire toutes
les
prévisions
que nous pouvons faire pour un instant tpour un certain
système
physique
au moyen d’unélément X
(t)
àpartir duquel
nous calculerons les diversesprobabilités
des mesures que nous effectue-rons au moyen de loisindépendantes
dutemps (en
mécanique
ondulatoire ces loiss’expriment
par leprincipe
dedécomposition spectrale).
Cet élément X(t)
satisfait à une certaineéquation
différentielle diteéquation
d’évolution. Tout ceci ne fait intervenirqu’un
seulobservateur,
d’où le nom dePhysique
dusolitaire que nous avons donné à cette
première
partie
de la théorie.
Pour passer de cette
physique
du solitaire à laPhysique
collective il faut, que les observateurs aientacquis
la notiond’espace macroscopique
etqu’ils
entrent en relation par deséchanges
designaux.
Deuxprincipes
sont alors nécessaires : leprincipe
derela-tivité,
que nousprendrons
ici sous la forme restreinteet le
principe
desymétrie
relativiste. Avant d’énoncerces
principes, indiquons
encore un théorème essentiel(~) J.-L. DESTOUCHES. Journal de Physique, 1936, s. VII, t. 7, p. 305, p. 354, p. !~2ï, et 1937. t. 8. p. 145. p. 251. - Comptes
Rendu,s, 1936, t. 203~ p. 924 ; 1937~ t. 204, p. ~49, p. 1403, p. 1618.
- Bull. _4cad.
Roy. Belgique, 1936. t. 22 p. 525. et 193~. t. 23.
p. 159.
que l’on
peut
établir avec lesprincipes
de laPhysique
du solitaire une fois la not,ion
d’espace
physique
acquise.
Nous renoncerons sou 3 la forme intuitivesuivan_e :
THÉORÈME DES SIGNAUX. -
Étant
considéré unensemble
d’observateurs,
si un observateur de cet ensemble effectue une mesure, et s’il transmet par unsignal
son résultat à un autre observateur del’en-semble,
celui-cipeut
l’utiliser pour faire desprévisions
au même titre que ses propres mesures. En
outre,
unobservateur ne calcule pas seulement des
prévisions
pour ses propres mesures, mais aussi pour celles quepourront
fffeptuer les autres observateurs del’en-semble.
PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINTE. - Les lois
sont les mêmes pour des observateurs en mouvement
rectiligne
et uniforme les uns parrapport
aux autres.Le théorème des
signaux
estessentiel,
car c’est luiqui
introduit une solidarité entre les divers observa-teurs de l’ensemble considéré. Leprincipe
de relativiténous fixe seulement les observateurs pour
lesquels
leslois
physiques apparaissent
les mêmes. Nousconvien-drons de restreindre à de tels observateurs l’ensemble d’observateurs que nous choisissons.
Un troisième
princip?
est encore nécessaire.Don-nons-lui
provisoirement
la forme suivante : PRINCIPE DE SYMÉTRIE RELATIVISTE. -L’équation
d’évolution doit faire intervenir d’une
façon
symé-trique
les variables x, y, z, t.Ce
principe
n’est pascomplètement
indépendants
des deux
précédents,
maiscependant
il n’est paspossible
de le démontrer comme un théorème. 0.1p2ut
lui donner différentes formes
plus faibles,
mais il estnécessaire d’admettre un
postulat.
Nouspréciserons
ce
point
ultérieurement.106
2. Anneau fondamental attaché à un
corpus-cule. - Ces
principes
permettent
de fixer d’unefaçon
précise
la forme del’équation
d’évolution d’uncor-puscule.
Nous trouvons en effet : rLa
fonction y
est ditefonction
d’ondes et est liéeaux éléments de
prévision X
parLa
fonction ~
appartient
à un certain espacefonctionnel
(~)
que nous nepréciserons
pas ici. Noussupposerons seulement que cet espace
(~)
estlinéaire,
c’est-à-dire que la somme de deux éléments de
l’espace
est un élément de
l’espace
et que leproduit
d’unélé-ment par un nombre k, est encore un élément de cet espace.
Les lettres 80’ al, a2, a3, b
désignent
desopérateurs
qui
transforment un élément del’espace
(~)
en unélément de cet espace. Le
produit
de deuxopérateurs
étant défini commesymbolisant
deux transformations successives en commençant par celle écrite à droiteet la somme comme l’élément somme des transformés
par chacun des
opérateurs,
ondispose
de deuxopéra-tions de
composition
entre lesopérateurs :
l’additionqui
a toutes lespropriétés
de l’additionclassique
et leproduit qui
nepossède
que certainespropriétés
duproduit
algébrique classique ;
on ne suppose pas eneffet que le
produit
est commutatif et quechaque
opérateur
a un inverse. Cesopérations
nouspermet-tent de définir des anneaux
d’opérateurs
dansl’es-pace
( ~).
Le
principe
dessignaux
et leprincipe
de relativitéexigent
que lesopérateurs
ao. ~1, 82’ sont telsqu’il
existe desopérateurs
T-’-,
TA.,,
T~ ,
T;.
del’espacp
(~)
satisfaisant ausystème
d’équations
suivant :Les
T,-,,
TA.,,
T~ ,
Tp.
sont, comme les a,, ao, bdes
opérateurs
dansl’espace
(y)
qui
sontindépendants
desvariables x,
y, z, t et desopérateurs
dérivation parrapport
à ces variables.Nous
appellerons
anneaufondaniental
ducorpuscule
considéré l’anneau dont les
générateurs
sont les ao, a¡.c.,b,
Tl, T~~,
T~ ,
Ta,
cesopérateurs
étant liés parles relations écrites ci-dessus.
Les
propriétés
d’uncorpuscule
dépendent
essen-tiellement des
propriétés
de son anneau fondamental.Aussi l’étude d’un
corpuscule
se ramène-t-elle engrande partie
à une étuded’algèbre
abstraite,
d’oùle titre de cet article. C’est un fait curieux que l’on
puisse
parvenir
à des résultats extrêmementprécise
en ne faisant intervenir que des conditions très
générales
qui
se décrivent en utilisantl’analyse
générale,
les espacesabstraits,
l’algèbre abstraite;
les conditions introduites ne déterminent pashabituel-lement d’une
façon
univoque
les éléments considérés mais les déterminent seulement à une certaineiso-morphie
près,
et même les conditions ne sont pascatégoriques
leplus
souvent. On constate que c’estseulement les relations entre les éléments
qui importent
et non la nature de ces éléments. Par
exemple
la nature des éléments de l’anneau etn’importe
pas, mais seulement les relations entre leséléments,
comme les relations
(II)
qui
vont intervenir. A unensemble E d’éléments abstraits et un ensemble a
de relations entre ces éléments on donne le nom de structure
(1).
Dans notre théorie ce sont doncunique-ment des structures
qui interviennent,
c’estpourquoi
nous lui donnerons le nom de
Physique
structurale.
Ces structures sont introduites par les conditions très
générales
que nousimposons
etqui
ont uneorigine
soit
intuitive,
soitexpérimentale.
Sans l’aide desmathématiques
abstraites modernes il estimpossible
d’utiliser ces conditionsgénérales
et d’en tirerprofit.
Nous allons voir surl’exemple
duspin quels
genre derésultats elles
permettent
d’atteindre.3.
Antisymétrie
desTa.,.
- Nous allons montreren
premier
lieu que l’onpeut
supposer que lesT~
etT,,.,
sontantisymétriques,
c’est-à-dire que l’on a lesrelations :
Posons :
on a évidemment, :
La troisième
équation
dusystème (II)
résume troiséquations
pour uncouple
de valeurs fixé obtenues en fixant la valeur de C1. Nous obtenonsainsi :
en écrivant
3b)
enpei-rnutant !i
et v etajoutant
membre à membre à,3a)
oh a :En utilisant cette relation ainsi que
(1),
(2), (Jc)
onvoit que l’on a pour toutes les valseurs
de fL, v.,
a larelation :
En
remplaçant
lesT;I
etT,,
dans lesystème (II)
par leurs
expressions
en fonction des0;1,
.11 1 on obtient en vertu de la relation(9)
deséquations
où leset
":;1.’1 nefigurent
pas etqui
sont :On voit que ces
équations
sontidentiques
auxéqua-tions en
Tp..¡
dusystème (II).
Il suffit donc de chercherles
TWi
antisymétriques
et lesT,I."
lesplus
généraux
s’ob, iendront en
ajoutant
auxantisymétriques
des satisfaisant au
système d’équations
(9).
Si Aest un
opérateur
commutant. avec les aIT etb,
unesolution du
système (9)
est :k, étant un nombre.
Nous
adjoindrons
donc ausystème (II)
les condi’tions :
L’équation
(3b)
est alors uneconséquence
de(3a)
et
(10).
On
peut
considérerl’équation
(4)
comme unedéfi-n tiodéfi-n des &:1. en fonction des
T,,
T/ ,
ao. L’anneau et se trouvera alors défini par lesgénérateurs
ao,b,
T,,,,
T:~;,
Tl
T~
qui
sont au nombre de 14. Ceux-cisont liés par les relations
(~1), (2),
(3a),
(3c), (5),
(6),
(7) (10)
qui
sont au nombre de 27. L’étude de l’anneauconsistera à réduire le nombre des
générateurs
et deséquations indépendantes qui
les lient tout ensimpli-fiant celles-ci. C’est alors que l’on a à ranger les
corpus-cules en
plusieurs
types
suivant lespropriétés
desgénérateurs
de l’anneau fondamental et ce sont celles-ciqui
entraînent les différentespropriétés
phy-siques
descorpuscules.
4. Opérateur Spin. -’rout anneau cl défini par les conditions du
paragraphe précédent
ne sera pasacceptable
comme anneau fondamental attaché à uncorpuscule,
car il y a un certain nombre d’autrescon-ditions dont nous n’avons pas encore tenu
compte :
au nombre de celles-ci
figurent
les conditions despin.
Lamécanique
ondulatoire conduit à associer à toutegrandeur
de lamécanique
classique
unopérateur.
Enparticulier
à lacomposante
du momentcinétique
(l’un
corpuscule
est associél’opérateur
défini
par :Désignons
par ~,l’opérateur
dupremier
membre del’équation
d’ondes(1)
multiplié
par le facteur- .
soit:on démontre
qu’un
opérateur
A estintégrale
première
spi l’on a : LA - AL = 0
On constate alors que, dans les cas où le moment
cinétique
serait enmécanique classique intégrale
pre-mière,
il ne l’estplus
dans le cas d’uncorpuscule
obéissant à une
équation
d’évolution dutype
(1).
Onappelle
alorsspin
unopérateur
ayant
troiscompo-santes
S,, S2, S3
telles que, en l’absence dechamp
M~
+Sl, Mu
+S2,
Mz +
S3
soient desintégrales
prernières,
lesSi
satisfaisant en outre à la relation àlaquelle
satisfait les momentscinétiques,
soit :oette relation
qui
est introduite par des considérationsde théorie des groupes est essentielle. En
outre,
noussupposerons que les
Si
sontindépendants
des variablesa, y, z, t et des
opérateurs
de dérivation parrapport
àees variables.
Pour déterminer les S il faut écrire que les
opéra-teurs J11 + S commutent avec L. Ceci nous fournit un
système
d’équation auquel
les S doivent satisfaire. Considérons JTtz +S3,
par unepermutation
circu-laire,
nous obtiendrons les autres relations. Nousavons
(1) :
,,..
n’est dnn; pas
intégrale première. Nous
voyonsdonc que
toutcorpuscule possède
unopérateur
spin
qui
iie se réduit pas àl’opérateur mu.’tiplication
par zéro.Pour
L83 - 83L
nous obtenons :108
devons avoir
Comme nous avions
supposé
que les Si étaientindé-pendants
des variables x, y, z, t, ils commutent avecles
opérateurs
de dérivation et danschaque
membreles facteurs du même
opérateur
de dérivation doiyents’égaler.
Nous obtenonsalors,
en vertu des relations(14), (15), (16),
lesystème d’équations :
auquel
il fautadjoindre
la condition(13),
et toutes leséquations
obtenues par unepermutation
circulairedes indices
1,
2,
3. Enposant :
-le
système
précédent
se transforme en : .*On constate de suite
qu’un
si nepeut
pas se réduireà 0 ou à 1 et
plus généralement
nepeut
être unopé-rateur commutant avec les car il serait alors nul ce
qui
n’est pas. Un 8;.1. nepeut
donc commuter avec un a,.Nous ne devrons
accepter
commeopérateurs
ao, ai,a2, a3, b caractérisant un
corpuscule
que ceux telsqu’il
existe desT--t-,
Ta ,
1 T-,
T,,
s, solutions dessys-tèmes
(II)
et(IV).
Aux éléments de l’anneaufon-damental nous devrons
adjoindre
les s,, c’est-à-direeffectuer une extension de notre anneau ét, mais ce ne
sera pas une véritable
extension,
car encomparant
les
systèmes (II)
et(IV)
nous constatons que si lesystème
estsatisfait,
leséquations
(1), (2), (3)
dusystème (II)
le seront aussi à la condition de poser :X, y, v étant une
permutation
circulaire de1, 2,
3.Dans tout ce
qui
suivra,
nous ferons cette conventionque les lettres ~,, u, v,
prises
dans cetordre,
désignent
une
permutation
circulaire de1,
2,
3 et non uneper-mutation
quelconque.
La solution(18)
pour les T et T- noussuffit,
car nous n’avons besoin de connaîtrequ’une
solution. Notre anneau fondamental e1.peut
alors être maintenant détini par les
générateurs
ao,b,
s~.T~,
T7qui
sont au nombre de 1‘l. Ceux-ci sontliés par les relations du
système (IV)
ainsi que par lesrelations
(5),
(6),
(7)
dusystème (II)
qui
sont aunombre de 30.
B Relations entre les
opérateurs
s,A. - Apartir
de
l’équation (13)
et de celles que l’on déduit parper-mutation circulaire, nous allons
pouvoir
écrire des rela-t ions en effectuant un certain nombre d’additions et demultiplications.
Au lieu d’écrire ces relations aumoyen des
SA,
nous les écrirons au moyen des s;a cequi simplifiera
l’écriture ;
la relation(13)
prend
alorsla forme de la dernière
équation
dusystème
(IV),
soit :Changeons
les indices 1 en2,
2 en3,
3 en1,
multi-plions par i
etremplaçons
83 par sonexpression
tiréede
(19),
nous obtenons :.-Multiplions
àgauche
par S2l’équation
précédente
et, de même à droite et additionnons membre àmembre les deux relations ainsi obtenues. En
chan-geant
lessignes
nous avons :Calculons maintenant I"
(SI 822
+S22
si) ;
nous pou-vonsremplacer i
SI par sonexpression
tirée de(19)
ayant
subi lapermutation
d’indicesindiquée,
cequi
nous donne :en utilisant la relation
(20)
nous obtenons d’autrepart :
en
égalant
les seconds membres de ces deux relations et enremarquant
que,d’après
(19) :
nous avons :
d’oÙ:
Revenons à
l’équation
(21) ;
ellepeut
s’écrire :remplaçons
s9sls2 par sa valeur tirée de(23),
cequi
nous donne : s
Remplaçons
SI par sa valeur tirée de(19) après
per-mutation
circulaire
des indices. Il vientaprès
réduc-tion destermes
semblables etsuppression
d’un facteurCalculons maintenant
1 (si
83 SI + SI S2SI)
d’aborden
remplaçant i
SI par sonexpression
tirée de(19) :
-. on obtient ainsi :remplaçons
SIS3S2 par sa valeur tirée de(23) après
permutation
circulaire desindices ;
nous obtenons :Pour calculer
l’expression
considérée,
partons
de larelation
(19)
pour s2 etmultiplions
à droite par s, et àgauche
parde
même à droite par s, et àgauche
par SI’
puis ajoutons
ces deuxexpressions,
il vient :en
remplaçant
si s, si par sa valeur tirée de(23) après
permutation
circulaire des indices nous obtenons : -,En
remplaçant
le crochet par sonexpression
tiréede
(25) après permutation
circulaire des indices et enle faisant passer au
premier
membre,
nous avons :A.
partir
deséquations écrites,
on en obtient d’autres parpermutations
circulaires,
mais on ne doit pas fairede
permutations
non circulaires. Parexem ple,
nous avons donné au moyen de(23),
uneexpression
de83 Si S2 ; on en déduit de suite une .pour Si 83 si ou
s3 s2 S., mais on n’a pas
d’expression
pour si s2 81 ;il
est nécessaire dereprendre
les calculs pour avoir detelles relations.
-En
changeant
les indices1, 2, 3
dans(19)
en, 1,
2respectivement
et enremplaçant
83 par sonexpression
tirée de
(19),
on obtient :par
multiplication
par s1 on obtient dp la mêmemanière que tout à rheure :
considère ,
S 12
au 1(S1
S2
2-~
S2 2 SI)
et onconduit
le calculde
la mêmemanière,
cl’où :
6. Condit!on? Pour aller
plus
loin,
il nous faut introduire des conditions d’ordre
quantique
dont nous ne discuterons pas ici la
légitimité.
Nousles admettrons comme
postulat3:
en voici l’énoncé :1° Les
opérateurs
a;, si, ao, b, sont desopérateurs
linéaires ; -,
‘?° Il y a des éléments l~~ de
l’espace
(y)
tels quel’on ait : a X,. =
(27)
les l.z étarit des nombres
réels ;
l’ensemble desXL
asso-ciés à une valeur }.z est dit « ensemble des éléments
propres associés à la valeur
propre ai >>
;3° Tout élément X de
l’espace
(~)
appartipnt
à lamultiplicité
définie par l’ensemble des élémentspropres, ou encore pour tout élément X on
peut
trouver des élémentsXi
tels queles
Xi
étant des éléments propres(condition
despectre
complet).
Ces conditions ne sont pas de nature
algébrique,
mais
précisent
lespropriétés
desopérateurs
dont nousnous occupons en tant
qu’opérateurs
del’espace
(~).
Comme nous l’avonsindiqué
audébut,
nous ne feronsintervenir que des conditions de nature
algébrique,
aussi ne nous servirons nous des trois conditionspré-cédentes que dans la mesure où elles nous donnent des conditions
algébriques,
conditionsqui
sontplus
faibles que les troisénoncées,
mais,
comme ce sont celles-ciqui
ont un sens directementphysique
et non leursconséquences
algébriques,
nous avonspréféré
lesénoncer au lieu de rester dans le domaine
algébrique.
7.Corpuscules
à spi n simples.- Il n’est pas aisé dedéfinir d’une
façon
précise
cequ’est
uncorpuscule
élémentaire. La notion intuitive de
corpuscule
élé-mentaire ou
corpuscule
simple
réside en uneparti-cule insécable. Mais le caractère d’insécabilité est relatif à certains moyens de
décomposition.
Outre le caractèreinsécable,
les notionsatomiques
nouscon-duisent à attribuer des caractères de permanence à
certaines des
propriétés
descorpuscules
élémentaires :il y a des
grandeurs physiques qui,
mesurées,
donne-ront pour un
corpuscule
élémentairetoujours
la mêmevaleur. C’est là que nous trouverons la définition
pré-cise d’un
corpuscule
élémentaire oucorpuscule simple.
le caractère de
simplicité dépendra
desgrandeurs
physiques envisagées.
Certainscorpuscules
pourront
présenter
le caractère de la valeurunique
pourcer-taines
grandeurs,
alors que d’autrescorpuscules
leprésenteront
pour d’autresgrandeurs.
Cependant,
comme un
corpuscule
est caractérisé par son anneaufondamental c1, ce sont les
générateurs
de cet anneau,et eux
seuls, qu’il
faut considérer. Nous devons doncconsidérer les
opérateurs
ao, ai, a2, a3,b ;
lasimplicité
110
de non commutation. Il nous faut considérer que nous
avons une valeur
unique
si les xi se réduisent à-
1, ~-- X, et éventuellement 0.
Mais,
outre lesopérateurs
ai, nous avons lesopéra-teurs
spin
qui jouent
un rôleimportant
etqui
sont desgénérateurs
de l’anneau d. Nous devons donc consi-dérer le caractère desimplicité
parrapport
auxopé-rateurs
spin. Ainsi,
plusieurs
degrés
etplusieurs
types
desimplicité apparaissent
pour classer lescor-puscules
suivantqu’on
fait choix de tels ou telsopé-rateurs pour évaluer la
simplicité.
Deplus,
nousver-rons que les caractères de
simplicité
que nous venonsd’adopter
ne déterminent pasnécessairement
l’insé-cabilité : c’est ainsiqu’un photon
de Louis deBroglie
apparaît
simple
parrapport
aux critères que nousvenons
d’adopter,
alorsqu’à
d’autrespoints
de vueque roufs exa minErons
ailleurs,
ilapparaît
complexe.
Aussi,
remettrons-nous àplus
tard la définitionpré-cise d’un
corpuscule
élémentaire et nousbornerons-nous, pour
l’instant,
à considérer lescorpuscules
«
simples ,
parrapport
à certainsopérateurs
del’anneau ~;L attaché au
corpuscule
considéré. Commedans ce
travail,
nous nous limitons strictement àl’étude du
spin,
nous considérerons lescorpuscules
simples
parrapport
auxopérateurs
spin ;
nous lesappellerons
lescorpuscules
àspin simple.
Il estévi-dent,
en vertu del’isotropie
del’espace,
que si l’on ale caractère de
simplicité
pour unopérateur
spin,
ondoit l’avoir pour les deux
autres,
d’où la définition suivante : -.Définition.
corpuscule
est dit àles propres des
opérateurs
spins
ne comprennent auplus
que -k, 0,
-+-k,
la lettre kdésignant
unnombre
positif.
On voit que sur ces trois valeurs propres deux au
moins
existent ;
s’il n’existaitqu’une
seule valeur propre, ou bien on aurait0,
et, en vertu deséqua-tions
(19)
tous lesopérateurs
spin
seraient nuls et cecine
peut
avoir lieu en vertu de la définition duspin,
oubien on aurait - k
ou +
k,
un desopérateurs
s seréduirait à *
k.l,
mais un telopérateur
nepeut
satis-faire aux
équations
(19)
car si si a cettevaleur,
deuxéquations
entraînent que s, = s3 = 0 et la troisièmeexige
que si .-_. 0 : il y a contradiction.D’autre
part,
le caractèred’homogénéité
del’espaces
fait que Si, s2 et S3 doivent avoir les mêmes valeurs propres, si bien que s’il y asimplicité
parrapport
à l’und’eux,
il y asimplicité
parrapport
aux trois. Enoutre, on
peut
orienter un axe à songré
dans un sensou dans
l’autre,
si bien que si l’on a la valeur propre k on a aussi la valeur proprP 2013 /t’. Nous n’avons doncque deux cas à
distinguer
°1° Le
spin
a trois valeurs propres -k,
0,
,- k ,
2° Le
spin
a deux valeurs propres --E- k.
Ce sont les deux seuls cas
qui
peuvent
seprésenter
pour un
corpuscule
àspin simple.
Ces conditions ne sont pas de nature
algébrique.
Or,
pour I1P pas sortir dud001ainl’ que
1101-111, nous sommesfixé,
nous devons avoir un critèrealgébrique
desim-plicité
duspin.
Il est bien facile d’en obtenir un, envoici l’énoncé :
TiiÉORÈME l. - Si
un
corpuscule
est àspin sim ple,
ses de
spin
Siçatisiont
à laronditiolt
si,
en outre, la valeur propre 0 estexclue,
on a :k étant la valeur absolue des valeurs propres non nulles. Il est évident
qu’un
opérateur
satisfaisant seule-ment à l’une des relationsprécédentes
et ausys-tème
(IV)
nepeut
êtreaccepté
pouropérateur
spin,
il faut encore
qu’il
satisfasse aux trois conditionsquantiques
duparagraphe (6),
mais dans la suitene
quittant
pas le domainealgébrique,
c’estunique-ment par ce théorème que nous
repérerons
lasimpli-cité. Pour le
démontrer,
utilisons les relations(27)
et(28) ;
nous avons : sce
qui
établit la relation(29).
Dans le cas où la valeurpropre 0 est
exclue,
il suffit de faire c, = 0 et larelation
(30)
se trouve vérifiée.Ainsi,
uncorpuscule
à
spin simple
est uncorpuscule
tel que sesopérateurs
spin
satisfassent à la relation(29)
et,
s’il n’admet pas la valeur propre0,
ilsatisfait,
enoutre,
à(30).
Nousallons d’abord étudier le cas
général,
puis
ce second cas : -. nous allonsvoir,
eneffet,
que le nombre knt-peut
êtrequelconque.
8.Valeur·du spin
d uncorpuscule
à spi n simple.
- Nosopérateurs
spin
satisfont ausystème (IV)
et,
enparticulier,
aux relations(19)
qui
entrainent uncer-tain nombre de relations comme
(20)
à(26). Si,
enoutre,
nous avons la condition desimplicité
(29),
lespuissances qui figurent
dans ces relations se réduisentet l’on obtient des relations
plus
simples.
Considérons,
en
premier lieu,
la relation(24).
Pour uncorpuscule
à
spin simple,
elle se réduit à :Cette relation est vérifiée dans deux cas distincts :
Io k == t : -~
20
S2’
S3 == S3s~2
et les trois relations obtenuespar
permutation
circulaire.L’équation (23)
devient111 Dans le cas 1° on a :
La relation
(21) devient,
en tenantcompte
de(29) :
eii utilisant la relation
(32)
elle se transforme en :qui
est vérifiée dans deux cas distincts :La relation
(20),
en utilisant(32)
se réduit à :qui
donne dans le cas 1_° :et dans le cas
2~,
en vertu de(33; 20)
qui
nous donne :les relations
(31;
2~)
sont vérifiées et nous obtenons :en utilisant
(32)
nous avonscette relation ne
peut
être vérifiée que si lescoeffi-cients de s, dans les deux mEmbres sont
égaux,
d’où :En tenant
compte
de(30)
le second membre de larelation
(25)
se réduit àqui, d’après
les relations(19)
estnul,
d’où la relation :Les relations
(31)
à(35)
ne sont pasindépendantes,
certaines sontconséquences
les unes des autres soitdans le cas
1°,
soit dans le cas2°,
et il nous reste : Cas 1 0 :Cas 20 :
9. Valeurs du
spin
d’un corpuscule àspin
simple sans valeur propre nulle. - Dans
ce cas
particulier
decorpuscule
àspin simple,
la relation(29)
estremplacée
par la relationplus particulière
(30).
Larelation
(24),
transformée en(31)
estremplie
d’elle-même. La relation
(20),
transformée en(34)
nousdonne,
d’après
(30) :
qui
n’est satisfaite que si :la relation
(21)
ou sa transformée en(33)
donne :82si -I-- 81S2 = 0
(33;
30)
les relations
(23), (32), (35)
sont alors satisfaites.Finalement,
pour ce cas que nousdésignerons
par 30:les relations
(3’1)
à(35)
se réduisent à(,î4; 30)
et(33; 3c).
10. Théorèmes fondamentaux. - Cette étude
nous conduit donc aux théorèmes suivants :
THÉORÈME 1. -
L’équation
de toutcorpuscllle
est drzpremier
ordre et linéaire.f orvufe
générale
est donnée parl’équation
(1).
TiiÉORÈME 2. ---- Un
corpuscule
estdéfini
par sonanneau
fondamental
d’opérateurs,
cl,
dont lesgénérateurs
sont ao,b,
S1, S2, S3,T1, T2, T3,
Tt, T~,
T+
etqui
sontliés par les relations du
système (IV)
et les relations(5),
(6); (7)
dusystème
II(les opérateurs
al, a2, a3 étantdéfinis
par leséquations
(4)
de cesystème).
I.,"ncorpus-cule a nécessairement un
spin
nonidentiquentent
nul.THÉORÈME 3. - Les
corpuscules
àspin simple
sontau
plus
de trois types ; ces types sont caractérisés par lesvaleurs propres des
opérateurs
spin
si :Les mots « au
plus »
dans l’énoncéprécédent
sont mis pour le cas où lescorpuscules
dutype
2~n’existe-raient pas en fait et seraient des
représentations
impropres
descorpuscules
dutype
30. Les raisonne-mentpurement
algébriques
nepermettent
pas dedéterminer si les
corpuscules
dutype
20 sont effecti-vement distincts ou non de ceux dutype
3°. C’estpourquoi
nous ne trancherons cepoint
que dans untravail ultérieur
(*).
1*) Les corpuscules du type 2- sont des représentations
impropres de ceux du type 3° si la mtss? est mn nulle. Voir Comptes 1938. t
206.
p 1095 et 1 281. INntP ajoutpp à la112
THÉORÈME 4. - Les
opérateurs
SI des(’orpllscllles
du 1°satisfont
aux relations (29~1°),
(32;
1°),
(34:
1°), (35)
~/? outre des relations IV. Ceux~1u 2° ccttr (2~~
2~).
(12:2°).
(33~
’~° :onticonunutation).
du type 3’(:30),
(33: 3° :Ou
connaît (les réalisations decorpuscules
de chacun de cestypes
danslesquelles
lPsopérateurs
de l’anneaufondamental sont définis sous forme de matrices. Ce
sont pour les
corpuscules
duprcmier
type
lephoton
de Louis de
Broglie (1)
et lecorpuscule
depremier
type
de Gérard Petiau(2).
Pour les copuscules
dusecond
type,
lecorpuscule
de secondtype
dePetiau,
pour les
corpuscules
du troisièmetype,
lescorpuscules
de Dirac.
Le théorème 3 a unp
conséquence
importante :
COROLLAIRE. - Si un valeurs
propres pour le
spLn
- 1 et -1,
il a en outre nécessai-rerrLent la valeur propre 0.Ceci est une
conséquence
du faitqu’il
n’y
aqu’un
seul
type
decorpuscules
ayant
unspin
ayant
la valeurpropre 1 : le
type
1°. Ce résultatqui
n’est démontréici que pour des
corpuscules
àspin simple
s’étendraau cas des
corpuscules
àspin
multiple,
mais,
pour cescorpuscules,
une étudeplus approfondie
de l’anneaufondamental est
nécessaire,
aussi,
ne la ferons-nousque dans un travail ultérieur.
11. Considérations sur l’électron lourd. - Les
remarques faites à propos de la récente découverte de l’é ectron lourd
qui
aurait une masse de l’ordre de200 fois la masse de
l’électron,
et que l’on ne voitqu’aux grandes
vitesses,
nous font supposerqu’un
telcorpuscule
serait uncorpuscule
àspin simple
dupre-mier
type.
D’autrepart,
deshypothèses
le faisant intervenir dans des considérations sur le neutron etle
proton
conduisent à lui attribuer unspin
1. Maisce
qui
nous semble leplus décisif,
c’estqu’il n’apparait
qu’aux
grandes
vitesses. Il nousparaît
alors que, s’ilpossédait
unspin
1/2,
il subsisterait aux faibles vitesses devant alors suivre les lois d’un électron de Dirac et ondevrait
pouvoir
l’observer. Aucontraire,
s’il a un(1) Louis de BROCHE. Une izoitç,elle cunceptiart de la LUlluèrc.
Actualités scient.. n" 181, 1934 et J’otcvelles reelterrlies ,,.iii. la
Actualités 11, 411. 1936.
(’) Gérard C’ontrtbuiiort ci la tlrevrie des
Thèse, Pari,, 1936. Recueil des Mémoires de FAcademie royale de Belgique 1936.
spin
1,
il est dutype 1°,
clone admet la valeur 0pour
lespin.
Onpeut
montrerqu’un
telcorpuscule
a alorsdes états zéro, ou états
d’annihilation,
cequi
expli-querait qu’iiii
électron lourddisparaisse
aux faiblesvitesses, trouyant annihil’’’ dans des chocs avec 1111
noyau. d’une manière un peu
analogue a
celle dont uniphoton
absorbé par un atome et passe à l’étatzéro ;
la conservation de lacharge
sera satisfaite si l’annihi-‘
lation d’un électron lourd
négatif
n’a lieu que sur unproton
et le transforme en neutron, et l’annihilationd’un électron lourd
positif
rl’a lieu que sur unneutron,
le transformant en
proton.
Nousespérons
préciser
ceshypothèses
dans unprochaiil
travail.Coticlusiori. - Partant
uniquement
deshypothèses
trèsgénérales
de notre théorie de laPhysique
structu-rale,
nous sommes conduit à caractériser uncorpus-cule par un anneau
d’opérateurs,
dit anneaufonda-mental. Définissant alors le
spin
commecomplément
àajouter
àl’opérateur
momentcinétique
pour obtenirun
opérateur
intégrale première,
nous obtenons pourles
opérateurs
spin
unsystème
de relations d’où nousdéduisons certaines formules
importantes.
Cherchant une méthode pour caractériser les
cor-puscules
élémentaires,
nous sommes conduit à distin-guer diversdegrés
au moyen de lasimplicité
parrapport
auxopérateurs
de l’anneau fondamental.D’où la définition de
corpuscules
àspin simple.
Toutcorpuscule
élémentaire est àspin
simple,
mais l’inverse n’est pas nécessairementvrai,
une définitionthéorique
précise
d’uncorpuscule
élémentaire étant remise àplus
tard.Nous constatons alors que les
corpuscules
àspin
simple
sont auplus
de troistypes
(et
au moins dedeux) :
1°spin
- 1, 0.
, +1 ;
~°2013 1/2,
0,
+1/2 ;
3°
--1~2, ~- 1~2.
Sur cescorpuscules
nous pouvonsénoncer
quatre
théorèmes fondamentaux.Enfin,
ces résultatsthéoriques
peuvent
êtreappli-qués
auxcorpuscules
dont on ne connaît pas encorel’anneau fondamental :
proton, neutron,
électronlourd. C’est surtout pour ce dernier
corpuscule
quenous pensons que les résultats de ce travail
peuvent
’
être
utiles,
leproton
et le neutronexigeant
une étudeplus
approfondie
de l’anneau fondamental.Fun
terminant,
nous tenons à faire remarquercom-bien de résultats
précis
peuvent
être obtenus au moyendes méthodes très
générales
de notre théorie de laphysique
structurale,
basée sur le minimumd’hypo-thèses et
l’emploi
desmathématiques
modernes. Enparticulier
dans ce nlémoire n’utilisons-nous que lesméthodes de
