Sur la représentation géométrique des corpuscules et la méthode triondulatoire

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Sur la représentation géométrique des corpuscules et la

méthode triondulatoire

F. Aeschlimann

To cite this version:

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Phys. Rev., 1937, 51, 637.

SUR LA

REPRÉSENTATION

GÉOMÉTRIQUE

DES CORPUSCULES ET LA

MÉTHODE

TRIONDULATOIRE

Par Mme F. AESCHLIMANN.

Institut Henri Poincaré, Paris.

Sommaire. - Dans _ce travail sont

indiqués les _premiers éléments d’une méthode pour

rappro-cher la «théorie de la double solution » de M. Louis de _Broglie de _{1927 des théories quantiques} usuelles. On part d’une critique de la notion de système physique et de la représentation géomé-trique des _corpuscules. On est conduit à représenter un _{corpuscule par} une fonction u de _point de l’espace-temps. Cette fonction u est comparée à la fonction d’onde _{prévisionnelle 03C8} de la _mécanique ondulatoire. Les _prévisions pour un _{corpuscule décrit par la représentation} fonctionnelle _{s’expriment}

au moyen d’une fonctionnelle X (u, t). Trois types d’ondes interviennent : onde _physique u, onde

prévisionnelle sommaire 03C8, onde _{prévisionnelle} fonctionnelle _X, d’où le nom de méthode triondulatoire. LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME _13, DÉCEMBRE

_1952,

PAGE 600.

1. Introduction. - En

1926

et dans une série de Notes et de

Mémoires,

M. Louis de

_{Broglie ( I ]}

a

_développé

une très

_{ingénieuse conception}

de la

mécanique

ondulatoire sous le nom de « théorie

de la double

solution »;

mais des difficultés sérieuses

avaient conduit M. Louis de

_Broglie

_[2]

à

aban-donner cette théorie dès la fin de

_1927.

Actuel-lement,

les recherches

_entreprises

_{pour obtenir} une

théorie meilleure que la

mécanique

ondulatoire

habituelle ont ramené l’attention sur cette concep-tion

_[3].

Pour essayer de lever certaines des difficultés

qui

se

_présentent,

il nous semble

_qu’il

faut

_attaquer

la

question

d’une autre

_façon,

en

_analysant

les notions fondamentales concernant la

_{représentation physique}

des

_corpuscules

et des

_systèmes

et en se laissant

guider

par

quelques

considérations

_générales.

De cette

_façon,

un

_premier

_pas

_peut

être fait vers une

synthèse

de la théorie de la « double solution _{» ,de} M. Louis de

_Broglie

et d ~s théories

_quantiques

sous leur forme habituelle

_(théorie

_statistique

avec

complémentarité

de

_Bohr).

De cette

manière,

nous

allons voir intervenir trois

_types

d’ondes,

d’où le

nom de méthcdè triondulatoire donné à cette tenta-tive.

2. La notion

_d’espace.

- La formation des connaissances

géométriques

du

_lycéen

est initia-lement de

_type

_{expérimental;}

elle est _{réalisée par le}

dessin

_qu’on

_prolonge

ensuite _par schématisation et

abstraction;

ceci le conduit à considérer la

_géométrie

euclidienne

_(qu’il

étudie ensuite de

_{façon purement}

rationnelle fondée sur

_{l’évidence)}

comme

parfai-tement

_adéquate

à

_{l’expérience géométrique.}

Or,

on

sait que cette

adéquation

cesse d’avoir lieu _{dès que}

l’on fait intervenir des

_exigences

relativistes.

L’expérience

ne suffit _{pas pour la détermination de}

l’espace physique,

car elle laisse des éléments

indé-terminés, par suite de la

précision

limitée de toute

expérience.

Un _espace est

_acceptable

comme _espace

physique

pour autant que ses

propriétés

_respectent

l’organisation

du

_quasi-espace

défini

_{par les}

riences

_{géométriques}

avec leur

_précision,

et une fois

fixé par

quels

ensembles sont

_{représentés}

les éléments

physiques.

D’une

_façon

_{plus précise,}

un _espace abstrait

_(~)

au sens de Fréchet

_[4]

devient un espace

physique

si sa

_topologie

_respecte

l’organi-sation du

_quasi-espace

défini par les deux conditions

suivantes : I ~ .on a

_précisé

_par

_quels

ensembles de

l’espace

(-’,I)

les éléments

_physiques

sont

suscep-tibles d’être

_{représentés;}

20 on a défini des

voisi-nages pour ces éléments

_physiques

en termes de. résultats de mesures

_[5].

’

Si l’on ne tient

_compte

_que des

_expériences

géomé-triques

à l’échelle

humaine,

avec leur

_précision

limitée,

on constate que

l’espace

euclidien à trois

dimensions

_respecte

le

_quasi-espace

_{défini par} ces

,experlences.

Bien

_qu’à

l’échelle

_{microscopique,}

des

_expériences

géométriques

ne soient pas

_possibles,

des

considé-rations

_{géométriques}

subsistent en

_{microphysique;}

en

_effet,

toutes les mesures

_{microphysiques}

se font en utilisant des

_appareils

à l’échelle

_humaine,

_qui

sont donc

_{descriptibles}

dans un _espace euclidien.

C’est alors

_l’espace

euclidien

_qui

sert de cadre de

représentation;

en

_particulier,

il sert à décrire les

résultats de mesures de

_type

_spatial

d’un obser-vateur concernant un

_système

_{microphysique.}

Le

problème

se pose alors de déterminer

jusqu’à

quel

point

une telle

_{représentation}

est

légitime.

3.

_{Représentation physique}

d’un

_corpuscule.

--a Nous

partirons

de la définition du

_corpuscule

donnée par Ni. J.-L. Destouches

[61,

fondée sur la notion _{de morcellement. On admet que} toute suite

de morcellements d’un

_{objet physique}

est finie et

déterminée et l’on

_{appelle corpuscule}

une

_partie

d’un

_{système physique}

insécable relativement à certains

_procédés

de morcellement. Un

_corpuscule

est élémentaire s’il est _{insécable par}

_rapport

à tout

procédé

de morcellement.

Au

_point

de vue

géométrique,

un

_corpuscule

est

représentable

par un

_point,

notamment si l’on admet

avec Euclide _que le

_point

est « ce

_qui

n’a pas de

parties»

et,

avec

Leibniz,

_{que « là où} il

n’y

a

_point

de

_parties

il

_n’y

a ni

étendue,

ni

figure,

ni

divisi-bilité

_possible

»

_[7].

Mais au

_point

de vue

_physique,

il

_n’y

a _pas de raison pour que toutes les

propriétés

d’un

_corpuscule

soient

_{représentables}

comme des

fonctions du

_{point qui}

le

_figure.

Certaines

_propriétés

seulement du

_corpuscule

_peuvent

être

_{représentées}

ccmme des fonctions de ce

_{point figuratif. Jusqu’à}

maintenant,

ces

_propriétés

ont

_toujours

été décrites

par certaines entités

_{géométriques}

fonctions du

_point

figuratif :

scalaire

(comme

la

_masse),

vecteur

_(moment

magnétique

d’un

_petit

aimant

_pratiquement

ponc-tuel),

tenseur

_(tenseur

d’inertie d’un

_système

assez

petit

pour être

représenté géométriquement

par son centre de

_{gravité), spineur (spin).}

On décrit ainsi les

propriétés

physiques

d’un

_système

suffisamment

petit

pour que les

procédés

d’observation dont on

dispose

ne

_permettent

_pas

_{d’y distinguer}

des

_parties.

Mais on ne

_peut

_pas être certain

qu’une

telle

représentation

soit

_{parfaitement adéquate,}

car on ne

_peut

_{pas être sûr que} l’on a

déjà

découvert _par

l’expérience

toutes les

_propriétés

d’un

_système

phy-sique

ou même d’un

_corpuscule.

Il

_peut

_toujours

exister des

_grandeurs

observables en

_principe

et encore

_ignorées.

Par

_expérience,

avec des

_appareils

de mesures, on ne

_peut

obtenir

_plus

d’un ensemble fini de

nombres,

mais on

_peut

_{penser que} cet ensemble

a un nombre cardinal

_{qui dépasse}

un nombre

donné On a le droit

_d’imaginer

_que ce nombre

cardinal

_dépasse

tout nombre N donné d’avance

et

ainsi, éventuellement,

un

_{corpuscule pourrait}

se trouver _{caractérisé par} une infinité dénombrable

de nombres.

Les

_{propriétés physiques}

actuellement connues

d’un

_système

_{représentable géométriquement}

_par un

point

(corpuscule)

sont en nombre fini et

déter-miné ;

on les obtient effectivement par

_{l’expérience}

au _moyen

_{d’appareils}

de mesure

_et,

_pour ce _cas, la

représentation

au _moyen d’un ensemble fini de

nombres ou de

_grandeurs

_{géométriques}

est

suffi-sante. Mais on ne

_peut

_{être certain que dans} une

théorie meilleure tout

_{corpuscule puisse}

être ainsi caractérisé et l’on doit laisser comme une

possibilité

ouverte le cas où il faudrait une infinité dénomhrable

de nombres pour caractériser un

_corpuscule.

4.

_{Représentation}

fonctionnelle d’un

cor-puscule.

- La donnée d’une infinité dénombrable

de nombres est

_équivalente

à la donnée d’une fonc-tion

_{qui appartient}

à une classe de fonctions consti-tuant un _{espace fonctionnel}

_séparable.

En

effet,

le nombre cardinal de l’ensemble des nombres

nécessaires à déterminer une telle fonction ne saurait

dépasser

la

_puissance

du dénombrable

_(cette

puis-sance étant

_déjà

_{obtenue par} un _passage à la limite

à

_partir

des

_{possibilités expérimentales}

_effectives).

On doit donc admettre un

_principe

de

limitation,

d’après

lequel

les fonctions

_acceptables

dans une

théorie

_physique

doivent

pouvoir

être atteintes au

moyen d’une suite dénombrable de fonctions carac-térisées chacune _par un ensemble fini et déterminé

de nombres

_{expérimentaux.}

Cette

_exigence

de

sépa-rabilité doit être

_posée

pour toute théorie

physique.

Si donc nous voulons décrire un

_corpuscule

sous son

_aspect

physique

d’une manière

complète,

c’est-à-dire en laissant ouverte toute nouvelle

caractéri-sation,

ce

_qui

revient à

_ménager

une infinité dénom-brable de caractérisations

_possibles,

nous devrons le

représenter

par une fonction constituant un

_point

d’un espace fonctionnel

séparable.

Nous

_désignerons

cette _{fonction par} u. Dans certains cas, il sera

_plus

adéquat

de

_représenter

le

_corpuscule

non _{pas par} une seule fonction u, mais par un ensemble fini

ondu-latoire,

pour un

_corpuscule

à

_spin,

on utilise non _pas

une seule fonction d’onde

_numérique,

mais un

_spineur

constitué par un ensemble fini de fonctions

numé-riques).

Tel sera le cas, par

exemple

si,

pour une

grandeur caractéristique

A

_(interne)

d’un

_corpuscule,

nous connaissons son

_spectre

formé de n

_valeurs;

alors,

au lieu de

_représenter

_physiquement

ce

cor-puscule

par une seule fonction _u, nous _{pouvons le}

représenter

par n fonctions _ui, dont chacune

corres-pond

à une des valeurs

_possibles

de la

_grandeur

considérée. Cette

_{décomposition}

se

_présentera

_chaque

fois que l’on

explicitera

une des

_{caractéristiques}

du

carpuscule

(par exemple,

spin

ou

_spin

_isotopique).

Dans ce

_{qui précède,}

nous n’avons fait intervenir

qu’un

observateur. Dans le cas où l’on considère un ensemble d’observateurs en mouvement les uns _par

rapport

aux _autres, la variance des

_grandeurs

atta-chées au

_corpuscule

se

_précise

et l’on est conduit à

distinguer

entre

_{grandeurs caractéristiques}

internes et

_{grandeurs cinétiques.}

_{Le nombre des} compo-santes Ui de la

représentation

fonctionnelle se trouve

alors

_précisé

et celui-ci

_dépend

du

_type

de

cor-puscule

considéré. Par u, nous

_{désignerons,}

soit l’ensemble des fonctions ui, soit la fonction u si elle

est

_unique.

’

5. Fonction u et

_fonctions

de la

_mécanique

ondulatoire. -

Remarquons

que la fonction u

représentant

le

_corpuscule

au

_point

de vue

_physique

est

_quelque

chose de tout différent de la fonction

d’onde ~

de la

_mécanique

ondulatoire

_qui,

elle,

décrit nos connaissances sur le

_corpuscule

et non

pas le

corpuscule

lui-même. Dans les

hypothèses

envisagées

ici,

le

_corpuscule

est

_représenté

_{par la}

fonction u, alors que dans la

mécanique

ondulatoire le

_corpuscule

est décrit par un

_point

variable libre

M,

argument

de la fonction

_~.

Les

_prévisions

concernant le

_corpuscule

sont décrites dans montre

hypothèse

de la

_{représentation}

fonctionnelle au

moyen d’une fonctionnelle X

(u,

1)

qui jouera

un

rôle semblable à celui de la

_{fonction §(M, 1)}

en

mécanique

ondulatoire.

Nous sommes donc conduits à

_adopter,

comme

représentation

d’un

_corpuscule,

un

_point

géomé-trique

M de

_{l’espace physique}

_pour sa

_{représentation}

géométrique

et une fonction u _pour sa

représen-tation

_physique.

Comme

_{l’aspect géométrique}

est un

_aspect

_partiel

de la réalité

_physique,

le

_point

1B1 doit être défi-nissable au _{moyen de la fonction} u, ce

_qui

revient à

dire que M doit être une fonctionnelle de u. Cette fonctionnelle sera

_désignée

_{par l’écriture}

_sing

_u, soit

(la

notation

_sing

étant introduite pour

rappeler

que

dans la

_{conception primitive}

de M. Louis de

Broglie [ 1

le

_point

_apparaissait

comme une

singu-làrité

_{mathématique}

de u, ce

_qui

n’est

_plus

nécessai-rement

_supposé

dans sa

_conception

actuelle

_[8]).

6. L’onde

_physique

u. - La fonction _u s’est

introduite comme

_point

d’un espace fonctionnel

séparable,

mais pas du tout comme loi de

corres-pondance

entre deux variables.

Pourtant,

puisqu’il

s’agit

d’une

fonction,

il nous faut

_préciser

ses

argu-ments. Les raisonnements

_précédents

ne les font pas

intervenir

et ils ne

_peuvent

être

précisés

qu’à

l’aide d’une

_{hypothèse physique.}

Nous ferons intervenir la suivante sous forme d’un

_{principe :}

PRINCIPE DU RATTACHEMENT SPATIAL. - IIn élément

_{mathématique qui}

a une

_{signification}

phy-sique

se rattache de

_quelque

manière au

_temps

et cc

l’espace.

Dans le cas de notre fonction u

_(ou

de nos

fonctions

ui)

considérée par

hypothèse

comme un élément

_physique

décrivant un

_corpuscule,

nous avons à fixer ses

_arguments.

_D’après

le

_principe

précédent,

cette fonction doit être rattachée à

l’espace

et au

_temps;

ceci conduit à fixer que

l’ar-gument

de u est un

_point

d’espace-temps,

c’est-à-dire que dans le

système

de référence d’un

obser-vateur la fonction u a _pour

_arguments

un

_point

P

de

_l’espace

et le

_{temps T,}

soit

Il _{faut bien remarquer que la}

_{signification}

du

point

P est toute diflérente de celle du

_point

M dont il a été

_{question plus}

haut. L e

_point

M

_représente

géométriquement

le

_corpuscule,

il

_désigne

un

objet.

Au

contraire,

le

_point

P

_désigne

une variable libre

qui

parcourt

l’espace

et ne

_représente

aucun

_objet,

aucun

_{corpuscule :}

-. c’est

l’argument

d’une fonction.

De

_même,

_l’argument

T ne

_représente

_pas un instant de

_l’horloge

de

_{l’observateur,}

mais une variable libre

qui

parcourt

l’ensemble des instants. Ni P ni T

n’ont de

_{signification physique,}

seule la fonction u

en a une : elle

_représente

un

_oJ)jet,

le

_corpuscule.

Le

_point

M

_qui

_{représente géométriquement}

le

corpuscule

ne doit pas nécessairement être

inter-prété

comme

_désignant

la

_position

d’un

_objet

ponctuel

localisé,

ce

_peut

être aussi un

_point

variable libre

(comme

c’est le cas dans la

_mécanique

ondu-latoire) qui

sera un

_argument

de la fonction d’onde

prévisionnelle

~. Mais la

_{signification de ~}

est

complètement

diff érente de celle de u : la

fonc-tion y

(M,

t)

exprime

nos

_{connaissances,}

_l’argument

M est une variable libre

désignant

un

_corpuscule

et 1 a le sens

_{paramétrique, t indique}

le

_temps

lu sur

l’horloge

de l’observateur. Ici la fonction u

_joue

le rôle de M et

_{X(u, t)}

le rôle de

_{Ç (M,}

_t);

le

_point

P

et le nombre T sont des variables libres sans

signi-fication

_physique.

7.

_{Représentation}

au _moyen de l’onde

phy-sique.

--

est

_représenté

par un

_point

« valorisé »

_(1),

c’est-à-dire un

_point

fixé par la valeur

_numérique

du

paramètre

t; en

_mécanique

_ondulatoire,

le

cor-puscule

est

_représenté

_par un

_point

variable libre

M;

ici,

le

_corpuscule

est

_représenté

_par le

_champ

u.

Nous étendrons

_l’emploi

du mot « _onde » au

_champ

de la fonction u; nous donnerons le nom d’onde

physique

à la fonction u

_{(P, T)}

_et,

_par

_opposition,

l’onde y

(M, i)

sera dite oncte

_{prévisionnelle.}

La

fonc-tionnelle X

_{(u, t)}

au _moyen de

_laquelle

on calcule

des

_prévisions

concernant la

_{représentation}

fonc-tionnelle sera dite onde

_{fonctionnelle;}

c’est une onde

qui

se _{propage dans}

_l’espace

fonctionnel dont les

points

sont les fonctions u.

Ainsi,

trois

_types

d’ondes

interviennent dans cette

théorie,

d’où lie

_qualificatif

triondulaloire.

8.

_Système

et univers. -~ Un des

principes

directeurs de la

_{physique théorique}

est que l’univers forme un tout

solidaire;

de ce

fait,

un

_système

physique

(aussi

bien

_{macroscopique}

_que

microsco-pique)

que l’on

distingue

dans ce tout _{pour l’étudier}

séparément

du reste de l’univers

_peut

se trouver

altéré par cette distinction d’une

_façon

_qui

_peut

ne _{pas être}

_toujours

négligeable.

On essaie de remédier à l’arbitraire d’un tel

_découpage

en tenant

compte

de l’action du reste de

_l’univers,

ou,

_plus

exactement,

de l’environnement non

_spécifié,

en faisant intervenir une action

_globale

_moyenne décrite

par un

_champ

de forces

_(c’est

_{ainsi que l’on tient}

compte

de l’action des molécules de la terre et du reste de l’univers _pour un

_{système mécanique}

à la surface de la terre au _{moyen du}

_champ

_de

pesan-teur).

La théorie

_quantique

actuelle est

insuffisante,

puisqu’elle

ne tient _pas

_compte

du caractère arti-ficiel de tout

_découpage

_permanent

dans l’univers

et, en

_particulier,

du

_découpage

en

parties

insé-cables. Le

_corpuscule

ne

_peut

_{donc pas} être

entiè-rement

_représenté

_par un

_point

_{géométrique}

_M;

ses

_propriétés

résultent aussi des réactions de

l’envi-ronnement. Par

_exemple,

un

_corpuscule

issu d’un

dispositif

émetteur

_(source)

aura un

_comportement

physique

tout différent selon le

_dispositif

expéri-mental

_qu’on

lui fait traverser. On tient

_compte

de

ce

_dispositif

_par une

_description

faisant intervenir

des

_champs

de forces

_auxquels

le

_corpuscule

est soumis. Mais il n’est _pas

_prouvé

_que ce

_procédé

soit

parfaitement

adéquat.

Dans la théorie de la double solution _{que M.} Louis de

_Broglie

a tenté de

construire,

l’effet d’un tel

dispositif

ne se trouve _{pas décrit} seulement par les

champs

de forces

_agissant

sur le

corpuscule,

mais

aussi par les conditions

_(notamment

conditions aux

limites) imposées

à l’onde

_physique

u.

9. Liaison entre les ondes u et

_~.

-

On

pour-rait _penser,

_d’après

ce

_{qui précède,}

_que l’on a la

liberté de choisir entre deux

_{représentations}

équi-valentes : la

_{représentation}

au _{moyen de}

_{l’onde ~}

habituelle et de

_champs

de forces et la

représen-tation au _moyen d’une onde

_physique

u

_explorant

l’environnement et

_guidant

le

_corpuscule.

Cette

équivalence

ne

_peut

être

_établie;

en effet l’onde

phy-sique

u fournit une

_{description plus}

fine _{que la}

description

au _{moyen du}

_point

M _{tandis que des}

champs

de force interviennent aussi : la

représen-tation

_plus

_complète

du

_corpuscule

au _{moyen de}

l’onde

_{physique u (P, T)}

_permet

de tenir

_compte

également

des

_{propriétés qui}

résultent des réactions

de

l’environnement;

l’onde u

dépend

du

_type

de

corpuscule

et du

_{dispositif expérimental}

dans

_lequel

se trouve lé

_corpuscule

observé.

_Ainsi,

le schéma de

la

_{représentation}

fonctionnelle est assez riche pour

permettre

de

décrire,

dans une fonction u, à la fois les

_{caractéristiques}

internes

_possibles

d’un

_corpuscule

sans limitation et l’influence de l’environnement ou du reste de l’univers

_qui

_{n’est pas décrite}

entiè-rement _{par les}

_champs

de force habituels.

Il _{faut bien remarquer, si l’on} admet les

hypo-thèses

_adoptées

_ici,

_qu’il

ne

_peut

exister une liaison

fonctionnelle

entre l’onde

_physique

u

(P, T)

et l’onde

prévisionnelle

~.

En

effet,

r~ _{décrit par}

_hypothèse

un

_{phénomène physique objectif}

_(le

_corpuscule),

tandis

_{que 1}

décrit nos

_{prévisions qui}

sont relatives

à nos connaissances. Les

_{f onctions Y et}

u ne

_peuvent

être liées que

stochastiquement

(2).

La

_{f onction ~}

décrit une évaluation sommaire des

_prévisions,

évaluation

_exprimable

à

_partir

de la

_{description géométrique ponctuelle}

du

_corpuscule;

ces

prévisions

doivent

s’exprimer

d’une manière

rigoureuse

au _{moyen de la fonctionnelle} X

_{(u, 1).}

Autrement

dit,

on

_peut

_poser

de telle

_façon

_que

Lorsque

la

_{représentation géométrique}

est

suffi-sante, on

_peut

_négliger

le terme

_X2

et l’on a des

prévisions équivalentes

à celles de la

_mécanique

ondulatoire en vertu de

l’équation (1).

Il faut bien noter

_qu’un

_{corpuscule n’apparaît}

_{que lors d’une}

observation faisant intervenir un

_dispositif

_compliqué

introduisant diverses conditions pour l’onde

phy-sique

u et traduisant l’influence de l’environnement. La fonction u

_argument

de la fonctionnelle X est

une variable libre dans

_l’espace

fonctionnel des

fonctions

u; il

ne

_peut

exister une

_jonction

u déter-(1) Un point « valorisé est un _{point défini par} une

fonc-tion _{M (t) qui} est fixé pour chaque valeur de la variable _t;

on doit toujours distinguer entre « valeur d’une fonction »

et « loi fonctionnelle »; cette distinction se note

minée évoluant

f onctionnellement

au cours du

_temps,

soit connue, soit

inconnue,

car :

~ ° si u était liée fonctionnellement à

~,

alors u cesserait d’être

_physique

_{pour devenir}

prévision-nelle

_(mais

évoluerait fonctionnellement au cours

du

_temps

_t),

ce cas est donc à

_écarter;

~ ° si u évolue fonctionnellement au cours du

temps,

soit u

_(t),

alors comme M est lié

fonction-nellement à u _par

_{l’équation (1) (par exemple,}

_par un

_procédé

de

_moyenne),

si u évolue de cette

façon,

le

_point

M évoluera lui aussi fonctionnellement au cours du

_temps,

car,

_{d’après (1),}

on aura

=

sing

u(t);

M serait donc déterminé au cours du

_temps,

soit M

_(t);

or, ceci est contraire aux lois

_quantiques;

comme la

_description

fonctionnelle

doit,

en

_première

approximation,

fournir les résultats de la

_mécanique

ondulatoire,

il est _{nécessaire que} M _{n’évolue pas}

fonctionnellement au cours du

_temps,

donc,

en vertu

de

_(1),

_également

_que u n’évolue pas

fonctionnel-lement au cours du

_temps;

u comme I4f

_apparaît

nécessairement comme une variable aléatoire.

10. Cas d’un

_système,.

- Si maintenant

on

considère un

_système

de

_corpuscules,

chacun

_ayant

son onde u dans

_{l’espace-temps}

usuel,

on

_peut

décrire

le

_système

au _{moyen d’une fonctionnelle} X dont les

arguments

sont les _{diverses fonctions uj} associées à

chacun des

corpuscules.

La fonctionnelle X

_apparaît

alors comme une fonction d’un

_point

_u~ d’un espace fonctionnel de

_{configuration}

_{que l’on obtient} comme

produit

cartésien des espaces des fonctions Uj

atta-chées à

_{chaque corpuscule}

du

_système.

Dans le cas d’un

_système,

la différence entre

l’onde ~

et les _{ondes uj} est

_{plus grande}

que dans

le cas d’un

_corpuscule

_unique,

_{parce que les} argu-ments sont

_{différents : ~}

_dépend

de N

_points

M~, ....

3IN,

tandis que

chaque

onde ui ne

_dépend

que d’un

point

P;

l’onde ~

se _{propage dans}

_l’espace

de

_{configuration,}

tandis _que les _{ondes uj} se

_propagent

dans

_{l’espace physique.}

Les conditions de

_symétrie

ou

_{d’antisymétrie}

de la

_{fonction ~}

de la

_mécanique

ondulatoire

_{(représentation ponctuelle sommaire)}

se

_transposent

immédiatement à la fonctionnelle X

et

_{s’expriment}

d’une manière

_identique.

11. Théorie de la double solution de N.~. Louis

de

_Broglie.

- Les recherches

entreprises

pour

surmonter les difficultés actuelles sont en

_grande

partie inspirées

par les idées de M. Louis

de Broglie [ 1]

]

datant des débuts de la

_Mécanique

ondulatoire. Dans la

_conception

de la « double solution _», l’onde u

évoluait d’une

façon

déterminée,

en somme selon

les lois d’une

_{mécanique ponctuelle}

dans

_l’espace

fonctionnel. Dans la

_{conception envisagée}

ici l’onde u évolue au

_point

de vue formel suivant les lois d’une

_mécanique

ondulatoire dans

_l’espace

des

fonctions u ; il _y a donc eu ondulisation de la

fonc-tion u

_(t)

de M. de

_Broglie.

Le schéma

général

que nous avons

_envisagé

ici n’est pas

catégorique;

d’autres conditions

_physiques

doivent venir le

_{particulariser.}

Deux réalisations

doivent être mentionnées : d’une

_part,

la théorie de

la « ( double solution ;>

déjà

citée _et, d’autre

_part,

l’essai de M. Jésus Tharrats

_{[11] adoptant}

une

fonction

_analytique

_{pour caractériser} un électron. Dans la méthode

triondulatoire,

les

_corpuscules

sont _{décrits par leur}

_{représentation}

_{fonctionnelle,}

par suite l’interaction des

corpuscules

ne

_s’y

décrit

pas de la

façon

habituelle au _moyen de

_champs

qùantifiés

localisés;

l’action d’un

_champ

sur un

corpuscule

ne se fait pas en un

_point,

mais tout

point

où l’onde u a une

amplitude

non nulle

con-tribue à cette _{action par l’intervention de la}

fonc-tion u. Le schéma usuel associant

_champs

et

corpuscules équivalents (comme

les

_échanges

virtuels de

_photons)

se

_transpose,

les

_corpuscules

étant décrits par leur

représentation

fonctionnelle. Si l’on

_remplace

la fonction u _par une fonction

à,

on retombe sur la

représentation

ponctuelle

habituelle des théories

quantiques.

Si F l’on

_remplace

u _par une fonction déterminée

_convenable,

on retombe sensiblement

sur la théorie du

_champ

non localisé de Yukawa

_[12].

En

_développant

la _{théorie que} nous venons

d’es-quisser,

il semble que l’on

peut

éviter certaines des

difficultés

_présentées

_{par la} théorie

_primitive

de la « double solution )B et tenter une

_synthèse

avec la théorie de Yukawa.

Manuscrit reçu lue 11 i _{juillet 1952.}

BIBLIOGRAPHIE. [1] DE BROGLIE L. - C. R. Acad. Sc., 1926, 183, 447; 1927, 184, 273; 1927, 185, 380; J. Physique Rad., 1927, 7, 235. [2] DE BROGLIE L. - Rev. Métaphysique et _{Morale, 1941,} p. 1 ; Physique et Microphysique, Albin _{Michel, Paris,} 1947, p. 163-190.

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Sc., 1951, 233, 641 et 1013; 1952, 234, 265.

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[8] DE BROGLIE L. - C. R. Acad. Sc., 1952, 234, 265. [9] CHURCH A. - The calculus of

03BB-conversion, Annals of Math. _studies, n° _{6, Princeton,} Univ. press, 1941.

[10] PAULI W. 2014 Article dans le volume édité pour le 60e anni-versaire de M. Louis de _Broglie, Albin Michel, Paris (sous presse).

[11] THARRATS J. - J.

Physique Rad., 1952, 13, 283.