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Submitted on 1 Jan 1908
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Représentation géométrique de la gamme
R. Chassériaud
To cite this version:
R. Chassériaud. Représentation géométrique de la gamme. J. Phys. Theor. Appl., 1908, 7 (1), pp.387-398. �10.1051/jphystap:019080070038701�. �jpa-00241311�
387
~° Au point de vue de la dispersion par la variation relative du
pouvoir dispersif 1 -
’’.20132013’-"
calculé en partant du corps dissous,puis du corps non dissous. A et B sont en général les raies F et C du spectre de l’hydrogène; D, la raie du sodium.
Dans le cas de NaCl et de KCI, à cause des trop faibles différences entre C et F, on a pris C et H y de manière à diminuer l’erreur.
On rappelle ici que l’ordre de grandeur des erreurs est tel que les écarts observés pour les variations de la dispersion sont plus grands que ces erreurs pour la loi de Gladstone et plus petits ou au plus égaux pour la loi de Lorentz.
La variation de la dispersion apparaît, dans tous les cas donnés,
comme nettement plus faible avec la loi de Lorentz.
REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DE LA GAMME ;
Par M. R. CHASSÉRIAUD.
La seule gamme que nous considérons est celle de Descartes, ou
des rapports simples, comme étant la plus généralement admise.
L’autre gamme, en effet : gamme de Pythagore ou gamme par
quintes, a toujours ses partisans; mais, depuis les expériences de Mercadier-Cornu, elle est condamnée en tant que gamme
nique, et les travaux plus récents de M. Bouasse et de M. Gandillot
la récusent également comme gamme mélodique.
’
On sait que la gamme cartésienne est composée de sept notes, caractérisées par les nombres de vibrations correspondants. Si on prend pour unité le nombre de vibrations de la note do (ce que nous écrirons do ~ ~), la gamme maj eure de do sera représentée arithmé- tiquement par la série de fractions bien connues :
Il y a en évidence dans cette gamme trois accords parfaits. Dans
le langage de M. Gandillot, nous dirons que la gamme majeure de
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019080070038701
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do est formée de trois échelles (qui ne sont autres que ces trois accords parfaits), ainsi dénommées :
L’échelle tonique T : do, mi, sol
- dominée ~ : fcc, la, do ;
- dominante D : sol, si, ré.
Nous appellerons enfin par généralisation tonique, médiante et
dominante de chaque échelle ou accord parfait, respectivement
la la 2e et la 3e note de cette échelle (proportionnelles à 1 , £, ) ) .
Nous nous proposons maintenant de donner une ’représentation géométrique de cette gamme, c’est-à-dire de faire correspondre à chaque note un point (et par là même à chaque accord une figure),
de telle sorte que toute marche mélodique ou harmonique, toute modulation, introduction ou suppression de dièses o~ de bémols,
bref tout développement musical, puissent être traduits par des cons-
tructions purement géométriques, sans le secours de l’imagination
des sons, ni la mémoire des valeurs numériques des intervalles.
Pour cela nous prendrons les points représentatifs des notes sur
une circonférence (parcourue par exemple dans le sens des aiguilles
FIG. ~..
d’une montre) à partir d’une origine ~1. ( fcg. ~l ), en considérant les nombres qui définissent la de do cone»ie représentant des tours
de circonférence: .~ ainsi do viendra tomber en A; ré, g de cir-
389 conférence plus loin, etc..., le do suivant venant retomber en A.
Les notes prennent toutes des positions remarquables : sol = 3 diamétralement opposé à do = 1 ;
fa = 3 et la - 5sur 3 les sommets du triangle équilatéral inscrit ;
mi 5 4sur le rayon horizontal gauche ;
ré == 8 et si = "8 symétriquement à W5° par rapport au diamètre vertical.
8 8
Nous avons ainsi représenté une certaine octave, qui sera notre
octave origine, et dont nous affecterons les éléments de l’indice 0 :
doo, réo, ..., sio.
Si nous continuions pour l’octave suivante :
FIG. 2.
sol, viendrait en A, fa, à la place de Zao, mit à la place due sol,, etc.
Mais bornons-nous à l’octave origine. Nous faisons immédiatement les observations suivantes :
’1 ° Le simple aspect de la figure fait ressortir la lacune laissée au
point 4 La note 4 , qui rendrait la symétrie de la gamme géomé-
J. de Phys., 4e série, t. VII. (Mai 1908.) 26
390
trique parfaite, est précisément le si, harmonique que donnent cer- tains instruments (cor d’harmonie) ;
2° En outre de cette incofnplète par rapport au dia-
mètre vertical, il y a une fausse symétrie, facile à définir, par rapport
au diamètre horizontal ;
3° Voici maintenant l’observation qui sera la base de toute la
représentation géométrique :
Les trois échelles (accords Tl’, DO, qui constituent la sont représentées géoînétriquement par trois trzangles iso-
cèles 2).
Le triangle représentant l’échelle A : fa, la, do (nous l’appellerons
le triangle A), est même équilatéral (fly. 3).
Le triangle T est rectangle isocèle (fig. 4).
Le triangle D est simplement isocèle 5).
’
, FIG. 3. FIG. 4. FIG. 5.
Donc ce mode de représentation fait correspondre aux accords simples des triangles simples, aux accords plus compliqués ou moins
consonants des figures moins simples ;
4° Il y a plus : si nous désignons d’une façon générale par S le
sommet remarquable d’un triangle isocèle (celui qui est à l’inter-
section des côtés égaux), nous allons voir qu’on peut, moyennant une convention très légitime, dire que le S01nmet S de chacun de ces trois
triangles est juste>ne>it le point rep>?ése»latif de la MEDIANTE de l’ac- cord correspondant, ce que traduira géométriquement la relation :
C’est vrai pour à et T.
Pour le troisième accord, D, cela semble faux, car c’est le sol qui
se trouve en S. Mais convenons d’obtenir graphiquement ce troisième
391
accord en partant de sa ionique sol, prise dans l’octave origine, jusqu’à sa dominante ré, toujours en montant : réi = 2 . vient à la
8
place de mio, et alors le triangle D redevient isocèle, mais de telle
Fic. 6.
façon, cette fois, que son sommet S coïncide bien avec la médiante si,
de l’accord représenté (flg. 6).
Cette convention (obtenir chaque accord parfait à partir de sa tonique prise dans l’octave origine, en montant, et en représentant
les notes suivantes dans l’octave + 1, s’il y a lieu, puis ramener
toutes les notes dans l’octave 0 par une construction évidente) sera
la seule que nous aurons à faire ; appelons-la la convention de pas-
sage à l’octave.
INTRODUCTION DES DIÈSES ET DES BÉMOLS.
I. Les dièses. - Supposons maintenant que nous voulions monter d’une quinte, c’est-à-dire passer de la gamme actuelle de do dans la gamme de sol, caractérisée par trois accords 3,1, Tl, 01 :
A’ n’étant autre que T ° : do, mi, sol ;
TI --- D° : sol, si, ré;
D1 fi, d ’ ., 1 l 81 ..
D’ enfin étant déterminé par les notes ré la ’ 80’ oU quinte juste dde.
ré, et par la nouvelle sensible fa# qui remplace le la. -
Si on néglige le comma 81, 80 l’analogie conduit à déterminer géo- métriquement le comme sommet S d’un triangle isocèle ayant
392
pour base la corde - ré-la donnée. - Nous obtenons ainsi une note
qui a pour valeur : .
Cette note ne diffère du fa# vrai (défini comme sensible de la
gamme de solj que d’une fraction 3 très inférieure au comma. Nous 135
avons donc le droit de dire que le point ainsi construit représente
bien le rae 7).
1,’io. 7.
. Ainsi la gamme de sol sera représentée géométriquement, elle aussi, par un groupe de trois triangles à’, T1, Dl isocèles, et où
les sommets S sont les points représentatifs des médiantes.
Cette est et permet d’obtenir successivement tous les dièses usités, du fa~ au avec leurs valeurs de sensibles, et cela moyennant la convention de 1)(tssage à
~
Par exemple, pour obtenir la note ut~, je détermine sur le cercle
un point qui correspond au nombre
. 5 , , ,. 52 ..
soit 22 . 3 dans l’octave + 1, c’est-à-dire 3 - 3 une fois le point
obtenu ramené dans l’octave origine.
Le tableau suivant légitime la règle annoncée, en comparant la
valeur de la note obtenue géométriquement à sa valeur théorique :
l’écart est toujours inférieur ou égal au comma.
393
D’ailleurs la solution ri goireise nécessaire pour moduler dans des tons éloignés s’obtient par des bissections ; par exemple : la quinte juste de ré tombe au point bissecteur de l’arc sol-si ; etc.
REGLE DES DIÈSES. La règle pour monter d’une quinte sera
donc la suivante : Pour passer de la gamme définie par à la gamme définie il suffit des trois opérations
suivantes :
1° Appeler Tn, on +’ ;
2" Appeler Dl’, Tn + 1 ;
31 Pour obtenir le troisième triangle Dn+., former le triangle iso-
cèle ayant pour base la corde qui joint la mediante de àn à la do- m inante de Dn ri goureusement : la 3c bissectrice cl e DI,).
Il est inutile de multiplier les remarques géométriques qui permettent de distinguer dans chaque triangle formé la tonique, la
médiante et la dominante, ainsi que la note qui est altérée dans le
changement de ton, ces remarques étant très simples. Bornons-nous à observer que, dans toute gamme géométriquement représentée,
la tonique et la dominante sont en évidence sur la figure : ce sont
les deux sommets doubles (communs à deux triangles).
II. Les bémols. - La même règle approximative appliquée aux
bémols donnerait des résultats inadmissibles. Par exemple, pour passer de do en ra (descente d’une quinte), elle nous conduirait à
prendre pour si~ la note déterminée par l’équation :
rP’ étant la médiante de l’accord ou :
valeur qui diffère de plus d’un comma du sip théorique. Mais si, pour
394
déterminer le triangle isocèle qu’il s’agit de construire (puisqu’il est le seul nouveau triangle qu’introduise le changement
de ton), nous convenons de placer au sommet S non plus la médiante
FIG. 8.
ré, mais la tonique si~, avec, bien entendu, la convention de passage à l’octave (mais en montant cette fois dans l’ordre dominante-
tonique-médiante), il vient :
valeur admissible, car elle fait l’intervalle l28129avec le si,vrai, déter-
. ,
d. d 1 d . 16
miné comme sous-dominante de la gamme de 9 soit 9-*
De même mib sera déterminé par :
et sera exact à moins d’un comma près.
Continuant ainsi, nous engendrerons tous les bémols usités, comme plus haut nous avons obtenu tous les dièses.
Voici encore le tableau des approximations que donne la géométrie (pour le sol,, l’écart est de plus d’un comma) : ,
Ici une solution rigoureuse exigerait des trisections d’angles.
395
RÈGLE DES BÉMOLS. - Nous avons donc, pour descendre d’.une
quinte, la règle suivante :
Pour passer de la gamme
il suffit des trois opérations suivantes : 1~ Appeler T-n,
~° Appeler ~1-tz, T-c,t ~- ~ ~ ~
3° Pour former le triangle isocèle ayant pour base la corde qui joint la tonique à la dominante de D-11.
Ici encore, des observations géométriques évidentes permettent
de retrouver les noms des notes d’une gamme géométriquement
constituée. Lcc tonique et la donîinante sont encore représentées par les deux sommets doublets.
COMPARAISON DES DEUX REGLES.
Ainsi le résultat obtenu est le suivant :
.
Tous les accords parfaits sont repré:sentables par des triangles
isocèles.
Mais nous avons énoncé deux règles pour les former :
L’une en observant l’ordre naturel tonique-médiante-dominante
. (cas des dièses), et alors le sommet S donne la médiante ;
L’autre en prenant l’ordre dominante-tonique-médiante (cas des bémols), et alors le sommet S donne la tonique.
Ainsi, dans les deux cas, le sommet S donne la note qu’on veut
introduire.
Une analyse plus complète montrerait que ces deux modes de
génération des accords parfaits sont également légitimes dans plusieurs cas, et peuvent être alors employés indifféremment. Ils
correspondent d’ailleurs à deux formes différentes d’une même rela- tion. Si on néglige ces régions communes aux deux règles, il est
facile d’établir les règles qui permettent de supprimer un dièse ou
un bémol. Elles seront inverses des deux règles données.
Limites de la représentation géométrique. - Ce sont les limites mêmes de l’écriture musicale usuelle. Le solj n’est plus exactement représentable par les constructions indiquées : le calcul donne alors des écarts supérieurs au comma. Du côté des dièses, il y a une solu-
tion rigoureuse, dont le champ est illimité.
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Mode mineur. - Le mode mineur ne donne lieu à aucune traduc- tion géométrique simple ; mais, gràce à la considération de la gamme mineure relative d’une gamme majeure donnée, on peut ramener l’interprétation géométrique de la première à celle de la seconde.
Par exemple, le cercle divisé comme précédemment représentera la
gamme 1nineure de la.
Application aux analyses musicales. - La fig. 9 donne un exemple d’analyse musicale par la méthode géométrique. Elle représente,
aux points de vue harmonique et mélodique (le point de vue rythmique
. FIG. 9.
étant exclu), les quatre premières mesures de l’a71da71te de la Sonate pour piano, op. 14, n° 2, de Beethoven. Toutes les notes sont ramenées dans une même octave (l’octave do,, ré3, ..., si, des musiciens). l,a
note qui, dans chaque accord, mène la mélodie, est figurée par un
point fort quand elle appartient effectivement à cette octave, et par
une croix lorsqu’elle a été ramenée de l’octave do, ,..., si2 (octave inférieure) dans l’octave do3, ..., si3.
Calculs de vérification.
397
COURANTS PRODUITS PAR LE COUPLE Pt- MOUSSE DE Pt IMMERGÉ DANS UNE DISSOLUTION SALINE OU ACIDULÉE (CONTRIBUTION A LA THÉORIE OSMO- TIQUE DE LA PILE) (1):
Par M. TITO :MARTINI.
J’avais déjà étudié, il y a quelques années, les courants qui se produisent quand on plonge, dans l’eau acidulée, un couple formé
d’une lame de palatine et d’une mousse de platine (2). Je crus d’abord
_ _ __ _ --- -- --- --- -
(1) Pour les détails, je renvoie à mon mémoire présenté à l’Institut de Venise, séance de novembre (Atli del R. Ist. Ven., 1907, p. 177).
(9) Atti del R. Istituto Veneto, 1895, p. 1196.
398
que la production du courant était d’origine thermique; et cette
idée m’engagea à faire des expériences sur la chaleur développée
par les poudres mouillées (~ ) dont on a parlé dans ce Journal (2).
Ayant, ensuite, repris l’étude sur ces courants, il m’a semblé qu’il
devait y avoir une relation très étroite entre ce phénomène et celui de Pouillet, à cause de la propriété dont quelques corps jouissent, outre
celle de s’échauffer lorsqu’on les mouille, d’absorber le dissous ou le dissolvant lorsqu’ils sont mis en contact d’une dissolution ; car c’est précisément dans cette propriété que le courant aurait son origine.
M. Lagergren a fait connaître que le charbon animal mis en con- tact avec une dissolution de KNO3 absorbe une grande quantité de
ce sel (3). De mon côté, j’ai observé que le noir animal et la silice ont aussi la propriété d’absorber l’eau en proportion plus grande
que le corps dissous quand ils sont mis en contact avec une dissolu-
tion alcoolique ou acidulée (~). J’ai trouvé aussi que la mousse de
platine s’échauffe par le mouillage de même que la silice et le char- bon animal et, selon toute probabilité, elle jouira des mêmes pro-
priétés sélectives. Par conséquent, si le couple Pt-mousse de Pt est
immergé dans une de ces dissolutions, déjà utilisées par M. Lager-
gren, où le sel est absorbé par le corps poreux (par exemple, la dis-
solution de KN03), l’assemblage devient une pile de concentration
représentée par le schéma suivant :
Si, au contraire, la mousse absorbe le dissolvant de préférence au dissous, ce qui arrive avec la dissolution de le schéma est renversé :
Dans les deux cas, d’après l’hypothèse de M. Nernst, la produc-
tion du courant serait due à la différence de la pression osmotique
aux électrodes; et le courant se maintient jusqu’à ce que persiste
cette différence, c’est-à-dire jusqu’à la fin du processus d’absorption.
(1) del R. Isliluto 1898, 1900, 1904, p. 921, 615.
(2) J. cle Phys., 3° série, t. VII, p. 524 ; 41 série, t. V, p. 781, 1906.
(3) Bihang l’ill K. Svenskcc l’et. BaLi(l 24, Aftl Il, Stockholm, 1890.
(4) Atti del R. Ist. ITen., 1902, p. 64’7 ; - J. de Phys., 4° série, 111, p. 87,1904.
