Ecrit blanc du 15 novembre 2013 ´
M1 MEEF 2nd degr´ e, CAPES de Math´ ematiques Dur´ ee 4h
EXERCICE :
On consid`ere les fonctions 2π–p´eriodiques f : R → R et g : R → R, d´efinies pour tout x ∈ [−π, π[ par
f (x) = x et g(x) = x2. Pour chacune de ces fonctions :
1. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative sur l’intervalle [−4π, 4π[.
2. D´eterminer les coefficients de Fourier (exponentiels ou trigonom´etriques, `a votre choix).
3. ´Etudier les diff´erents modes de convergence de la s´erie obtenue.
4. D´eduire des r´esultats pr´ec´edents la valeur des s´eries deP
n≥1n−2 etP
n≥1n−4
PROBL` EME :
Origine : Mines-points PC, math 2, 2001
L’objet de ce probl`eme est l’´etude de l’´equation diff´erentielle suivante : Eλ : xy00+ (1 − x) y0− λy = 0
o`u la fonction y est une fonction inconnue deux fois continˆument d´erivable de la variable x et λ un r´eel donn´e.
PREMI`ERE PARTIE
I-1. ´Enoncer un th´eor`eme d’existence et unicit´e des solutions d’une ´equation diff´erentielle de la forme y” = F (y, y0, x). Qu’apporte ce r´esultat quant `a la recherche de solutions de Eλ? I-2. Solutions de l’´equation diff´erentielle d´efinies sur toute la droite r´eelle :
Il est admis qu’il existe une fonction fλ, somme d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0, (fλ(0) = 1) , solution dans l’intervalle ]−R, R[ de l’´equation diff´erentielle Eλ. Cette fonction est d´efinie par la relation :
fλ(x) = 1 +
∞
X
n=1
anxn a. Montrer que f = P
nαnxn est solution de Eλ si et seulement si pour tout n ≥ 0, αn+1= n + λ
(n + 1)2αn
b. En d´eduire l’expression des coefficients an, n > 1, en fonction de l’entier n et du r´eel λ.
c. Pr´eciser les fonctions f1, f0, f−1, f−2.
d. Pour quelles valeurs du r´eel λ, la fonction fλ est-elle un polynˆome ? Pr´eciser son degr´e en fonction de la valeur −p donn´ee au r´eel λ et son coefficient du terme de plus haut degr´e.
e. Quel est, en fonction de λ, le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere de terme g´en´eral anxn, n > 1 ?
Il est admis, dans la suite, que la fonction fλ est la seule fonction, d´eveloppable en s´erie enti`ere sur toute la droite r´eelle, qui soit solution de l’´equation diff´erentielle Eλ, et qui prenne la valeur 1 en 0.
Tournez S.V.P.
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I-3. Relation entre les fonctions fλ :
Etant donn´´ e un r´eel λ, soit gλ la fonction d´efinie sur la droite r´eelle R par la relation suivante :
gλ(x) = exfλ(−x)
a. D´eterminer une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre v´erifi´ee par la fonction gλ.
b. En d´eduire, en admettant que le produit de deux fonctions r´eelles d´eveloppables en s´erie enti`ere sur R est encore une fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere sur R, que, pour tous r´eels λ et x, il vient :
f1−λ(x) = exfλ(−x)
c. Pr´eciser lorsque p est un entier strictement positif, la forme des fonctions fp. Expli- citer les fonctions f2 et f3.
d. Soit p ∈ N∗; quelle est, lorsque le r´eel x tend vers +∞, la limite de l’expression ci-dessous :
fp+1(x) xfp(x) ? I-4. Solution de l’´equation diff´erentielle E1 :
Dans cette question, le r´eel λ est ´egal `a 1 :
E1 : xy00+ (1 − x) y0− y = 0
a. Soit g une solution de E1 sur R+∗. On note h la fonction d´efinie pour tout r´eel x strictement positif par h(x) = g(x)e−x. D´eterminer une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 v´erifi´ee par h0 et en d´eduire une expression de h, puis de g faisant intervenir la fonction ψ d´efinie sur R+∗ par
ψ : x 7→
Z x 1
e−t t dt
b. D´eterminer de la mˆeme fa¸con la solution g´en´erale de (E1) sur R−∗.
c. D´eterminer enfin les fonctions solutions sur R de l’´equation diff´erentielle E1. SECONDE PARTIE
L’objet de cette seconde partie est l’´etude de certaines propri´et´es de la fonction f1/2. Dans ce but, soit ϕ la fonction, d´efinie pour tout r´eel x, par la relation suivante :
ϕ (x) = Z π2
0
ex sin2θdθ
Etant donn´´ e un entier naturel p, soit Ip l’int´egrale d´efinie par la relation suivante :
Ip = Z π2
0
(sin θ)2pdθ II-1. D´etermination de l’int´egrale Ip :
D´eterminer I0 et montrer que, pour tout p ∈ N,
Ip+1 = (2p + 1)(Ip − Ip+1) En d´eduire une relation de r´ecurrence entre Ip et Ip+1.
Tournez S.V.P.
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II-2. Relation entre les fonctions ϕ et f1/2 :
a. Justifier que la fonction ϕ est d´efinie et de classe C∞ sur R.
b. Montrer que la fonction ϕ admet un d´eveloppement en s´erie enti`ere.
c. Expliciter une relation de r´ecurrence entre les coefficients de ce d´eveloppement et d´e- terminer le rayon de convergence de cette s´erie. En d´eduire qu’elle est proportionnelle
`
a la fonction f1/2. Pr´eciser le coefficient de proportionnalit´e.
II-3. Encadrement de ϕ (x) :
a. D´emontrer que, pour tout r´eel u strictement inf´erieur `a 1, l’in´egalit´e ci-dessous est v´erifi´ee :
eu 6 1 1 − u
b. Justifier, pour tout r´eel x ∈] − ∞, 1[, les ´egalit´es suivantes : Z π2
0
dθ
1 − x sin2θ = Z +∞
0
du
(1 − x)u2+ 1 = π 2
√ 1 1 − x.
c. D´eduire des r´esultats pr´ec´edents que, pour tout r´eel x strictement inf´erieur `a 1, la fonction ϕ v´erifie l’encadrement suivant :
0 6 ϕ (x) 6 π 2
√ 1 1 − x. d. Montrer que, pour tout x ∈ R−∗,
√−xϕ(x) ≥ Z π/2
0
ex sin2θ(√
−x cos θ) dθ
et en d´eduire l’existence d’une constante A strictement positive telle que pour tout r´eel x inf´erieur ou ´egal `a −1 :
ϕ (x) > A
√−x.
e. D´emontrer que la fonction f1/2 admet une limite lorsque le r´eel x tend vers −∞.
Pr´eciser cette limite.
f. La fonction f1/2 est-elle int´egrable sur la demi-droite ]−∞, −1] ? II-4. Allure de x 7→ e−x/2f1/2(x) :
Soit ˜f la fonction d´efinie sur la droite r´eelle par la relation : f (x) = e˜ −x2f1/2(x) .
a. D´emontrer, par exemple en utilisant (I-3.b), que la fonction ˜f est paire puis que la valeur de ˜f (x) est donn´ee par la relation suivante :
f (x) = k˜ Z π2
0
ch
xcos θ
2
dθ.
o`u k est une constante qui sera d´etermin´ee.
b. D´eterminer lorsque le r´eel x tend vers +∞, les limites de ˜f (x) et de ˜f (x) /x.
c. ´Etudier les variations de la fonction ˜f et tracer l’allure de sa courbe repr´esentative lorsque le r´eel x d´ecrit R.
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