Universit´e de Strasbourg
TP SCILAB
Agr´egation Externe de Math´ematiques Ann´ee 2012-2013
TP5: M´ethodes num´eriques implicites pour les ´equations diff´erentielles
Dans le pr´ec´edent TP, on a introduit des m´ethodes num´eriques explicites pour les ´equations diff´erentielles. On s’int´eresse ici `a des m´ethodes implicites. Pour cas test, on testera les m´ethodes sur
(i) y0=−ay, y(0) = 1, avec a >0 un nombre r´eel donn´e.
(ii) le pendule:
θ”(t) =−g
`sin(θ(t)), θ(0) = π
4, θ0(0) = 0.
On prendra g = 9.81 et ` = 1 (qui correspond `a la longueur de la corde); θ(t) repr´esente l’angle au temps tdu pendule par rapport `a la verticale.
Impl´ementer les m´ethodes suivantes :
1. Euler implicite : yn+1=yn+hf(tn+1, yn+1).
2. Verlet1 : pour une ´equation diff´erentielle de type
(x0(t), y0(t)) = (−∂2H(x(t), y(t)), ∂1H(x(t), y(t))), avec H:R2 →R, on pose
xn+1/2 = xn−h
2∂2H(xn+1/2, yn),
yn+1 = yn+h
2(∂1H(xn+1/2, yn) +∂1H(xn+1/2, yn+1)),
xn+1 = xn+1/2−h
2∂2H(xn+1/2, yn+1).
1. Comparer Euler explicite avec Euler implicite dans le cas (i).
2. Que vaut dans ce cas limn→∞y(tn) et limn→∞yn, pour Euler explicite et Euler implicite?
3. V´erifier que dans le cas du pendule, la m´ethode de Verlet devient explicite.
4. Comparer les m´ethodes (aussi avec RK4) sur le pendule; en particulier sur la conservation de l’´energie: H(x(t), y(t)). On dessinera le plan de phase.
1On peut v´erifier que la m´ethode de Verlet est symplectique:
∂(xn+1, yn+1)
∂(xn, yn)
T
J∂(xn+1, yn+1)
∂(xn, yn) =J, J=
0 1
−1 0
.
