Bertrand Iooss. To cite this version: HAL Id: tel

Contributions au traitement des incertitudes en

mod´ elisation num´ erique : propagation d’ondes en milieu al´ eatoire et analyse statistique d’exp´ eriences simul´ ees

Bertrand Iooss

To cite this version:

Bertrand Iooss. Contributions au traitement des incertitudes en mod´ elisation num´ erique : propagation d’ondes en milieu al´ eatoire et analyse statistique d’exp´ eriences simul´ ees.

Math´ ematiques [math]. Universit´ e Paul Sabatier - Toulouse III, 2009. <tel-00360995>

HAL Id: tel-00360995

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INSTITUT DE MATHÉMATIQUES DE TOULOUSE

MÉMOIRE D'HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES

Disipline:Mathématiques

Spéialité :Statistiques

Présentéeetsoutenue publiquement

le21 janvier2009 àToulouse par

Bertrand IOOSS

Ingénieur-herheur au CEA

Diretion de l'Énergie Nuléaire

Centre de Cadarahe

Sujetdu mémoire

CONTRIBUTIONS AU TRAITEMENT DES INCERTITUDES

EN MODÉLISATION NUMÉRIQUE :

PROPAGATION D'ONDES EN MILIEU ALÉATOIRE

ET ANALYSE STATISTIQUE D'EXPÉRIENCES SIMULÉES

Jury

M. AnestisANTONIADIS UniversitéGrenoble I Rapporteur

M. MarkASCH Universitéde Piardie Rapporteur

M. Jean-MarAZAÏS UniversitéToulouse III Président

M. Fabrie GAMBOA UniversitéToulouse III Examinateur

M. MihelSCHMITT Éoledes Minesde Paris Examinateur

M. MihaelL. STEIN Universityof Chiago, USA Rapporteur

M. StefanoTARANTOLA Joint Researh Centre, Ispra, Italie Examinateur

Contributionsau traitement des inertitudes en modélisation numérique : propagation

d'ondes en milieu aléatoire et analyse d'expérienes simulées

Le présent doument onstitue mon mémoire d'habilitation à diriger des reherhes. Il retrae

mon ativité sientique de es douze dernières années, depuis ma thèse jusqu'aux travaux réalisés

en tant qu'ingénieur-herheur du CEA Cadarahe. Les deux hapitres qui struturent e doument

orrespondent à deuxdomaines de reherhe relativement diérentsmaisse référant tousles deuxau

traitement desinertitudes dansdes problèmes d'ingénierie.Le premier hapitre établit une synthèse

demes travauxsurlapropagationd'ondes hautesfréquenes enmilieu aléatoire.Il onerne plusspé-

iquement l'étude des utuations statistiques des temps de trajet des ondes aoustiques en milieu

aléatoireet/outurbulent. Lesnouveauxrésultatsobtenusonernent prinipalement l'introdutionde

l'anisotropie statistique des hamps de vitesse lors de ladérivation des expressions des moments des

temps en fontion de eux duhamp devitesse desondes. Ces travaux ont étéessentiellement portés

pardesbesoinsengéophysique (explorationpétrolièreetsismologie).Le seondhapitre abordeledo-

mainedel'utilisationdestehniquesprobabilistespourprendreenomptelesinertitudesdesvariables

d'entrée d'un modèle numérique. Les prinipales appliations que j'évoque dans e hapitre relèvent

du domaine de l'ingénierie nuléaire qui ore une grande variété de problématiques d'inertitude à

traiter. Tout d'abord, une synthèse assez omplète est réalisée sur les méthodes statistiques d'ana-

lyse de sensibilité et d'exploration globale de modèles numériques. La onstrution et l'exploitation

d'un métamodèle (fontion mathématique peu oûteuse se substituant à un ode de alul oûteux)

sontensuiteillustrées par mestravauxsurlemodèleproessusgaussien(krigeage). Deuxthématiques

omplémentaires sont nalement abordées : l'estimation de quantiles élevés de réponses de odes de

alul et l'analyse de odes de alul stohastiques. Une onlusion met en perspetive es travaux

dansleontexteplusgénéral de lasimulation numérique etdel'utilisation de modèles préditifsdans

l'industrie.

Abstrat

Contributions tothe unertainty management in numerial modelisation : wave

propagation in random media and analysis of omputer experiments

The present doument onstitutesmy habilitation thesisreport. It realls mysienti ativity of

thetwelve last years,sine my PhD thesis until the works ompleted asa researh engineer at CEA

Cadarahe. The two main hapters of this doument orrespond to two dierent researh elds both

referringtotheunertaintytreatmentinengineeringproblems.Thersthapterestablishesasynthesis

ofmyworkonhighfrequeny wave propagationinrandommedium. Itmorespeiallyrelates tothe

studyofthestatistialutuationsofaoustiwavetraveltimesinrandomand/orturbulentmedia.The

newresultsmainlyonerntheintrodution ofthe veloityeldstatistialanisotropyintheanalytial

expressions of the traveltime statistial moments aording to those of the veloity eld. This work

was primarily arried by requirements in geophysis (oil exploration and seismology). The seond

hapter isonerned bytheprobabilisti tehniquesto studytheeet ofinputvariablesunertainties

in numerial models. My main appliations in this hapter relate to the nulear engineering domain

whih oers a large variety of unertainty problems to be treated. First of all, a omplete synthesis

is arried out on the statistial methods of sensitivity analysis and global exploration of numerial

models. The onstrution and the use of a metamodel (inexpensive mathematial funtion replaing

anexpensiveomputerode)arethenillustratedbymyworkontheGaussianproessmodel(kriging).

Two additionaltopisarenallyapproahed :the highquantileestimationofaomputerode output

andtheanalysisofstohastiomputerodes.Weonludethismemorywithsomeperspetivesabout

thenumerialsimulationandtheuseofpreditivemodelsinindustry.Thisontextisextremelypositive

for futureresearhes andappliation developments.

EntreToulouse,Solaize,Paris,LaHavane,Caraas,Medellin,PékinetOulanBator,Fabrie Gam-

boa a réussi l'exploit de trouver le temps de superviser mon mémoire. Même s'il l'a lu ouhé dans

sayourte, enmangeant du fromage de lait deyakfermentéen trinquant ave Jean-Claude autourde

quelquesverresdevodkamongole,jeluisuisinnimentreonnaissantdesesritiquesetonseils.Meri

aussipour ton dynamisme ommuniatif, ton ouverture d'esprit exeptionnelle et surtout pour avoir

aepté spontanément de soutenir un dossier quelque peu partiulier. L'un de mes souhaits dans le

futurseraitquel'on puissetravailler ensembleautour dethématiques de reherhe ambitieuses.

Meri à Anestis Antoniadis d'avoir rapporté ette habilitation, et d'en être en quelque sorte un

peu responsable (mais pas oupable) en étant le premier a m'avoir donné un avis (positif) sur la

reevabilité de mon dossier.Ce oup de pouem'a déidé à me laner dans l'aventure. Je tiens don

à te remerier pour ton intérêt pour e sujet, pour ton extrême ompétene, mais surtout pour ta

générosité.J'exprimeégalementmareonnaissaneàMarkAshquiaaeptéderapporteremémoire.

LorsdenotrepremièrerenontreàCadaraheen2003,j'avaisbienperçutonintérêtpourlesproblèmes

issus de l'industrie. Les appréiations que tu as portées sur mon travail m'ont vraiment fait plaisir.

Furthermore, I am glad to thank Mihael Stein as a reviewer of this thesis. Your ritiisms about

my works are of great value for me and I hope to meet you soon. Je tiens également à remerier

Jean-MarAzaïs,grandpromoteurdeollaborationsuniversités-industries,quim'apermisdesoutenir

au sein de l'éole dotorale de Toulouse et qui a aepté de présider mon jury. Je remerie Mihel

Shmittquim'auranalementhonorédesapréseneauseindesjurysdemesdeuxsoutenanes:thèse

et habilitation. Cette présene permet d'assurer une ertaine ontinuité entre mes travaux réents

et mes travauxde jeunesseinitiés par les herheurs de l'Éoledes Mines deParis. Enn, je remerie

haleureusementStefanoTarantolad'avoiraeptédes'intéresseràmestravaux.LeSuequalitàumane

elasuaexperienzaneldominiodell'analisidisensibilitàsonounesempioperme(merireverso.net).

Jesouhaiteàprésentremeriertoutpartiulièrement monexsansquieprojetd'habilitationn'au-

raitpasvulejour,j'ai nommé NiolasDevitor, ex-hef dulaboratoire oùj'oie.Le positionnement

de notre équipe au sein du CEA, les études et les sujets de R&D que tu m'as proposés ont réé un

ontexteextrêmement favorable pour montravail. Cettehabilitation provient, pour une grandepart,

detonmanagement motivant,ouvertauxinitiativesetinitatif.Je n'oubliepasnonplusequejedois

à ma ollègue de bureau, Nadia Pérot, qui m'a apporté desavis onstrutifs etpertinents dèsque je

lasolliitais,maissurtout un soutienmoral sans failleaompagné depetitsmaarons biendéliieux.

Notrebinme, issu desixansde vie ommune (sansun heurt),prouve quedanslavie professionnelle

P (1 + 1 > 2) > 0

^etforeprobablement l'admiration de tous. Et puis, last but not least,je m'inline devant le senior (je devrais dire seigneur) de l'équipe, Mihel Marquès, dont la gentillesse légendaire

n'ad'égalequesamodestie.

Le soutien, parfois maliieux (spéial dédiae à Bernard qui me remet à ma plae à haque as-

ension ventousienne),de tous lesmembres duLaboratoire de Conduite etdeFiabilité des Réateurs

(LCFR) du CEA Cadarahe m'a été indispensable etje les en remerie grandement. Plus partiuliè-

rement, les remarquesonstrutivessur lemémoire etle soutienlogistique de Frédéri Bertrand, hef

du LCFR,ont ététrès appréiables. Je remerie aussiJean-Claude Garnier, hef du Servie d'Etudes

desSystèmes Innovants, etAlain Porrahia, hef du Département d'Étude des Réateurs, pour leur

appuidansmes démarhes.Ah,enpassant,ilne fautpasquej'oubliede iterles aniensde lafneube

2(Obog,Dave,Anne-Cé, Jé,Lo,Fred,Benetsonhien, ...),sinonilsne voudront plusdemoiàleur

Leontenudeemémoireneseraitpaslemêmesansl'apportdetouteslespersonnesavelesquelles

j'ai travaillé de manière étroite et qui m'ont permis d'avaner sur de nombreux problèmes et de me

laner dans de nouvelles voies de reherhe. Je iterai d'abord les petits jeunots, qui m'ont bien aidé

et ave qui j'ai bien rigolé, que sont Vinent Feuillard, Claire Cannamela et Gilles Pujol, et ensuite

tous les autres : Josselin Garnier, Roger Phan Tan Luu, Julien Jaques, Béatrie Laurent, François

VanDorpe,ElenaVolkova,MihelJullien, MustafaTouati,YannSamuelides, DavidGeraets,Philippe

Blan-Benonsans oublier tous les stagiaires quej'ai tenté d'enadrer. Je porte un toast plus soutenu

àdeux autres gamins: AmandineMarrel etMathieu Ribatet. Certainsdestravaux présentés danse

mémoirevousdoiventénormément etvotredisponibilitéestunmodèledugenre.Amonavisetvumon

envie, on ne tardera pasà retravailler rapidement ensemble. Je souligne également l'inuene d'Alain

Galli etdeProfesseur Lulu, sansqui rienne seraitarrivé.

L'aspetgénériqueettransversedemondomainedereherhem'apermisdetoyerdesingénieurs

etherheursextrêmement ompétentsetpassionnants.Jeremerietoutd'abordlesollèguesavequi

j'aiollaborésurletraitement desinertitudesà laDiretionde l'EnergieNuléaire duCEA:Fabrie

Gaudier, AgnèsdeCrey (etsoninséparable Pasal), Cyrille deSaint Jean(etsoninséparable Gilles)

..., et surtout Jean-Mar Martinez qui m'a permis de développer ma pugnaité. Je féliite aussi

lesmembresdu groupede travail"Inertitudes"de l'IMdR(Etienne deRoquigny,Fabien Mangeant,

ErikHerbin,NiolasFisher,YannRihet,GuennadiAndrianov,OlivierVasseur,EriChojnaki,j'en

oublie?)quim'ontsoutenude manièreexemplairelors deréentesdéfaillanesgastriques.J'applaudis

enn lesmembres dubureaudu GdRMASCOT-NUM (Les3 F, Lu,Jean-Claude, Hervéetonsors)

quime permettent departiiperàde bellesationsommunes.

Pournir,parlonsdelaVIEENDEHORSDUBOULOT,mêmesij'admetqueparfoisj'aitendane

àl'oublier(mea ulpa,jesensquejevaismerattraper).Alorsjelaneunriduoeuràmesamisetaux

monuments niçois qui étaient déjà dansmes remeriements de thèse il y a tout juste 10 ans: Dume,

Housse,Titou,Stéph,Alain,leurs onjointes, lapissaladière,lasoa, l'OGCNetlesDumDumBoys.

Enparlant demusiàtendanenoisy-punk,FatalErrorayant laissélaplaeàPorheline, meriàmes

deuxmusiiensadarahiens,ArnoetJief,quimepermettentdem'exprimer,parfoisviolemment,mais

toujoursdansunmiroouenfrappant/poussant/tirantsurunebelleordemétalliquequinedemande

que ça. En parlant de musiiens, ça me fait penser à Vinent, et don à Fabienne, qui nous ont été

d'ungrandseoursdansla dernièreligne droite :enore meripour lebaby-sitting prolongé.Et puis,

jerendhommage àmonpaternel quiest probablement lasoure de mamotivation première.J'ai une

penséepermanente pourMomo,pourmesdeuxzozios,OrlaneetEmeri,sansquirienn'auraitdesens

et pour madoue, So

Φ

^{qui mesupporteave tant de ourage.}

Liste des travaux 9

1 Introdution générale 15

English version- General introdution 17

2 Modélisation stohastique des inertitudes de vitesse en propagationd'ondes 19

2.1 Introdution . . . 19

2.1.1 Étatde l'art. . . 19

2.1.2 Contributions . . . 20

2.2 Modélisationaléatoire desmilieux hétérogènes etturbulents . . . 22

2.2.1 Milieuxstationnaires anisotropes . . . 22

2.2.2 Milieuxnon stationnaires . . . 25

2.2.3 Modélisationstohastique de laturbulene. . . 25

2.2.4 Quelquesfamillesde fontionsde ovariane etde variogrammes . . . 27

2.3 Propagation d'ondes aoustiqueshautes fréquenes enmilieu aléatoire . . . 28

2.3.1 Approximationde Rytovparabolique . . . 29

2.3.2 Optique géométrique . . . 31

2.3.3 Moyenne destemps de trajetauseond ordre:leveloityshift . . . 33

2.3.4 Variane des temps detrajetau seondordre enoptique géométrique . . . 34

2.4 Tomographie statistique . . . 35

2.4.1 Covariane destemps de trajet . . . 35

2.4.2 Inversionde laovariane duhampde vitesse . . . 36

2.4.3 Appliation àlasismique d'exploration . . . 37

2.5 Conlusion. . . 38

3 Etudes d'inertitudes de modèles numériques 41 3.1 Introdution . . . 41

3.1.1 Étatde l'art. . . 42

3.1.2 Contributions . . . 44

3.2 Analyse de sensibilitéde modèles . . . 45

3.2.1 Criblage àtrès grandedimension . . . 47

3.2.2 Criblage etplansd'expériene . . . 47

3.2.3 Mesuresd'importane basées surdeséhantillons . . . 48

3.2.4 Déompositionde lavariane . . . 50

3.2.5 Tehniquesde lissage etmétamodèles. . . 52

3.3 Constrution etutilisation du métamodèleproessus gaussien . . . 54

3.3.1 Lemodèleproessusgaussien . . . 55

3.3.2 Construtionetestimation desparamètres . . . 57

3.3.3 Méthodologieen grandedimension . . . 59

3.3.4 Caluldesindies deSobol . . . 63

3.4 Estimation de quantiles deodes . . . 65

3.4.2 Quantile par variablede ontrle . . . 66

3.4.3 Une méthode de rejet:lastratiation ontrlée . . . 67

3.4.4 Quantilepar stratiation ontrléeadaptative . . . 68

3.4.5 Quantile par tirage d'importane ontrlé . . . 70

3.4.6 Perspetives . . . 72

3.5 Leas desmodèles numériques stohastiques . . . 72

3.5.1 Modélisationjointe . . . 73

3.5.2 Indiesde Sobolpour modèlesjoints . . . 75

3.5.3 Appliation auxmodèles àentrée fontionnelle . . . 76

3.6 Conlusion. . . 78

4 Bilan et perspetives 81

English version- Conlusionand perspetives 83

A Curriulum vitae en français 85

English version- Curriulumvitae 95

B Abstrats des publiations à revue 105

Bibliographie générale 108

2.1 Expériene de sismique réexion 2D. L'oset

x

^{est la distane entre la soure}

O

^{et le}

réepteur

R

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21}

2.2 Prinipedudébitmètreàultrasons.Prolsd'éoulement enrégimeturbulent etlaminaire. 22

2.3 Exemples dehampsaléatoires 2Dgéométriquement anisotropes. (a)Champ devitesse

d'ondes aoustiquesdansl'eau(moyenne

c ₀ = 1509

^{m/s,ovariane gaussienne}

C ₀ (h) = exp( − h ² )

^,

h ∈ R

,

σ _ε = 4

^m/s,

a _x = 1

^m,

a _z = 0.25

^m,pendaged'anisotropie

θ = 11.5 ^o

^,

unitésdesaxesenmètres).(b)Perturbationsdevitessedesondessismiques(ovariane

exponentielle

C ₀ (h) = exp( −| h | )

^{de variane unité,}

a _x = 0.1

^km,

a _z = 0.02

^{km). . . . . 23}

2.4 Exemple de réservoir pétrolier réaliste (issude Iooss et al. [97 ℄). (a) Champ de vitesse

sismique (ave anisotropiezonale).(b)Covarianesexpérimentalesnormalisées dansles

diretions horizontale etvertiale. . . 24

2.5 Exempled'éoulementuidebidimensionnelturbulentdevitessemoyenne

v ₀ = (10

^m/s,

0

^m/s

)

^. Perturbations de vitesse à spetre de Kolmogorov pour haque omposante de la vitesse :

L ₀ = 0.2

^m,

l ₀ = 0.002

^{m, éart types}

σ _{v 1} = σ _{v 2} = 5

^{m/s. Les unités des}

axes sont en mètres. . . 26

2.6 Comparaisons des varianes de temps de trajet expérimentaux et théoriques (gure

extraited'Andreeva& Durgin [4℄). . . 35

3.1 Cadre général pour lesétudes d'inertitude. . . 43

3.2 Synthèse des méthodes d'analyse de sensibilité plaées dans un diagramme (oût en

nombred'évaluationsdumodèlevs.omplexitéetrégularitédumodèle).

d

^estlenombre

de variables d'entrée dumodèle,

h

^{est lenombrede variables d'entrée inuentes. . . . 46}

3.3 Estimations du quantile à

95%

^{de la fontion d'Ishigami à partir d'un éhantillon de}

taille

n = 200

^{. (a)} Comparaison entre les estimateurs empirique et par stratiation ontrlée. Leshistogrammesdesestimateurssont traésàpartir de

10 ⁴

expérienes.(b) Estimationsparstratiationontrléepourquatremétamodèlesdiérents.Lesdensités

orrespondentàunlissagedeshistogrammesobtenusàpartirde

10 ³

expérienes.Levrai quantileestdonné par letrait vertial. . . 69

3.4 Étudeavelesfontions(3.72)et(3.73).(a)Densitésde

Y

^et

Z

^.(b)Estimationsduquan- tileà

95%

^de

Y

^{àpartird'unéhantillon detaille}

n = 200

^.Comparaisons entrelesesti- mateurs empirique (moyenne

2.83

^{, éart-type}

0.52

^{), par variablede ontrle (moyenne}

2.74

^{, éart-type}

0.38

^{), par} stratiation ontrlée (moyenne

2.71

^{, éart-type}

0.25

^{), et}

par tiraged'importane ontrlé (moyenne

2.77

^,éart-type

0.21

^).Leshistogrammesdes estimateurs sonttraés àpartirde

5000

expérienes. . . 71 3.5 Boxplotsdes estimations d'indies de Sobolà l'aidedes GLMjoint et GAM joint pour

lafontion WN-Ishigami(taille de labase d'apprentissage

n = 500

^{), obtenues à l'aide}

de

100

^bases d'apprentissage diérentes. Pour haque indie, laligne horizontale estla valeur de référenealuléediretement sur lafontion WN-Ishigamipar MonteCarlo. 77

MONOGRAPHIE (en préparation)

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de nouvelles méthodes de régression. NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NT DO2117/06/04,

CEACadarahe,Frane,2004.

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[Ir14℄ E. Volkova, F. Van Dorpe et B. Iooss. Modélisation du transport de

90

Sr en milieu poreux saturé et analyse

de sensibilitédu modèle : appliation surun sitede stokage temporaire de déhets radioatifs (CRR Kurhatov

Institute,Russie).NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DTN/SMTM/LMTE2005/63,CEACadarahe,Frane,2005.

[Ir15℄ A.MarreletB.Iooss. Rapport destage-Modélisation desodesde aluldansle adre desproessus gaussiens.

NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO1604/10/05,CEACadarahe,Frane,2005.

[Ir16℄ M.RibatetetB.Iooss. Rapport destage-Modélisation delamoyenneetde ladispersion: uneapproheparles

GLM.NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO2029/11/05,CEACadarahe,Frane,2005.

[Ir17℄ P.Heyraud,B.Iooss,A.BouloréetC.DeBellis.GestiondesinertitudesdanslabasededonnéesCRACO.Note

TehniqueCEA/DEN/CAD/DEC/SESC/LSC05-040,CEACadarahe,Frane,2006.

[Ir18℄ B. Iooss et F. Van Dorpe. Analyse de sensibilité du ode d'impat radiologique MIRAGE. Note Tehnique

CEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO501/03/06,CEACadarahe,Frane,2006.

[Ir19℄ B.Iooss.ManuelutilisateurdulogiielSSURFERV1.2:programmesenRd'analysesd'inertitudes,desensibilités,

etdeonstrutiondesurfaesderéponse.NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO608/03/06,

CEACadarahe,Frane,2006.

[Ir20℄ B.IoossetN.Pérot.Représentativitéd'un éhantillon defaibletaille.NoteCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR

DO7113/11/06,CEACadarahe,Frane,2006.

[Ir21℄ B.Iooss,P.Bazin,A.deCrey,C.CannamelaetJ.Garnier.CompterenduduprojetCEMRACS2006surl'esti-

mationdequantilesdeodesdealul.NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO2229/11/06,

CEACadarahe,Frane,2006.

[Ir22℄ B. Auder et B. Iooss. Analyse de sensibilité globale basée sur l'entropie. Note Tehnique

CEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO0412/03/07,CEACadarahe,Frane,2007.

[Ir23℄ M. Marquès, B. Iooss et B. Spindler. Guide utilisateur LEONAR Version 1. Note Tehnique

CEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO0720/04/07,CEACadarahe,Frane,2007.

[Ir24℄ B.Tourniaire, B. Spindler,B. IoossetM. Marquès. LEONAR V1 - Modélisation des phénomènes hors uve et

méthodes statistiques et probabilistes. NoteTehniqueCEADEN/DTN/SE2T/LPTM/2007-207, CEAGrenoble,

Frane,2007.

[Ir25℄ B. Spindler,B. Tourniaire, B. Iooss et M. Marquès. LEONAR V1 - Note de validation : modules physiques,

méthodes statistiques, illustration d'un alul ouplé. Note TehniqueCEA DEN/DTN/SE2T/LPTM/2007-208,

CEAGrenoble,Frane,2007.

[Ir26℄ B.IoossetN.Pérot.Quelques outils statistiques pour étudierlareprésentativité d'un éhantillon de donnéesde

faibletaille.NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NT DO1320/09/07,CEACadarahe,Frane,

2007.

[Ir27℄ V. Bakirdjian etB.Iooss. Rapport de stage: Etudegéostatistique pour la artographie de ellules ontaminées.

NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO1424/09/07,CEACadarahe,Frane,2007.

statistiquesdu hampdeperméabilité.NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO1502/10/07,

CEACadarahe,Frane,2007.

[Ir29℄ B.Iooss. Spéiations fontionnelles pour URANIEliéesaux besoins du logiiel LEONAR : tests d'ajustement

statistique. NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NT DO 2023/11/07, CEACadarahe, Frane,

2007.

[Ir30℄ N.PérotetB.Iooss.Ehantillonnagepourledémantèlement:normeAFNOR8550de1994.Démonstrationetré-

sultatsdesimulation.NoteTehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO2217/12/07,CEACadarahe,

Frane,2007.

[Ir31℄ B.Spindler,B.Tourniaire,J-M.Seiler,G.Ratel,B.IoossetM.Marquès.LEONARV2-Modélisationdesphéno-

mènesphysiquesetméthodesstatistiquesetprobabilistes.NoteTehniqueCEADEN/DTN/SE2T/LPTM/2008-259,

CEAGrenoble,Frane,2008.

[Ir32℄ B. Iooss, M. Marquès et B. Spindler. Guide utilisateur LEONAR Version 2. Note Tehnique

CEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO304/03/08,CEACadarahe,Frane,2008.

[Ir33℄ B. Iooss. Global sensitivity analysis methods with spatially-dependent inputs. Note Tehnique

CEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO406/03/08,CEACadarahe,Frane,2008.

[Ir34℄ B. Iooss et A. Marrel. Performing sensitivity analysis of pu time onsuming models using metamodels. Note

TehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO721/03/08,CEACadarahe,Frane,2008.

[Ir35℄ B.IoossetN.Devitor.Presentationofperformaneassessmentresultsbyalternativeapproahes.NoteTehnique

CEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO621/03/08,CEACadarahe,Frane,2008.

[Ir36℄ N. Pérot et B. Iooss. Estimation par régression multi-linéaire sur la réalisation expérimentale de la puissane

maximumdéposée (

P

max

)etde l'énergiepour diérentstypesdepulses dans leréateur CABRI.NoteTehnique

CEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO916/04/08,CEACadarahe,Frane,2008.

[Ir37℄ B.Iooss.SpéiationsfontionnellespourURANIE:analysesdesensibilitébaséessurdestestsstatistiques.Note

TehniqueCEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO1328/08/08,CEACadarahe,Frane,2008.

[Ir38℄ B. Iooss, M. Marquès et B. Spindler. Guide utilisateur de LEONAR Version 2.1-0. Note Tehnique

CEA/DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NTDO1414/10/08,CEACadarahe,Frane,2008.

[Ir39℄ B.Tourniaire,B.Spindler,J-M.Seiler,G.Ratel,B.IoossetM.Marquès.LEONARV2.1-Modélisation desphé-

nomènesphysiquesetméthodesstatistiquesetprobabilistes.NoteTehniqueCEADEN/DTN/SE2T/LPTM/2008-

300/a,CEAGrenoble,Frane,2008.

Introdution générale

Lasimulationnumériqueonsisteàreproduireunoudesphénomènesphysiquesàl'aidedemodèles

onstituésd'équationsmathématiquesetrésoluspardesalulssurordinateur.Cetterévolutionsienti-

que,datantd'unesoixantained'années,aonduitàdenombreusesavanées:meilleureompréhension

de laphysique, prédition de phénomènes, aide à laplaniation d'expérienes réelles, remplaement

d'expérienes réelles par des simulations, outils de réalité virtuelle, ... Malheureusement, dans er-

tainessituations, la méonnaissane de la physique etde laréalité limiteson utilisation. Demanière

shématique, onpeutdistinguer troissouresd'impréision majeure:

1. les impréisions dues à une modélisation théorique simpliée ou erronée de la réalité (e.g. phé-

nomènephysique ouhimique nonpris en ompte,suppressiondelavariabilité spatiale outem-

porelle d'unparamètredu modèle) quel'on appelle ommunément inertitudes demodèle;

2. les impréisions dues à la résolution numérique des équations mathématiques (e.g. shéma nu-

mérique,ritère deonvergene), appeléesinertitudes numériques;

3. les impréisions sur les paramètres et données d'entrée du phénomène physique (e.g. vitesse

du vent, porosité du sous-sol), qui se lassent en inertitudes épistémiques (aléas dus à une

méonnaissane) et en inertitudes stohastiques (aléas intrinsèques à la nature des variables).

Cesentrées doivent pourtantêtre spéiéespour réaliserunalul dumodèle numérique.

Apartirdesannées1980,lesproblématiquesdepriseenompteetderédutiondesinertitudesont

étéidentiéespar les industriels ommedesenjeuxmajeursde leurs proessusde déisions'appuyant

surdes modèles préditifs. EnFrane, dèsledébut desannées 1990, de grandsprojets degestion des

inertitudes ont été lanés, notamment dans les industries pétrolière et métallurgique. De part ma

formationuniversitaire enmathématiques appliquées,statistique et probabilités, monintérêt pour les

problèmes industriels liés à la modélisation aléatoire, et mon arrivée dans le monde de la R&D en

1995, mes travaux de reherhe se sont naturellement tournés vers e ontexte global du traitement

desinertitudes ensimulation.

Durant mes sixpremières annéesde reherhe, motivées (etnanées) prinipalement par les pro-

blématiques d'exploration pétrolière, j'ai travaillé sur le premier type d'impréision, les inertitudes

de modèles, dans le adrede la modélisationde lapropagation d'ondes aoustiques. Les inertitudes

onsidérées onernaient la non prise en ompte, dans l'interprétation des signaux aoustiques, de la

variabilité spatiale des hamps de vitessedes ondesd'éhelle supérieureà lalongueur d'onde. Durant

les sixannées suivantes, supporté par ertains programmes de la Diretionde l'Énergie Nuléaire du

Commissariatà l'ÉnergieAtomique (simulation numérique, maîtrisedesrisques, sûreté desréateurs,

gestiondu ombustible, ...),je mesuis attahé autroisième type d'impréisions,onernant les don-

nées d'entrée d'un modèle de simulation numérique. Je me suis notamment eoré d'utiliser et de

développer des méthodesstatistiques rigoureuses de traitement des inertitudes, ete dansun adre

générique(indépendammentd'unmodèleetd'uneproblématique physique).Cetyped'études,deplus

en plus appliqué au ontexte industriel, a produit des outils extrèmement utiles aux ingénieurs qui

développent, valident ou utilisent desmodèles préditifs.

miquedeCadarahe(CEACadarahe),ettedernièreativités'estavéréepassionnante,dufaitnotam-

ment de ladiversitédes domainesd'appliations onernés etde lamultipliitédes outilsstatistiques

utilisés. L'un des redo de notre équipe porte notamment sur la résolution de problèmes atypiques,

i.e. de problèmes d'ingénieurs diiles : questions impréises et/ou mal posées, modèle numérique

non robuste, peu voire pas de données, ode numérique oûteux ou peu maniable, nombre d'entrées

exessivement important, ... La résolution deesproblèmes passentsouvent parl'utilisation d'outils

statistiquesavanés, issusdetravauxde reherhe plusoumoinsréentsdumondeaadémique. Cette

approheasusité,denotrepart,unefortevolonté d'éhangesand'intéresserdesherheursuniversi-

tairesànosproblèmes.L'unedenosréussitesestqueettedémarhe,menéeave d'autresorganismes

dereherheindustrielle (ommeEDFR&D,IFP,EADS,ONERA,...),aportéesfruits.Eneet,de

nombreuses initiatives de ollaboration surette thématique ont réemment vu le jour,dont ertains

résultatstangibles sont présentés auxŸ3.1, Ÿ3.4etau hapitre 4.

Mademanded'habilitationàdirigerdesreherhesentredansleadredeeséhangesentreéquipes

de R&D industrielles etéquipesuniversitaires. Il est souhaitable que leséhanges se fassent àdouble

sens, les universitaires s'intéressant aux problématiques industrielles et les ingénieurs de reherhe

s'investissant dansdes ativitésde natureplusaadémique (publiations, formation, enadrementsde

dotorants, ...). Ma demande est par ailleurs motivée par le souhait du CEA de disposer en interne

de herheurs habilités à diriger des reherhes. Elle est également renforée par notre volonté de

pérenniser l'ativité Traitement générique desinertitudes à la Diretion de l'Energie Nuléaire du

CEA.Bien entendu, d'autresmotivationsimportantessontpluspersonnelles,avenotammentledésir

de présenter dans un adre global tous les travaux de reherhe que j'ai réalisés durant mes douze

premières années d'exerie. Ceionstitue l'objet de e mémoire et me permet de les ommenter et

les ritiquer de manière plus aboutie que dans des publiations sientiques. Malgré mon soui de

synthèse, il est apparu ependant inévitable de séparer e mémoire en deux parties, distinguant mes

périodespétrolière etnuléaire.

Le hapitre suivant est onsaré à mes travaux sur la aratérisation stohastique des hamps de

vitessedanslamodélisation de lapropagationd'ondes. Eneet, durant mathèse,mon post-dotorat

etmon ativitéà l'Institut Françaisdu Pétrole(IFP), je mesuis intéressé à l'étude desmoments des

temps de trajet des ondes en fontion des moments des hamps de vitesse dans lesquels elles se pro-

pagent.Lesannées1990ontvuuneortdereherhe notableonsaréàesujetenFrane,e quim'a

permisde ollaborerave desherheursissusd'horizons divers:stagiaires,thésards,post-dotorants,

ingénieurs de reherhe etherheurs universitaires.Nos travaux, quiont donné lieu àquelques avan-

ées théoriques et méthodologiques, sont à lasser dans les domaines des mathématiques appliquées

etde leurs impliations pour la physique. Nous avons notamment apporté une vision légèrement dif-

férente de elle des physiiens : approhe géostatistique pour la modélisation des milieux aléatoires,

interrogation systématiquedu domainede validitédesapproximations physiques, étudeneetvalida-

tion systématique de es approximations à l'aide de simulations numériques lourdes, ... Durant es

reherhes, les domainesd'appliation ont été variés(sismiqueethydraulique).

Le troisième hapitre de e mémoire onerne la problématique du traitement desinertitudes en

simulationetde l'analysestatistiquedesréponses desodesnumériques. Lapremière setionpasseen

revue les diérentes méthodes d'analyse de sensibilité de modèles. La deuxième setion présentemes

travauxsurl'utilisation desproessusgaussiens ommemétamodèle, modèle sesubstituant àunode

de alul lorsque elui-i est trop oûteux pour être exploré à l'aide d'outils statistiques. Les deux

dernières setions présentent des sujetsplus originaux sur lesquels je me suis onentré réemment :

l'estimation de quantiles élevés de sorties de odesde alul etle traitement des sorties des odesde

alulstohastiques,i.e.demodèlesnumériquesquiontiennentunaléainontrlable.Cedernierthème

dereherhe mepermet d'introduire leproblème delaprise en ompte desvariables fontionnellesen

analysed'inertitude de modèles,sujet surlequel jelane atuellement quelquesationsde reherhe.

Ledernierhapitre dresseunbilan etdesperspetivesdeestravaux.Lesannexessont onstituées

de mon urriulum vitae détaillé (intégrant une synthèse ourte de tous mes travaux de reherhe,

responsabilités etenadrements sientiques) etdesrésumésde toutes mes publiationsà revue.

Numerialsimulationonsistsinreproduingone or severalphysial phenomena withanumerial

model.Generally speaking,a numerial modelis builton mathematial equationsand solved byom-

puteralulations.Thissientirevolution,beginningsixtyyearsago,ledtonumerousontributions:

better understanding ofthe physis,

preditionof phenomena,

helpto thedesignof real experiments,

replaement of realexperimentsbysimulations,

et.

Unfortunately,inmanysituations,thephysismisunderstandinglimitsitsuse.Inasimplistiway,one

an distinguishthree souresofmajor impreision :

1. inauraiesdueto asimpliedorerroneous theoretialmodellingofthereality(e.g.physial or

hemial phenomenon nottakeninto aount,deletionof thespatial ortemporalvariabilityofa

modelparameter) thatis ommonlyalledmodelunertainty;

2. inauraies due to the numerial resolution of the mathematial equations (e.g. numerial

sheme, onvergene riterion), allednumerial unertainty;

3. inauraiesabout theinput parameters and input dataof thephysial phenomenon (e.g.wind

speed,groundwater porosity), whih arelassied inepistemi unertainties (insuient know-

ledge alea) and in stohasti unertainties (intrinsi alea). Nevertheless, these input variables

have to bespeied inorderto perform onealulation ofthenumerial model.

From1980s,unertaintyproblemswereidentiedinindustryasmajorstakes.Thiskindofproblems

ours inthe industrialdeision proesses basedon preditive models. InFrane, fromthe 1990s, big

projets of unertainty management were launhed in the petroleum and metallurgial industries for

example.Ibeganmyresearhativitiesin1995.Atthistime,Ihadstudiedmainlyappliedmathematis

and more preisely probability and statistis. I was highly interested by the random modelling in

industrialproblems.Sothat,myativitiesnaturallyturnedto theunertaintymanagement ontext in

simulationmodels.

During my rst six researh years, motivated (and naned) mainly by oil exploration problems,

Iworked on therst impreision type (modelunertainties). Mytopi onerned the aoustial wave

propagationmodelling. The assoiated unertainties wereprovoked bythedeletion, intheinterpreta-

tionoftheaoustialsignals,ofthewaveveloityspatialvariabilityofsalelargerthanthewavelength.

During the next six years, I worked on the third impreision type (input dataand parameter uner-

tainties) for theresearh projets of theFrenh NulearEnergy Division.For example,these projets

arerelatedtonumerialsimulation,riskontrol,nulearreator safetyandfuelmanagement.Itriedto

useanddeveloprigorousstatistialmethodsinageneriframework,i.e.independently ofamodeland

of a physial problem. This kind of studies produes useful tools to engineers who develop, validate

or use preditive models. The interest about these problems grows more and more in the industrial

ontext.

Inside a researh team dediated to the unertainty studies of theCommissariat à l'Énergie Ato-

mique de Cadarahe (CEA Cadarahe), this last ativity turned out fasinating. It was mainly due

to the appliation domains variety and theinvolved statistial tools multipliity. One of our ativity

onerns the resolution ofatypial and diultengineering problems :

nonrobust numerial model,

littleor no inputdatato quantify parameter unertainties,

putimeexpensive numerial model,

exessively large numberof randominputs,

et.

Resolution of these problems often needs the use of advaned statistial tools. This approah has

neessitated to inrease our ontats with aademi researhers. Theseinitiatives have been led with

other industrial researh institutes (as EDF R&D, IFP, EADS, ONERA, ...). They have provided

some suessful results. Indeed, numerous ollaborations on this researh theme were reently born.

Someresults ofthese ollaborationsare mentioned inŸ3.1, Ÿ3.4and inhapter 4.

My habilitation demand enters within these exhanges between industrial and aademi researh

teams.Theseexhangesaremadewithadoublemeaning:theaademisprovideinterestsaboutthein-

dustrialproblemsandtheresearhengineersareinvolved inmore aademiativities(aspubliations,

training,PhD studentsupervision).Besides,Iwasmotivatedbymyresearh institutewhihneedsha-

bilitedresearhers.ThishabilitationwillalsoallowtoreinforetheativityUnertaintymanagement

intheNulearEnergyDivision.Naturally,othermotivationsaremorepersonal.Forexample,Iwanted

topresentinaglobalontext allmyresearh works.Thatallowsmetoomment andtoritiizethese

resultsinasinglereport.Thisanbedoneinamoresueededwaythaninanysientipubliations.

However, inspite ofthis synthesiseort,it isinevitable todivide this reportintwoparts, inorderto

distinguishmyoil and nulear periods.

The following hapter is dediated to my works on the veloity stohasti haraterization inthe

wave propagation modelling. Indeed, this was my researh subjet during my PhD thesis, my post-

dotoral position and my ativity at the Frenh Institute of Petroleum (IFP). It onerns the study

of the wave traveltimes statistial moments aording to the statistial moments of the veloity eld

inwhih thewaves propagate. The 1990s sawa onsiderable researh eort dediated to this subjet

inFrane. So that, I have ollaborated with various researhers as trainees,PhD students, industrial

researh engineers and aademi researhers. Our works have produed some theoretial and metho-

dologial ontributions inthe applied mathematis domainand their impliationsfor thephysis.We

notably brought a slightly dierent view from that of the physiists: geostatistial approah for the

randommedia modelling,interrogations about approximationvalidity domains,systemativalidation

of the estimates by huge numerial simulations, ... I have also applied these researhes on various

appliation domains, mainlyexploration seismis andhydraulis.

The unertainty management problem in numerial simulation is the topi of the third hapter.

Morepreisely,Ihavestudied somestatistialapproahestoanalyzenumerialodeoutputs.Therst

setionreviewsthesensitivityanalysisofmodeloutputmethods.Theseondsetionpresentsmyworks

ontheGaussianproessmodel(kriging)asametamodel.Ametamodelisasimplemathematialmodel

substitutingitself for a omputerode. Ametamodelis useful whentheomplete numerial model is

too time onsuming to be investigated using statistial tools. The last two setions present more

original subjets on whih I reently onentrated. The rst one relates to the high order quantile

estimationproblemofaomputerodeoutput.Theseondoneisonerned bythestatistialanalysis

ofstohasti omputerodes,i.e. numerial models whih ontain an unontrollable aleasoure. This

latterproblemallows meto introdue the problemof thefuntionalvariables inunertaintyanalysis.

Itis oneof myreent interesttopi.

Thelasthapterdraws upbalanesheetandperspetivesof theseworks.Appendiesareonstitu-

tedby mydetailed urriulum vitae and all my journal publiation summaries.My urriulum vitae

integratesa short synthesis ofall myresearh works,responsibilities andsienti supervisions.

Modélisation stohastique des inertitudes

de vitesse en propagation d'ondes

2.1 Introdution

Lesphénomènesdepropagationd'ondesinterviennentdansunegrandequantitédedomainessien-

tiques et peuvent être parfois assoiés à des enjeux industriels importants (exploration pétrolière,

téléommuniations,életronique,ontrle nondestrutif).Lorsquelemilieutraversé parlesondesest

hétérogène, inonnu et trop omplexe pour être modélisé de manière déterministe, il est ourant de

le modéliser par un hamp aléatoire. Les aratéristiques du milieu (e.g. raideurs élastiques, densité,

température, vitesses du vent, ...) en haque point sont don des variables aléatoires qui sont orré-

lées spatialement. Dans e adre, le hamp d'onde devient lui-même un proessus aléatoire et on le

aratérisepar samoyenne, saovariane, voire sesmoments d'ordre plusélevé.

2.1.1 État de l'art

Introduite par des astrophysiiens (Chandrasekhar [38℄), la théorie de la propagation d'ondes en

milieu aléatoire s'est fortement développée dans les années inquante etsoixantegrâe à l'éole phy-

siienne russe (Chernov [41 ℄, Barabanenkov et al. [14 ℄), puis a été onsidérablement enrihie par les

apports des mathématiiens (Keller [115 ℄, Frish [70 ℄, Ash et al. [9 ℄, Papaniolaou [164℄, Fouque et

al. [67℄). Son développement a été porté par lamultipliité de ses domaines d'appliation, parmi les-

quels on peut iter l'életromagnétisme (Ishimaru [105 ℄), la radiophysique (Tatarskii [211 ℄, Rytov et

al. [181℄), l'aoustique atmosphérique (Ostashev [163 ℄), l'aoustique marine (Usinski [218℄, Flatté et

al. [65 ℄), l'optique et les téléommuniations (Andrews & Phillips [5℄), la surveillane des réateurs

nuléaires (Fiorina [64 ℄), la sismologie (Sato & Fehler [193 ℄), la sismique pétrolière (Jannaud [108℄,

Ioossetal.[97℄),laphysique desplasmas,l'hydrodynamique,l'imagerie médiale,....Danshaunde

esdomaines d'appliation,lesparamètres d'hétérogénéité oudeturbulenedépendentdelanatureet

de l'environnement (les onditions aux limites) du milieu de propagation. Par exemple, la sismologie

s'intéresse aux onstantes élastiques et à la densité des rohes. En oéanographie, la température, la

salinité etla pression de l'eau modient la élérité desondes alors que dans l'atmosphère, e sont la

température etl'humidité de l'air quisont onernées. Danse hapitre, esparamètres spatialement

hétérogènes seront modélisés par deshampsaléatoires ontinus (Cressie [44 ℄).

Mathématiquement, les méthodes utilisées reposent dans leur grande majorité sur la même idée

de base:onidentieun paramètre d'éhelle

ε

^{,puis, on utilise soit uneméthode de} perturbation (si

ε

est petit) pour obtenir une équation simpliée que l'on moyenne ensuite, soit une méthode d'analyse

stohastique qui onsiste à moyenner l'équation stohastique d'abord et résoudre les équations des

momentsensuite.Lehoixde

ε

^{dépendnotammentdelataille}

l _ε

^deshétérogénéités.Diérentsrapports de ette taille à la longueur d'onde dominante

λ ₀

^{de l'onde onsidérée onduisent à trois régimes}

diérentspour laphysique de lapropagation:

⋄

^{le adre des basses fréquenes est elui où la taille} aratéristique des hétérogénéités est

nettement plus petite que la longueur d'onde (

l _ε ≪ λ ₀

^{). Il n'est pas possible d'étudier}

les interations de l'onde ave haune des hétérogénéités et le milieu de propagation est

alors remplaé par unmilieu tifhomogène appelé milieu eetif. La diulté onsiste à

obtenir les propriétés du milieu eetif par moyennage despropriétés desonstituants du

milieuinitial. Dansleas1D(milieustratié), desapproximationsde typediusion (dans

la théorie des proessus stohastiques) permettent d'obtenir des résultats théoriques à la

limite

l _ε → 0

^{(f. Fouque etal.[67℄ pour l'ouvrage leplus réent sur esujet);}

⋄

^quandleshétérogénéitéssontdetailleomparableàlalongueurd'onde(adredesmoyennes fréquenes,

l _ε ∼ λ ₀

^{),desphénomènestrèsomplexespeuventseproduire:dirationsmul-}

tiples,rétro-dirations,atténuation,résonane,loalisation,...C'estleasleplusdiile

sientiquement ar les hétérogénéités ne sont pas assez petites pour pouvoir être lissées

(ommedanslathéoriedu milieueetif),etpasassez grandespourpouvoirêtre onsidé-

réesonstantessurladistaned'unelongueurd'onde(ommedansl'optiquegéométrique).

Lathéoriedu transfertradiatiffournit deséquations detransportde l'énergiedel'onde et

donne des indiations sur le omportement moyen d'une onde dans un milieu hétérogène

(Ishimaru [105℄, Sato & Fehler [193 ℄). Elle permet aussi d'expliquer le phénomène de la

loalisation :à ause desdirations multiples etarrières dansune zone fortement strati-

ée,l'énergied'uneondedéroîtexponentiellement,etpeutresteremprisonnéeàl'intérieur

d'unezonedu milieude propagation(Papaniolaou [164 ℄,Fouque etal. [67 ℄);

⋄

^{quand la taille de} hétérogénéités est supérieure à la longueur d'onde (

l _ε ≫ λ ₀

^{), e sont}

les phénomènes de transmission etde diration faible qui gouvernent la propagation. Le

hampd'ondeest faiblement déformé parhaquehétérogénéité et,enseplaçant en régime

périodique (ondemonohromatique), les notions d'amplitude etde phase sont onservées.

On se restreint alors souvent à l'étude des utuations des amplitude et temps de trajet

del'onde,quantitésquisontfailementmesuréessurlessismogrammes.Danserégime,et

notamment danssonaslimitequi est l'optiquegéométrique,les résultatsthéoriquessont

nombreuxpourdesmilieuxaléatoirespouvantêtrerelativementomplexes(statistiquement

anisotrope, loalement stationnaire, quasi-stationnaire, f Ÿ2.2.2). Par exemple, les deux

premiers momentsdesamplitudes etdestemps de trajetdesondespeuvent être exprimés

en fontion des deux premiers moments du hamp de vitesse des ondes (Chernov [41℄,

Tatarskii [211 ℄, Ishimaru [105 ℄, Rytov et al. [181 ℄, Ostashev [163 ℄). C'est dans e adre

hautes fréquenes que mes travaux se sont insrits, du fait prinipalement de leurs liens

ave l'étude destemps detrajetdesondes.

2.1.2 Contributions

Mestravauxdereherhesesontintéressésàlathéoriedelapropagationd'ondeenmilieualéatoire

d'un point de vue pratique, pour aborder suessivement deux problèmes industriels, en exploration

sismiquepétrolièreeten ontrle nondestrutif par ultrasons, détaillési-dessous.

1. La sismique réexion est employée en prospetion pétrolière depuis plusieurs déennies pour

donnerune image de la struture d'unbassinsédimentaire. Elle onsisteà réer artiiellement

danslesous-sol(resp. en mer) un ébranlement (resp. une onde de ompression)et àenregistrer

lesréponsesdu milieuendiérentsréepteurssituésen surfae(Fig.2.1). Onobtientune bonne

ouverture du sous-sol en répétant et en déplaçant le dispositif le long du terrain examiné. A

partirdes signauxsismiques etde la vitessede propagation des ondes, on tentede reonstituer

uneartedusous-sol.Pourefaire,uneétapepréalabled'inversionduhampdevitessesismique

àpartirdestemps de trajetdesondes estnéessaire. Ils'agit làd'unproblèmeinverse malposé

(Tarantola [208 ℄) qui peut être traité par des méthodes de régularisation (proessus nommé

tomographie).

Malheureusement, les méthodes sismiques utilisées en pratique ont des limites au niveau de la

geologique interface Sous-sol

EXPERIENCE DE SISMIQUE REFLEXION O

SOURCE

R ₁ OFFSETS x R _{2 3} Surface R

Fig. 2.1 Expériene de sismique réexion 2D. L'oset

x

^{est la distane entre la soure}

O

^{et le}

réepteur

R

^.

résolutionspatialeduhampdevitessequ'ellessontsuseptiblesdearatériser(Thore&Juliard

[212 ℄, Williamson & Worthington [229 ℄). Basées sur l'approximation de l'équation d'ondes par

l'optiquegéométrique,esméthodesdéterministesinterprètent mallesévénementsprovoquéspar

detroppetiteshétérogénéitésdevitessequiontunimpatnonnégligeablesurlestempsd'arrivée.

Au débutdes années 1990,Matheron [148 ℄ s'estintéressé à e sujet de reherhe en modélisant

de manière probabiliste es hétérogénéités de vitesse. Au sein du Centre de Géostatistique de

l'ÉoledesMines deParis,Alain Galli apoursuiviestravauxen dirigeant suessivement trois

thèsessur lesujet (de1992 à2002). Mestravauxde thèse(Iooss [92℄), qui ont faitsuite àeux

d'une première thèse (Touati [214 ℄), ont ontribué à fournir une proédure pour quantier sta-

tistiquement les hétérogénéités de vitesse sismique (f. Ÿ2.4). Ces résultats de reherhe, enore

non exploités de manière industrielle en exploration pétrolière, ont été poursuivis par quelques

géophysiiens etsemblent débouhersurdes appliations(Kaslilar etal. [114 ℄).Au ours de es

travaux,j'aiégalementobtenu denouveauxrésultatssurlesonditionsdevaliditédesdiérentes

approximations (Rytov, parabolique, optique géométrique) qui permettent d'exprimer analyti-

quementlestemps detrajetdesondes(etleurs moments)enfontiondeperturbationsdevitesse

statistiquement anisotropes(f. Ÿ2.3).

2. La deuxième problématique industrielle que j'ai abordée onernait les mesures de débit dans

les tuyauteries industrielles (de liquide ou de gaz) qui sont ouramment réalisées à l'aide de

tehniques ultrasonores. C'est le as par exemple sur ertains iruits des réateurs nuléaires

à eau pressurisée. Les tehniques ultrasonores de débitmétrie présentent l'avantage d'être non

destrutives, non intrusives, failes à utiliser et possèdent un temps de réponse extrêmement

ourt (Lynnworth [138 ℄). Certaines sont basées sur la diérene de temps de trajet entre deux

ondes ultrasonores propagées dans le sens et à ontresens du ux (Fig. 2.2). Si le poids des

inertitudes prépondérantes est onnu, elles liées aux prols (thermiques et inématiques) et

auxturbulenes (thermiques etinématiques)du milieu lesont beauoup moins.

En ollaboration ave Philippe Blan-Benon 1

etChristian Lhuillier 2

, e sujet adonné lieu àun

travailamont surl'analysedesutuationsstatistiquesdestemps detrajetetaudéveloppement

deméthodesdesimulationdelapropagationd'ondesenmilieuenmouvement.Lerésultatleplus

marquant resultedeladémonstration analytiquedelanon linéaritédelavariane destempsau

deuxièmeordre,observéedansdessimulationsnumériquespréédemmentàmestravauxetquia

étéonrméeexpérimentalement depuis(f. Ÿ2.3).Les outilsnumériquesdéveloppésont permis

ensuite d'évaluer les inertitudes (dues aux turbulenes thermique et inématique de l'eau) sur

1

LaboratoiredeMéaniquedesFluidesetd'Aoustique,CNRS/ÉoleCentraledeLyon

2

CEACadarahe,Diretiondel'ÉnergieNuléaire

r ₀

T _BA

B T _AB

α Vm

V(r)= V (1- ) m __ r r ₀

p

V(r)= V (1- ) m __ r ²

2

r 0

profils d’ecoulement

β

A

Fig. 2.2Prinipe du débitmètre à ultrasons.Prols d'éoulement en régimeturbulent etlaminaire.

l'estimation du débit par les débitmètres ultrasonores à temps de transit. Dans e mémoire,

l'appliationàladébitmétrieneserapasévoquée.Onnoteraependant lapubliationréentede

Franhinietal.[68℄quiapporteunesolutionanalytiqueàl'undesproblèmessurlesinertitudes

endébitmétrie quej'ai résolupar simulation numérique dansIooss et al.[98 ℄.

La setion suivante présente le type de modélisation hoisie pour les hétérogénéités du milieu de

propagation,à savoirdeshamps aléatoiresaratérisés parleur struturede ovariane. Latroisième

setiondéritmaontributionà lathéoriedelapropagationd'ondes en milieualéatoire, quionerne

essentiellementl'étude,parméthodesperturbatives,destempsdetrajetenmilieualéatoireanisotrope.

La quatrième setion traite de ma ontribution sur l'inversion de la ovariane des temps de trajet

(nomméetomographiestatistique).Finalement,àpartird'unesynthèsedemestravauxenaoustique

et en sismique, une onlusion permet de mettre en évidene un ertain nombre d'axes de reherhe

ouverts.

2.2 Modélisation aléatoire des milieux hétérogènes et turbulents

Dans ettesetion, les hoix de modélisationpour les milieuxaléatoiressont présentés.

2.2.1 Milieux stationnaires anisotropes

En physique, un hamp aléatoire

ε(r) ∈ R

(où

r ∈ R ³

) est souvent aratérisé en première ap- proximation par sa moyenne et saovariane (e.g. Rytov et al. [180℄). C'est également la base de la

géostatistique linéaire qui onsiste à aratériser un milieu uniquement à l'aide de ses deux premiers

momentsstatistiques (Chilès&Delner[42 ℄).

Enpratique,onfaitsouventdeshypothèsesd'invarianedesmomentspartranslation.Parexemple,

on peut utiliser l'hypothèse de stationnarité d'ordre deux : la moyenne et les orrélations sont inva-

riantes par translation. Onsuppose alors que la struture spatiale de

ε

^{estdérite par safontion de}

ovariane

C ε : r ∈ R ³ → C ε (r) ∈ R

:

Cov

[ε(r ₁ ), ε(r ₂ )] = C _ε (r ₁ − r ₂ ) = σ ² _ε N (r ₁ − r ₂ ) , ∀ (r ₁ , r ₂ ) ∈ R ³ × R ³ ,

^(2.1)

où

N : r ∈ R ³ → N (r) ∈ R

est la fontion de ovariane normalisée de

ε

^et

σ _ǫ ²

^{est la variane}

de

ε

^{(le palieren} géostatistique), qui donne l'amplitude typique des utuations du hampaléatoire.

Enphysique,desutuations spatialesstationnaires sont souventappeléesutuations homogènes, le

termestationnaire étant réservé à ladépendane temporelle (Yaglom [231 ℄).

Soit

r = (x, y, z) ∈ R ³

où

(x, y)

^{sont les oordonnées} horizontales et

z

^{est laoordonnéevertiale.}

En nous plaçant dansle adre de l'hypothèse d'anisotropie géométrique (Chilès &Delner [42℄), qui

signiequeles lignesd'iso-ovariane sont desellipsesonentriques,

N ( · )

^{sedénitpar :}

N (r) = C ₀

s x ²

a ² _x + y ² a ² _y + z ²

a ² _z

!

,

^(2.2)

où

C ₀ : r ∈ R → C ₀ (r) ∈ R

est appelée ovariane standardisée,

a _x ∈ R ^∗ ₊

,

a _y ∈ R ^∗ ₊

et

a _z ∈ R ^∗ ₊

sont respetivement leslongueursde orrélation(portéesengéostatistique) horizontale, azimuthale et

vertiale. Ces longueurs de orrélation représentent les tailles aratéristiques des hétérogénéités du

hamp aléatoire (Matheron [147 ℄). Il est possible,sans diulté supplémentaire, d'étendre le modèle

(2.2)àdesstratiationsinlinéesenintroduisantunangleazimuthaletunanglepolaire(Wakernagel

[224 ℄).DesexemplesdemilieuxaléatoiresgéométriquementanisotropessontdonnésenFigure2.3.On

distinguebien lesdiérenteshétérogénéités en forme delentilles, e qui orroborenotre raisonnement

surlestaillesdeshétérogénéités vuespar lesondesetles longueursdeorrélations danslesdiérentes

diretionsspatiales. Pour prendreen ompte desondes d'angle d'inidene quelonque, Samuelides &

Mukerji [190 ℄, Iooss [92 ℄, Iooss et al. [94 ℄ et Kravtsov et al. [127 ℄ utilisent notamment à la plae de

(a _x , a _y , a _z )

^{les longueursde orrélationparallèle}

l _k

^ettransverses

l _⊥1

^et

l _⊥2

^{àladiretion prinipalede}

propagationde l'onde.

(a) (b)

Fig. 2.3 Exemples de hamps aléatoires 2D géométriquement anisotropes. (a) Champ de vitesse

d'ondes aoustiques dans l'eau (moyenne

c ₀ = 1509

^{m/s, ovariane gaussienne}

C ₀ (h) = exp( − h ² )

^,

h ∈ R

,

σ _ε = 4

^m/s,

a _x = 1

^m,

a _z = 0.25

^{m, pendage} d'anisotropie

θ = 11.5 ^o

^{, unités des axes en}

mètres).(b)Perturbationsdevitessedesondessismiques(ovarianeexponentielle

C 0 (h) = exp( −| h | )

devariane unité,

a _x = 0.1

^km,

a _z = 0.02

^km).

Cette prise en ompte de l'anisotropie a été longtemps oubliée dans la théorie de la propagation

d'ondes en milieu aléatoire. Elle a enn été onsidérée dans les ouvrages de Flatté et al. [65 ℄ et de

Rytov et al. [181℄ en distinguant les oordonnées spatiales dans les ovarianes et dans les densités

spetrales (mais sansutiliser la notation de la ovariane standardisée). Cette notation apparaît plus

expliitement dans Munk& Zahariasen [155 ℄ (ovariane gaussienne uniquement), Jannaud [109 ℄ et

Kon[124℄pourmodéliserrespetivementlesstratiationsoéanographiques,géologiquesetatmosphé-

riques.Mesreherhesensismiquepétrolière,oùdesbassinssédimentaires(dondesmilieuxfortement

stratiés)sontaratérisés,m'ontinitéàrentrerdanseadreplusréalistequeleadreisotrope.C'est

l'une des ontributions originales de mes travaux (Iooss [92 ℄, Iooss et al. [94 ℄) : l'introdution de la

ovariane standardisée dans les équations, notamment pour la dérivation et l'étude numérique des

domaines de validité de ertaines approximations en milieu aléatoire anisotrope (f Ÿ2.3.1 et Ÿ2.3.2).

Depuisquelquesannées, d'autres auteurs, notamment en sismologie,utilisent e modèled'anisotropie