Lestravauxprésentésdanse hapitre ont étéréalisésdurant messixpremièresannées d'ativités
dereherhe,entre1995et2001.Lesproblèmesévoquésrentrent dansleadregénéraldelaméanique
statistiquedesmilieuxontinus.Auvudesoutilsutilisés,estravauxpeuventêtreégalementonsidérés
aléatoiresà laphysique etauxproblèmes d'ingénierie.Cette multipliation desdomainessientiques
onernés a été l'une des diultés majeures à surmonter durant es travaux. Il est souvent diile
d'aorderd'unpointdevuetehnique,dessienesaussidiérentestellesquelaphysiquestatistique,
lagéostatistique,lagéophysique etlaméaniquedesuides.Ceiapuêtreréaliségrâeàdemultiples
éhangesetollaborationsave desherheursdotésd'unegrandeouverture d'esprit.Lesrésultatsque
j'ai obtenus montrent aussi que ette transversalité permet l'émergene d'idées neuves. Mes travaux
s'intègrentégalementdansl'ensembledesappliationsmodernesdesoutilsgéostatistiques(f.Bilodeau
et al. [22℄ pour une revue réente), dans lesquelles la modélisation des phénomènes physiques n'est
plus ignorée. Conernant lapropagation d'ondes en milieu aléatoire, mon prinipal apportrésulte de
l'introdutiondel'anisotropiestatistique(enpartiulierl'anisotropiegéométrique)danslestraitements
théoriquesetles simulations numériques.
Ces reherhesquiparaissaient séduisantesthéoriquement maispeuexploitablesilyadixans(ar
nonappliablessurdonnéesréellesdufaitdubruitdesdonnées)ontprisplusdesensesdernières
an-nées,notammentgrâeàl'améliorationdeertainsoutilsexpérimentaux.Auniveaudelaommunauté
internationale, quelquesauteurs ont poursuivil'étude ne desutuationsde temps detrajetd'ondes
aoustiques, aussi bien en sismologie (Baig [11 ℄, Saito [183℄), qu'en ontrle ultrasonore (Durgin &
Andreeva [61℄)et en oéanographie (Godin [78℄). En e qui onerne l'appliation de la tomographie
statistique(pas forément dénomméede la même manièrepar mes homologues) en sismique, onpeut
noterles travauxde Klime²[122 , 120 ℄, Kaslilaretal. [114 ℄ et Liuetal. [136 ℄.
Ainsi, j'entrevois quelquesperspetiveset extensionsde mes travauxqui pourraient s'avérer
inté-ressantes:
⊲
intégrationdelatomographie statistiquedanslagestiondesinertitudes enexplorationet produtionpétrolières (Thoreetal.[213 ℄, Geraets etal.[77℄);⊲
uniation de mes travaux en tomographie statistique ave eux de Kravtsov et al. [126℄(formulation enmilieu quasi-stationnaire ave utuationsvertiales de vitesse);
⊲
utilisationde laovariane desperturbationsdevitesseommeovariane a prioridansla tomographie lassique(Tarantola [208℄,Klime²[120℄, Veherin et al. [221 ℄);⊲
développement delatomographiestatistiquedansl'approximationmarkoviennede l'équa-tiond'ondeparaboliqueenmilieualéatoire(f.parexempleRytovetal.[181℄),adremoinsrestritifque l'approximationde Rytovde l'équationd'onde parabolique quej'aiutilisée;
⊲
dérivation de la variane des temps de trajet au seond ordre dans la théorie des rayonsomplexes ou théorie géométrique de la diration (f. Kravtsov[125 ℄ pour une revue
ré-ente surlesujet),extension naturelle de l'optiquegéométrique;
⊲
dérivation rigoureuse delaméthode de sommationdesfaiseauxgaussiens pourlasimula-tionnumérique delapropagation d'ondes aoustiquesdansles milieuxen mouvement. En
eet,dansIoossetal.[98℄jemebasesuruneméthodeheuristiqueenutilisant,dansle
sys-tèmedutraé derayonsdynamique, lavitesseeetivedu milieudénie danslaremarque
2.3.1.
La problématique abordée dans e hapitre se situe nalement dans le ontexte de la prise en
ompte des inertitudes en simulation numérique. Véritable l onduteur de e mémoire, elui-i
permet de relier mes deux périodes de reherhe. Les travaux présentés dans e hapitre onernent
plus spéiquement les inertitudes de modèles : négliger l'hétérogénéité des hamps de vitesse des
ondesrevientàsimplierlesmodèlesphysiques.Dansledomainedesinertitudes,onherhesouventà
développerdesapprohesgénériques(i.e.pouvants'adapteràungrandnombredeproblèmesphysiques
diérents).Les outilsque j'ai utilisésii ne sont nullement génériques ar,ayant identié leproblème
de l'hétérogénéité des hamps de vitesse, mon approhe a onsisté à les modéliser par des hamps
des outils génériques pour traiter les problèmes d'inertitude sur les variables d'entrée des modèles
numériques.
Etudes d'inertitudes de modèles
numériques
3.1 Introdution
La simulationnumérique désigne leproédé selon lequelon exéuteun programme surun
ordina-teuren vuede représenter unphénomène physique. La simulation numérique està présent onsidérée
omme la troisième forme d'étude des phénomènes, après la théorie et l'expériene. Comme une
ex-périene réelle, une simulationpeutêtre extrêmement oûteuse à élaborer (parexemple enpréparant
le jeu de données) et à réaliser (par exemple plusieurs semaines de temps de alul). De plus, elle
peut ne pasfournir de résultats (parexemple du faitde problèmes de onvergene dansla résolution
numérique de systèmesd'équations) ou produiredesréponses entahées de bruit(parexemple du fait
deladisrétisationinsusantedeshémasnumériques).Ilestd'ailleurssouventquestiond'expériene
numérique pourillustrerl'analogieentrelapratiqued'unesimulation 1
etlaonduited'uneexpériene
de physique. Au CEA, laR&D dansle domaine de l'énergie et de l'industrie nuléaire est fortement
demandeuse de modélisation et simulation numériques. La simulation numérique permet en eet de
mieux répondre aux grands enjeux que représentent, entre autres, la ompétitivité éonomique du
nuléaire (e.g. par une meilleure gestion des ressoures), la sûreté des installations nuléaires (e.g.
par une meilleure estimation des marges de fontionnement vis-à-vis de onditions aidentelles) et
la maîtrise des risques pour l'environnement (e.g. par une minimisation du volume des rejets). Pour
soutenirles reherhes dans esdomaines, des développementslogiiels importants ont eu lieu depuis
une trentaine d'années dansles diérentes physiques onernées. Citons par exemple la neutronique,
lathermohydraulique, lathermoméanique, laphysique desmatériauxetlesphénomènes detransfert
dansl'environnement.
Pour es problématiques d'étude etde oneption de systèmes omplexes à l'aide de modèles
nu-mériques préditifs, on ne peut pas se ontenter d'une simulation moyenne sur quelques as. Il est
souvent néessaire d'estimer préisément les inertitudes sur les préditions, de onnaître les risques
d'événements rares, voire d'optimiser les réponses sous ontraintes. Cei rend néessaire la
réalisa-tion d'évaluations probabilisées sur les sorties des modèles numériques. Par ailleurs, ladétermination
desvariables d'entrée qui induisent le plus d'inertitudes sur les réponses permetde dénir desvoies
d'amélioration pour réduire les inertitudes des préditions. Il peut, par exemple, s'agir d'améliorer
la onnaissane sur les variables d'entrée inuentes ou alors de modier le système pour éviter la
dépendane à es entrées inuentes. La phase de validation d'un ode (qui répond à la question de
l'adéquation du modèle à la réalité) doit également être partiulièrement soignée ar les utilisateurs
doivent pouvoirseservirdu ode dansunelarge gammede variationde sesentrées. Desméthodes
ro-bustessont alorsnéessairespourdénir lesdomainesdevariationdesvariablesd'entréedanslesquels
lemodèle représente laréalité. Par onséquent, lors de la phase de développement d'unmodèle dont
1
Dansla littérature, onemploie souvent, et de manière indiérente, les termes modèle numérique, simulateur,
programme,odedealul,ode etlogiieldealul.
développeurs pour les aider à omprendre leur modèle dans des domaines et des ongurations (des
entrées) jusque làinexplorés. Pour toutes es raisons, ledéveloppement d'outils génériquesd'analyses
d'inertitudeetd'analysesdesensibilitéestd'uneimportanefondamentale,aussibienpour lesphases
dedéveloppement, de validationetd'utilisation desodesde alul.
Le terme étude d'inertitude onerne don l'évaluation de l'inuene dessoures d'inertitudes
(modèle,donnéesd'entrée,...)surunmodèlereprésentant unphénomèneobservé.Phénomènesignie
iiunphénomène physique(e.g. évolutiondelatempérature degaines deombustiblenuléaire oude
latailledessuresdansuneuvederéateur)ouhimique,maispeutaussiêtreunmodèleéonomique
ouunmodèledeabilitéoudedisponibilité.Uneétuded'inertitudes'insritdansunontextedeprise
dedéision pouvant avoir diérents objetifs:
⋆
vérierunritère réglementaire (equiimposealors letype deformalismede modélisation des inertitudes et la nature des indiateurs mathématiques exprimant la variabilité desréponsesdu modèle);
⋆
faire unhoix parmi plusieurs options ou sénarios pour optimiser laoneption,l'exploi-tationou ledémantèlement d'unsystème selondes ritères (oût, risque,...);
⋆
valider, qualier ou alibrerun modèle;⋆
améliorerlaompréhensionduphénomène observé ousamodélisation(ontextede R&D).3.1.1 État de l'art
LaFigure3.1résumelesétapesd'uneétuded'inertitudeetlearatèreitératifdeladémarhedans
denombreusesappliations(deRoquigny[52 ,53 ℄,Sudret[206 ℄,deRoquignyetal.[54 ℄).L'ensemble
desétapes(ertainesoptionnelles) d'une telleétudesedéomposeen :
⊲
étape A,spéiationdu problème:dénitiondesobjetifs del'étude, du (des)modèle(s)utilisé(s), des quantités d'intérêt, des variables d'intérêt et des variables d'entrée jugées
inertaines;
⊲
étape B, quantiation des souresd'inertitudes : modélisation des distributions de pro-babilité desvariables d'entrée ou au moins dénitions de leurs bornes inférieures etsupé-rieures;
⊲
étape C, propagationd'inertitudes :évaluation de lavariabilitédes sorties du modèleou variablesd'intérêtinduiteparlesinertitudessurlesentrées.Cettevariabilitéestexpriméesous la forme de quantités d'intérêt. Le résultat de ette phase est fortement onditionné
aumodèle etàlamodélisationdessouresd'inertitudes;
⊲
étape C', hiérarhisation des soures d'inertitudes : évaluation de l'importane ou de la ontribution relative dessoures d'inertitudes sur laou les quantités d'intérêt, phaseap-pelée analyse desensibilité;
⊲
à l'issue de es étapes et selon les résultats obtenus, il est éventuellement néessaire de redénirleproblème àrésoudreetde revenir surles diérentes étapesde l'étude.Auxniveauxnumériqueetprobabiliste,lesoutilspermettantderésoudreesdiérentesétapessont
relativement aniens etbienonnus, ommepar exemple les méthodes adjointes(Caui [31, 32℄),les
méthodesdeMonteCarlo(Hammersley&Handsomb[81℄,Rubinstein[178 ℄)etlesméthodesabilistes
(Madsenetal.[139℄,Ditlevsen&Madsen[59℄).Laproblématiquedel'explorationomplètedeodesde
aluloûteuxaétéidentiéeplusréemment(MKayetal.[150 ℄,Saksetal.[182 ℄,Santneretal.[191℄,
Fangetal.[62 ℄,Kleijnen[117℄),etaéétraitéeommeuneproblématique deplaniationd'expérienes
et d'approximation pardessurfaesde réponse(appeléesaussimétamodèles). Cethèmede reherhe,
largement développé aux Etats-Unisdurant les trois dernières déennies, a énormément progressé en
Franedepuis une dizained'années, sousl'impulsion, entreautres, d'instituts dereherhe à voation
industrielle (CEA, IFP et EDF R&D notamment). Ces instituts ont nané une grande quantité de
thèses se onentrant sur un ou plusieurs aspets spéiques des études d'inertitude. Bien que non
exhaustive,larevue i-dessous permetd'identier lairement les diérentes thématiquesdu sujet:
⋄
desproblèmes de abilité et d'évaluation d'événements rares par des modèles numériques ont ététraités dansDevitor[57℄,Andrieu-Renaud [6℄,Baroth [15℄,Berveiller [20 ℄etCan-namela [35℄;
⋄
desproblématiques etnouvelles méthodologies d'analysede sensibilité de modèles ont été étudiéesetproposées dansJaques[106 ℄, DaVeiga[48℄,Petelet[167℄ etBriand [28 ℄;⋄
l'exploration(i.e.l'investigationnedesrelationsentresortiesetentrées)d'unodede al-uloûteux peutêtretraitéepar laonstrution d'unmétamodèle, fontionmathématiquerapideàévalueretpermettantd'approximerlaoulesréponsesduode.Jourdan[111℄,
Vaz-quez[219 ℄,Sheidt[195℄etMarrel[141℄sesontintéressésaumodèledesproessusgaussiens
(krigeage) omme métamodèle. Pour les odes de alul stohastiques (pour lesquels des
simulationsave lesmêmesentrées produisent desréponses diérentes),Zabalza-Mezghani
[232 ℄s'est intéressée quant à elleaux modèles linéairesgénéralisés joints(f3.5);
⋄
laplaniation d'expérienessimulées (méthodesd'éhantillonnage depointsdansl'espae des variables d'entrée) a été abordée de manière générale par Jourdan [111℄ et Feuillard[63 ℄, alors que des méthodes de planiation adaptative (prenant en ompte la sortie de
premiers aluls pour planierde nouveaux aluls) ont été développées par Sheidt [195℄
(pour laonstrutiond'unmodèledekrigeage) etGazut[72 ℄ (enutilisant desméthodesde
reéhantillonnage par bootstrap).
De par mon ativité transverse aux diérents domaines de la physique étudiés en ingénierie
nu-léaire, j'ai pu être assoié aux travaux de plusieurs dotorants, issus de diérentes unités du CEA,
dans haune de es thématiques et dans diérents domaines d'appliation :Claire Cannamela
(Dé-Mathieu Petelet (Département de ModélisationdesSystèmes et desStrutures) sur lasimulation
nu-mérique du soudage, Amandine Marrel (Département de Tehnologie Nuléaire) sur les modèles de
transfertshydrogéologiques, Julien Jaques, Vinent Feuillard et Benjamin Auder (dans mon
labora-toireauseinduDépartementd'ÉtudedesRéateurs)surdesproblématiquesdedosimétrieetdesûreté
desréateurs. Ces travaux de thèse,pour les laboratoires duCEA où ils ont eu lieu,ont onstitué et
onstituent enore d'exellentes bases de travail pour développer des méthodesinnovantes au travers
deleurs appliations.
3.1.2 Contributions
La prinipale soure d'originalité de mes travauxde reherhe pour letraitement desinertitudes
des odes de alul provient de ertaines appliations que j'ai eues à traiter et qui se sont avérées
relativement omplexes :
◮
non linéarités, interations fortes, voire disontinuités dans les modèles. J'ai ontribué audéveloppement d'uneméthodologiegénérique pour réaliserune analyse de sensibilitéd'un
modèle (f. 3.2 etFig. 3.2),sans supposer de onnaissane a priori sur sa régularité
(li-néarité/monotoniedelaréponse parrapportauxentrées,présenede disontinuités,...);
◮
modèles numériques oûteux en temps de alul de telle sorte qu'un nombre élevé desi-mulations (par exemple supérieur à
100
) n'est pas possible. Sur e thème, j'ai développéetétudié les propriétés théoriquesde nouveaux algorithmes,basés sur letirage stratié et
le tirage d'importane, pour estimer les quantiles élevés de sorties de odes de alul (f.
3.4.3et3.4.5).J'ai égalementdéveloppéunnouvelalgorithmepouraluleretsimulerdes
indiesde sensibilitéà partir dumétamodèle proessusgaussien (f.3.3.4);
◮
ode oûteux et nombreimportant de variables d'entrée inertaines(jusqu'à uneinquan-taine).Pourrésoudreeproblème,j'aidéveloppéunalgorithmepourajusterlemétamodèle
proessusgaussien lorsqu'ily apeu d'observations etplusieurs dizainesde variables
d'en-trée(f. 3.3.3);
◮
proessus stohastiques et hamps aléatoires en entrée des modèles. Pour traiter e typede problèmes,j'ai développé une approhe basée surun métamodèle spéique, le modèle
additif généralisé joint (f.3.5.1), qui m'apermis de proposerune méthode pour estimer
lesindies desensibilité (f.3.5.2).
Le problème standard, qui onsidère des variables d'entrée et une variable de sortie salaires, se
formulede lamanière suivante :
f : R d → R
X 7→ Y = f( X )
(3.1)où
X = (X 1 , . . . , X d )
estun veteur aléatoire ded
variables d'entrée duode,modélisépar une loideprobabilité,
f( · )
estlafontion du modèle(le ode de alul),potentiellement inonnue d'unpointde vueanalytique, etY
estlavariabledesortie dumodèle quiest par onséquent unevariablealéatoire.Leasd'unesortievetorielle,voirefontionnelle, neserapastraitédansleadrede emémoire,mais
onstitue l'un de mes nouveaux sujets d'intérêt. Dans les appliations, il est en eet ourant d'avoir
deshamps spatialisés ou des ourbes d'évolution temporelle en sortie des modèles (parexemple des
artes de onentrations d'un polluant). On voit dans l'expression (3.1) que, ontrairement au adre
statistique lassique, nous n'introduisons pas de bruit d'observation ar le modèle
f
est onsidérédéterministe.Nousverrons au 3.5omment modéliser unesituation diérenteonernant unodede
alulstohastique (exemple:unode reposant surun solveurde typeMonteCarlo).
Lasetionsuivante faitl'objetd'unesynthèsedesméthodesstatistiquesd'analysedesensibilitéles
plus utilisées.La troisième setion dérit mes travaux ave Amandine Marrel qui onernent la mise
en ÷uvre du modèle proessus gaussien sur des as industriels omplexes et l'étude des indies de
résultats obtenus ave JosselinGarnier 2
etClaire Cannamela onernant le problème de l'estimation
des quantiles élevés de odes de alul. Ce sujet est notamment motivé par des questions de sûreté
nuléaire où des ritères réglementaires, évalués à l'aide de odes de alul simulant des phénomènes
physiques relativement omplexes, doivent être respetés. Enn, la dernière setion s'attarde sur le
développementetl'utilisationdu modèleadditifgénéraliséjoint,réaliséen ollaborationaveMathieu
Ribatet