Modélisation stohastique de la turbulene

Les deux setions préédentes ont traité d'un hamp aléatoire salaire représentant dans notre

ontexte les utuations de la élérité des ondes. En milieu immobile (typiquement solide) et pour

desondesaoustiques,seule hampaléatoiresalaire estintroduitdansl'équationd'ondes.Dansdes

milieux uides, la élérité du son dépend de la température résultant de la turbulene thermique et

unerelationdireterelieesdeuxhampssalaires(éléritéettempérature).Enmilieuenmouvement,

unautre paramètre intervient dansl'équationd'ondes :la vitessedu uiderésultant de la turbulene

inématique.Il s'agit maintenant d'unhampaléatoire vetoriel

v(r) = (v ₁ (r), v ₂ (r), v ₃ (r)) ∈ R ³

(où

r ∈ R ³

).

Un hamp aléatoire vetoriel stationnaire (resp. intrinsèque) est déni par ses fontions de

ova-riane

C _ij ( · )

^(resp.variogrammes

γ _ij ( · )

^{) diretes etroisées (}

i, j = 1..3

^{) :}

C _ij (h) =

^Cov

[v _i (r), v _j (r + h)] , ∀ (r, h) ∈ R ³ × R ³ .

^(2.7)

statistiques la struture d'une turbulene inématique. Elle est basée sur une hypothèse de asade

d'énergie:quandlenombreritiquedeReynoldsestdépassé,desinstabilitésloalesseréent,detailles

plus faibles que l'éhelle aratéristique et indépendantes de l'éoulement géniteur. Puis, pendant le

tempsderetournement d'untourbillon,elui-iperdunefrationdesonénergieinétiquepourformer

untourbillondetaille inférieure(Frish [71℄).Laasadesepoursuitjusqu'àunetailled'hétérogénéité

où l'énergie sedissipe sous forme de haleur par dissipation visqueuse. Cette éhelle inférieure limite

l ₀

^{, appelée éhelle de} dissipation de Kolmogorov, dépend don de la visosité inématique du uide.

En supposant que la turbulene est intrinsèque et isotrope, Kolmogorov obtient la forme du spetre

d'énergie destourbillons à l'intérieur du domaine detransfert d'énergie

[2π/L ₀ , 2π/l ₀ ]

^où

L ₀ ∈ R ^∗ ₊

et

l ₀ ∈ R ^∗ ₊

sontles éhelles d'injetionet dedissipation d'énergie(Lesieur [132 ℄,Frish[71℄).

Ces arguments physiques permettent de déduire les strutures de ovariane adaptées à la

ara-térisation stohastique des milieux turbulents que l'on va utiliser dansla setion suivante. On utilise

usuellementladensitéspetrale

Φ : k ∈ R ³ → Φ(k) ∈ R

,transforméedeFourierdelaovariane

C( · )

^:

Φ(k) = 1

(2π) ³ ZZ Z

R ³

C(r) exp( − ik.r) dr , ∀ k ∈ R ³ .

^(2.8)

La Figure2.5 donne un exemple d'éoulement turbulent 2Ddont les utuations de vitesse isotropes

ontunedensitéspetraledeKolmogorov:

Φ _{v 1} (k) = Φ _{v 2} (k) = α k k k ^−11/3

^où

α ∈ R ^∗

+

^,

v ₁ ( · )

^et

v ₂ ( · )

^sont

les omposantes horizontale et vertiale (supposées indépendantes) des utuations de vitesse. Bien

entendu,espetreestsimplisteetdenombreuxtravauxbaséessurdeshypothèsesplusréalistesontété

réalisésdepuisladéterminationdeespetre(modélisantparexemplelesphénomènesd'intermittene,

f.Frish [71 ℄).

Fig. 2.5 Exemple d'éoulement uide bidimensionnel turbulent de vitesse moyenne

v ₀ = (10

^m/s,

0

^m/s

)

^. Perturbations de vitesse à spetre de Kolmogorov pour haque omposante de la vitesse :

L ₀ = 0.2

^m,

l ₀ = 0.002

^{m, éarttypes}

σ _{v 1} = σ _{v 2} = 5

^{m/s.Lesunités desaxes sont enmètres.}

Remarque 2.2.1 Dans la suite, on se limite à l'hypothèse de milieu gé, qui est valide pour un faible

nombre de Mah moyen (rapport de la vitesse moyenne du uide sur la élérité moyenne des ondes

aoustiques).Cettehypothèseestlargementrespetée danslesappliationsindustriellesquej'aiétudiées

(en hydraulique, f. Iooss et al. [98℄). En dehors de ette hypothèse, il faudrait prendre en ompte en

plusl'évolution temporelledu milieu lorsde la propagation de l'onde. Utiliser des modèles statistiques

évoluant ave letemps est un problème enore ouvert pour la propagation d'ondes en milieuturbulent

enmouvement. Engéostatistique,denombreux travaux sontd'oresetdéjàdisponiblessurla simulation

dehamps aléatoires spatio-temporels (Kyriakidis & Journel [130℄).

Dans ette setion, on présentetrois grandes familles de modèles paramétriques de ovariane ou

de variogramme utilisées dans les domaines abordés dans mes travaux (géostatistique, géophysique,

méanique des uides, modélisation de odes numériques). Les ouvrages de Chilès & Delner [42℄,

Cressie[44 ℄,Abrahamsen[2℄dressentunelisteplusomplètedetouteslesfontionsdeovarianeave

leurs avantages et leurs inonvénients. On note

d ∈ N ^∗

la dimension du support du hamp aléatoire (

d = 2

^ou

3

^en propagation d'ondes mais éventuellement supérieure en modélisation des réponses de odesdealul).

⋆

^Soient

r = (r 1 , . . . , r _d ) ∈ R ^d

et

(a i ) _i=1..d

^{les longueurs de orrélation du hamp aléatoire}

(

a _i ∈ R ^∗ ₊

),le modèleexponentiel généralisés'érit

N (r) = Y d

i=1

exp

− | r _i | a _i

p i

,

^ave

0 < p _i ≤ 2 ∀ i = 1 . . . d ,

^(2.9)

où

(p _i ) _i=1..d

^{sont les paramètres puissanes du modèle. C'est une ovariane fatorisée}

quin'est passtandardisable (pasd'anisotropie géométrique).Ce modèlepossède ungrand

nombre de degrés de liberté (deux fois plus de paramètres à ajuster qu'il y a de

dimen-sions), e quiexpliquel'intérêt qu'ilsusite danslamodélisation desréponses deodesde

alul.Deplus, ilalapropriétédesefatoriser,e quipermetdesimplierlesintégrations

multidimensionnelles.Pour modéliserdes milieuxaléatoires,les paramètres puissanesont

généralement priségaux entreeux:

p ₁ = . . . = p _d = p

^{(Diggle &Ribero[58℄).}

Si

p = 2

^{, on obtient une ovariane de forme} gaussienne, inniment dérivable à l'origine, qui modélise des milieux extrêmement réguliers et lisses (f. Fig. 2.3 (a) pour une

réali-sation d'un milieu à ovariane gaussienne). De par sa maniabilité dans les expressions

analytiques, ette fontion est l'une des plus populaires en physique et en géostatistique.

Des arguments théoriques (matrie de ovariane partiulièrement mal onditionnée)

dé-onseillent ependant son utilisation (Stein [203 ℄). Si

p = 1

^{,on obtient une ovariane de}

forme exponentielle, également très populaire dans les appliations (f. Fig. 2.3 (b) pour

uneréalisation d'unmilieu à ovariane exponentielle).

⋆

^{LemodèledeMatèrn(appeléeovariane K-Besselen}géostatistique) s'érit(Matèrn[146 ℄)

C ₀ (h) = 2 ^1−p

Γ(p) | h | ^p K _p ( | h | ) , ∀ h ∈ R ,

^(2.10)

où

p ∈ R ₊

est le paramètre puissane du modèle,

Γ( · )

^{est la fontion gamma et}

K _p ( · )

^est

lafontion deBesselmodiéeduseondtypeetd'ordre

p

^{.Cemodèlemodélisedesmilieux}

géométriquement anisotropes(Eq. (2.10)), maisil possède également une formulation

fa-torisée (Santner et al. [191 ℄). Le as

p = 0.5

^{orrespond à une ovariane} exponentielle, le as

p = 0

^{orrespond à un milieu dit de type fratal (ar il possède des propriétés}

d'auto-similarité)alors quelaovariane gaussienneestobtenue quand

p → ∞

^{.Le modèle}

de Matèrnest partiulièrement reommandé, notamment par Stein[203℄, aril permet de

modéliser des hamps aléatoires ave diérents degrés de régularité. La ovariane (2.10)

est

⌈ p ⌉ − 1

^foisdiérentiable, où

⌈ . ⌉

^{orrespond à lafontion partieentière}supérieure.

En physique, la ovariane de Matèrn est appelée ovariane de von Karman et provient

de onsidérations basées sur la théorie de Kolmogorov qui donne une forme analytique

au spetre d'énergie dans le domaine des nombres d'onde (f. Ÿ2.2.3). Le variogramme

standardisé dumodèle deKolmogorovs'érit (

γ 0 : r ∈ R → γ 0 (r) ∈ R

) :

γ ₀ (0) = 0 ,

γ ₀ (h) = α | h | ^{2 3} , ∀ h ∈ R

telque

l ₀ ≪ | h | ≪ L ₀ ,

^(2.11)

etave

α ∈ R ^∗ ₊

.Cevariogrammemodéliseorretementlesstruturesnesdelaturbulene dansl'intervalle

[2π/L ₀ , 2π/l ₀ ]

^{.Pour éviter la} singularité du spetre de Kolmogorov dans lesbassesfréquenesetintégrer unemodélisationorretedesgrossesstrutures,lespetre

de von Karman prend en ompte une fréquene de oupure. Il orrespond au modèle de

Matèrn (Eq. (2.10)) ave

p = 1/3

^{en 3D et}

p = 5/6

^{en 2D. Ce modèle est} fréquemment utilisé pour modéliserles milieuxinématiquement turbulents. Pour généralisere modèle

à la prise en ompte des hautes fréquenes (petites hétérogénéités), il est possible

d'in-troduire dans son spetre un ltre gaussien et ainsi obtenir le modèle de von Karman

modié. La fontion de ovariane assoiée senomme ovariane de Kummer arelle fait

intervenirlafontionhypergéométriquedeonuenedeKummer(Andrews&Phillips[5℄).

⋆

^{Lemodèle puissanen'estpas}stationnaire maisintrinsèque. Sonvariogrammestandardisé s'érit (Chilès&Delner[42 ℄)

γ ₀ (h) = | h | ^p , ∀ h ∈ R ,

^(2.12)

où

0 < p < 2

^{est leparamètre puissanedu modèle. Enfait, e}variogramme orrespondà eluid'unmouvementbrownien frationnaire.Cemodèleadespropriétésd'auto-similarité

aron nepeutpasyassoierd'éhelles aratéristiquesduphénomène.Eneet,si

a ∈ R ^∗

,

γ ₀ (h/a) = | a | ^−p γ ₀ (h)

^{.Il estdon invariant sousunhangement d'éhelle} d'observation. Le aslimite

p = 0

^{orrespond àl'eet de pépitepur (auune} orrélation) oùleproessus est un bruit blan gaussien. Pour

p = 1

^{,on obtient le}variogramme du mouvement brownien standard(

γ ₀ (h) = | h |

^).

2.3 Propagationd'ondesaoustiques hautesfréquenesenmilieu

aléa-toire

Diérentes méthodologies peuvent être mises en ÷uvre dans l'étude d'un phénomène physique

gouverné par des équations mathématiques : une approhe théorique, une approhe numérique et

une approhe expérimentale. L'idéal est de pouvoir onfronter les résultats de es trois approhes.

En propagation d'ondes en milieu aléatoire, l'approhe théorique onsiste à formuler les moments

statistiques du hamp d'onde en fontion de eux du milieu de propagation. Cela est possible dans

les as d'éole, e.g. ondes monohromatiques, espae libre sans obstale ni réeteur, ondes planes

ou sphériques, hamps moyens sans eet. La tehnique numérique, quant-à elle, onsiste à simuler à

l'aide d'un ode de alul la propagation des ondes à l'intérieur de diérentes réalisations (issues de

simulations) du milieu turbulent (déni par ses deux premiers moments statistiques). Le moyennage

nal (pour un grand nombre de simulations) des hamps d'onde obtenus permet de aluler leurs

aratéristiquesstatistiques,sansqu'ilyaitderelationexpliiteavelesmomentsduhampturbulent.

Finalement,l'approheexpérimentaleonsisteàpropager,demanièrenaturelleouartiielle,uneonde

desoureonnuedansunmilieuhétérogènedontononnaîtlastruturedeovariane(ou lespetre),

et àenregistrer lehampd'ondetransmis àl'aide d'undispositifd'aquisition adéquat.

Mes reherhes en propagation d'ondes en milieu aléatoire ont été guidées de manière assez

om-plémentaire par lestrois approhes suivantes:

⊲

^{d'unpointdevuethéorique,j'aioptépouruneapprohephysiquedesproblèmes,en}

m'ap-puyant sur une bibliographie fournie (prinipalement elle de Chernov, Tatarskii, Rytov,

Kravtsov et Ostashev). Une telle approhe permet d'avoir une bonne intuition des

phé-nomènes que l'on négligelors dessimpliations d'équations. Pour plusde rigueur surles

aspetsprobabilistesetmathématiquesdusujet,onpeutseréférerpar exempleàHoman

[88 ℄,Frish[70℄ouBal[13℄.J'aiobtenuquelquesrésultatsthéoriquesnouveaux,notamment

ave Philippe Blan-BenonetChristian Lhuillier. L'undeesrésultats(non linéaritédela

variane destemps en fontion de ladistane de propagation)a été par lasuite reproduit

demanière expérimentale par Andreeva &Durgin[4 ℄ (f. Ÿ2.3.4);

⊲

^{mes travaux en} modélisation numérique se sont prinipalement appuyés sur la méthode de résolution de l'équation d'onde aoustique par diérenes nies, méthode de référene

pour valideretétudier larobustessede résultatsthéoriques.Cette méthode desimulation,

partiulièrement lourde à mettre en ÷uvre, a été introduite par Frankel & Clayton [69℄

pour la propagation d'ondes en milieu aléatoire et je l'ai systématiquement utilisée pour

validermesdéveloppements.Àl'aidedelasimulation numérique,j'aiaussipurésoudreune

problématique industrielle posée parEDF etliée àladébitmétrie ultrasonore (f.Fig.2.2,

Ioosset al.[98 ℄).

⊲

^auniveau expérimental, en utilisant desdonnées d'exploration sismique pétrolière, j'ai pu onrmer dansIooss[92 ℄ etIooss etal. [97 ℄ l'un desphénomènes prédit par Touati [214 ℄,

à savoir la déroissane de la variane des temps de trajet ave l'oset (distane

soure-réepteur, f.Fig.2.1).

Dans ette setion, on note

X ∈ R ⁺

la distane de propagation de l'onde étudiée, et

l _k ∈ R ^∗

+

^et

l _⊥ ∈ R ^∗ ₊

les longueurs de orrélation (des utuations de vitesse de l'onde) parallèle et transverse à la diretion de propagation de l'onde. Pour pouvoir eetuer des statistiques sur un hamp d'onde

propagé, il faut qu'ilait traversé beauoupd'hétérogénéités, e qui senote en termed'approximation

physique par

l _k ≪ X .

^(2.13)

Pour simplier, on selimite dansla suite aux milieux 3D stationnaires et transversalement isotropes

(où

l _⊥ = l _⊥1 = l _⊥2

^{). Les résultats que l'on montre dans les setions suivantes peuvent être étendus}

sansréelles diultésaux milieuxanisotropesoù

l _⊥1 6 = l _⊥2

^{, auxmilieux} intrinqèques etmême quasi-stationnaires.

2.3.1 Approximation de Rytov parabolique

Mestravauxsesont onentrés surl'étudede lapropagationdesondesaoustiques. L'équation de

Helmholtz s'érit en espae libre (hors de la zone soure), dansun milieu 3D immobile et en régime

périodique (ondes monohromatiques de longueur d'onde

λ ₀ = 2π/k ₀

^ave

k ₀ ∈ R ^∗

+

^{appelé nombre}

d'onde)de lamanière suivante:

∆u(r) + k ₀ ² [1 + ε(r)]u(r) = 0 ,

^(2.14)

où

u : r ∈ R ³ → u(r) ∈ Z

est lehamp de l'onde monohromatique (dénipar une amplitude etune phase)et

ε(r) ∈ R

estune perturbation delalenteur(inversede lavitesse) auarré :

1

c ² (r) = 1

c ² ₀ [1 + ε(r)] ,

^(2.15)

ave

c(r) ∈ R ^∗ ₊

lehampde vitessedel'onde,

c ₀ ∈ R ^∗ ₊

une onstanteet

E [ε(r)] = 0

^{.L'équation (2.14)}

est une équation aux dérivées partielles linéaire de type elliptique, dont l'un des oeients est une

fontionaléatoire.Elle appartient donà lalassedeséquations linéairesstohastiques.L'équation de

Helmholtzn'est passoluble analytiquement et de multiples approximations ont don été développées

pour la résoudre, parmi lesquelles les méthodes intégrales (Kirhho), les méthodes de perturbation

(Born,Rytov),l'optique géométriqueetles méthodesnumériques. Dans mestravaux, jemesuis

prin-ipalement intéressé aux méthodes hautes fréquenes (approximation parabolique, approximation de

Rytovetoptiquegéométrique)quipermettent dedénirlanotiondetempsde trajet,quantité utilisée

dansmesappliations industrielles.

Onseplae danslerégime despetites perturbationsde lenteur (hétérogénéités faibles):

σ _ε = o(1) ,

^(2.16)

où

σ _ε ∈ R ₊

est l'éart type de

ε

^{. En physique, la ondition (2.16) s'érit}

σ _ε ≪ 1

^{. Il est possible de}

simplier l'équation (2.14) quand on s'intéresse uniquement au hamp d'onde primaire, en

approxi-mantlefrontd'ondesphériqueparunfrontparabolique.Cetteapproximation,nomméeapproximation

autour de la diretion prinipale de propagation à laquelle on s'intéresse. Dans lalittérature, elle est

aussionnue sous le nom de laméthode de l'équation parabolique (Tappert[207 ℄). En raisonnant en

milieu aléatoire anisotrope,j'ai montré:

Les opérateurs

∂ _k

^et

∆ _⊥

^{représentent} respetivement la dérivée partielleparallèle et lelaplaien trans-verse à la diretion depropagation (le repère est entré sur l'axe de propagation prinipal de l'onde).

Lesonditions asymptotiques du théorème(

λ ₀ ≪ l _⊥

^et

λ ₀ ≪ l _k

^{) illustrent le faitque l'onseplae}

dansunadrehautefréquene:leshétérogénéitéssontgrandesdevantlalongueurd'onde.Ladeuxième

onditionde (2.17),qui setraduitpar

p λ ₀ X ≪ l _⊥ ²

λ ₀

^{,orrespond à}l'approximation dufront sphérique par lefront paraboliquealors quelatroisième revient ànégliger lesdirationsarrières (ondition aui

amoinsd'inueneparrapportauxautres).Tatarskii[211 ℄etRytovetal.[181 ℄ontdonnéladeuxième

ondition de validité dansun milieu isotrope :

p λ ₀ X ≪ l ² _ε

λ ₀

^où

l _ε

^{est la longueur de orrélation des}

utuations de vitesse. Ma ontribution dans Iooss [92 , 91℄ a été de l'exprimer en milieu anisotrope

(enfaisantapparaîtrelalongueurdeorrélationtransverse

l _⊥

^{).J'aiégalement onrméladépendane}

de l'approximation parabolique à ette ondition grâe à des simulations numériques (méthode des

diérenesnies surl'équationd'onde).

Remarque 2.3.1 Si lemilieu est enmouvement, l'équation parabolique ontientdes termes

supplémen-taires faisantintervenir les omposantes du hampde vitesse vetoriel

v(r) ∈ R ³

du milieu. Ostashev [163℄montre que l'onpeut se ramener àl'équation (2.18)enremplaçant laperturbation

ε

^parune

per-turbation eetive

ε

e

= ε + 2v _k /c ₀

^,où

v _k

^{estla omposantede}

v

^{parallèle àla diretion depropagation}

prinipale del'onde. La ondition néessaire à ette approximation est la suivante :

l _⊥ λ ₀

2 σ ² _{v ⊥}

c ² ₀ = o(1) ,

^(2.19)

où

l _⊥

^{est la longueur de orrélation transverse des} hétérogénéités de vitesse et

σ _v ² _⊥

^{est la variane de}

la omposante transverse à la diretion depropagation du hampde vitessedu milieu.Cette ondition

permet de négliger l'inuene des omposantes transverses de la vitesse. Tous les résultats que l'on

montre dans la suite de e mémoire onernent des milieux immobiles (ave une ovariane

C _ε ( · )

^),

mais pourront être appliqués diretement aux milieuxen mouvement (ave une ovariane eetive) si

la ondition (2.19) est valide.

Pour faire apparaître le temps d'arrivée de l'onde à partir des équations (2.14) et (2.18), on

re-présente le hamp d'onde au moyen de l'exponentielle omplexe

Ψ : r ∈ R ³ → Ψ(r) ∈ Z ⁺

(Chernov [41℄):

u(r) = exp[Ψ(r)] ,

^où

Ψ(r) = log[A(r)] + ik ₀ c ₀ T (r) ,

^(2.20)

ave

A : r ∈ R ³ → A(r) ∈ R ^∗ ₊

et

T : r ∈ R ³ → T (r) ∈ R ⁺

l'amplitude et letemps d'arrivée del'onde.

Cette nouvelle représentation permet notamment de déoupler le terme en

ε(r)u(r)

^{de l'équation}

(2.18),e qui permettra d'obtenir deséquations exprimant les momentsde

u(r)

^.

que le hamp d'onde est faiblement déformé par les hétérogénéités qu'il renontre, de telle sorte que

l'on puissenégliger les termes d'ordre supérieurà un dansla sérieasymptotique de

Ψ

^(enpuissanes

de

ε

^{).Au premierordre, on obtient une solution approhée expliite de l'équationd'ondeparabolique}

(2.18) (Rytovetal.[181 ℄):

Théorème 2.3.2 Si la ondition

E [(λ ₀ ∇ ⊥ Ψ) ² ] = o(σ _ε )

^(2.21)

est respetée, alors, quand

σ _ε → 0

^{, la limite de}

u ^∗∗ (r) ∀ r ∈ R ³

solution de l'équation (2.18), si elle existe, tend vers

u ₁ (r)

^dont l'expression est

log[u ₁ (r)] = log[u ₀ (r)] − k ² ₀

L'approximation(2.22),nomméeapproximationdeRytov,estindispensablepourpouvoirtravailler

ave les temps d'arrivée. En eet, sa non validité implique que le hamp d'onde a subi une forte

atténuation (Bailly etal. [12℄)etqu'il estalors impossiblede releverles temps de trajetde l'onde sur

le signal devenu inohérent (Samuelides [189℄). Cei a été onrmé par simulations numériques dans

Iooss [92 ℄. La ondition (2.21) signie que le hamp d'onde est faiblement déformé sur des distanes

de l'ordre de la longueur d'onde. Un domaine de validité plus expliite que

E [(λ ₀ ∇ ⊥ Ψ) ² ] ≪ σ _ε

^{a été}

donnéen milieuisotrope(Shapiro etal.[198℄,Samuelides [189 ℄):

σ _ε ² Xl _ε ≪ λ ² ₀

^où

l _ε

^{estlalongueurde}

orrélationdesutuationsde vitesse.Grâeàdesargumentsheuristiques, j'aiétenduette ondition

de validité pour les milieux anisotropes dans Iooss [92 ℄ en la onrmant par simulations numériques

(méthodedes diérenesnies surl'équationd'onde).L'heuristique quej'ai proposéeest lasuivante:

Heuristique 2.3.1 En milieuanisotrope, la ondition(2.21) de validitéde l'approximation de Rytov

est équivalente à la ondition

σ ² _ε Xl _k

λ ² ₀ = o(1) .

^(2.23)

Cetteondition(2.23) a étédémontréeréemment par Saito [183℄.

L'approximation de Rytov parabolique (i.e. approximation de Rytov sur l'équation d'onde

para-bolique) onsiste don à onsidérer des ondes faiblement diratées vers l'avant de la propagation.

Ce domaine de validité est pleinement ompatible ave les appliations en sismique pétrolière où les

ordres de grandeur sont ohérents ave e régime (longueur d'onde déamétrique, hétérogénéités de

taillehetométrique, distanede propagation d'ordre kilométrique).

2.3.2 Optique géométrique

Dansmes travaux,je mesuis également intéresséà unadreplusrestritif quel'approximationde

Rytov parabolique, également plausible dans de nombreuses appliations, et qui permet d'aller plus

loinau niveau analytique. C'estledomaine del'optique géométrique,adretrèshautefréquenede la

propagation des ondes dans lequel plus auun phénomène de diration n'est pris en ompte, valide

sousles onditions

Le développement dans l'équation de Helmholtz (2.14) de l'amplitude de l'onde (f. Eq. (2.20)) sous

laformed'unesériede Taylorproportionnelle àlalongueur d'onde(expansion deDebye,f.Kravtsov

[126 ℄ pour les milieux immobiles et Ostashev [163℄ pour les milieux en mouvement) onduit à un

pluspartiulièrement arne faisant intervenir queletemps de trajetdel'onde :

[ ∇ T (r)] ² = 1

c ² ₀ [1 + ε(r)] .

^(2.25)

Cette équation est onnue sous le nom d'eikonale et dérit le prinipe de Fermat dans un milieu

hétérogène. Elle est valide sousl'hypothèse d'absene de diration, i.e.quand lataille transverse de

lazone de Fresnel du front d'onde est petite devant la taille transverse des hétérogénéités (Kravtsov

[126 ℄).Cette onditions'érit en milieu aléatoire anisotrope (Samuelides &Mukerji [190 ℄)

√ λ ₀ X

l _⊥ = o(1) ,

^(2.26)

et a été onrmée dans Iooss [92, 91℄ par simulations numériques (diérenes nies sur l'équation

d'onde).Par rapport àlaondition hautefréquene(2.24), laondition(2.26) sereérit

λ 0

L'équation de l'eikonale (2.25) n'est pas analytiquement soluble. Des résolutions numériques très

puissantes ont étédéveloppées, notamment ellebasée surlathéoriedes rais quipermet de visualiser

les trajetoires de l'onde qui transportent son énergie. Les tehniques basées sur letraé de rais sont

beauoup moins oûteuses en temps de alul que la résolution de l'équation d'onde omplète. Par

ontre,lathéoriedesrais n'estplusvalide lorsde phénomènessingulierstels quelesaustiques(zones

de onvergene des rais) et les zones d'ombre (zones d'absene de rais) (Kravtsov [126 ℄). Il a été

démontrédansKulkarny&White[129℄etWhite[227 ℄ quelesaustiques apparaissent àdesdistanes

de propagation de l'ordrede

l _ε σ _ε ^−2/3

^{en milieu isotrope (où}

l _ε

^{représentela taille des}hétérogénéités).

Ceiaétéobservénumériquementpardenombreuxauteurs,parmilesquelsBlan-Benonetal.[23 ,25 ℄

et Samuelides &Mukerji [190 ℄.En milieu aléatoire anisotrope, Samuelides &Mukerji [190 ℄ supposent

que'est lataille transverse deshétérogénéités

l _⊥

^{qui joue un rledans laondition de validité de la}

théoriedesrais.

Pour résoudre analytiquement l'équation non linéaire (2.25), une méthode de perturbation est

lassiquement utilisée en développant

T

^{en série}asymptotique en puissanes de

ε

^.À l'approximation auseond ordre, onobtient (Boyse &Keller [27℄) :

T(r) = X

Usuellement,seulslesdeuxpremiers termesde etteéquation sontutilisés(approximationaupremier

ordre).Quelquesauteurssesontependantaussiintéressésauxeetsdestermesdudeuxièmeordre.J'ai

puexpliiterdansIoossetal.[94℄laonditiondevaliditédeetteapproximationenmilieuanisotrope,

enmontrant :

tiques).On voit quelaondition (2.29), qui équivaut àune limite surla distanede proopagation de

2.3.3 Moyenne des temps de trajet au seond ordre : le veloity shift

Queesoit dansl'approximation deRytovparabolique(Eq. (2.22))oudansl'optiquegéométrique

(Eq.(2.28)),l'espéranedutermeaupremierordreestnullear

E [ε(r)] = 0

^{.Pourobtenirune}

approxi-mationnede lamoyenne du tempsde trajet,ilfaut don aluler l'espéranedu termeaudeuxième

ordre.Ceteetdudeuxièmeordresurlestempsdetrajetn'apasétéévoquédanslalittératurejusqu'à

l'utilisation des tehniques de traé de rais etde simulation numérique en sismologie dansles années

1980(Mülleretal.[154 ℄,Petersen[168 ℄).Parlasuite,lesgéophysiiensl'ontprinipalementaratérisé

en terme de veloity shift, 'est-à-dire de déviation de la vitesse eetive d'un milieu (i.e. la vitesse

vueparl'onde)par rapportàlavitessemoyenne statistique. Àl'approximationdu deuxièmeordre, la

vitesseeetive

v

e

où

T(r)

^{estletempsd'arrivéed'uneondededistanede}propagation

X

^,

T ₁ (r)

^et

T ₂ (r)

^{sontlestermes}

dupremierordreetseondordredansledéveloppementasymptotiquede

T (r)

^{(deuxièmeettroisième}

dupremierordreetseondordredansledéveloppementasymptotiquede

T (r)

^{(deuxièmeettroisième}

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