Lesphénomènesdepropagationd'ondesinterviennentdansunegrandequantitédedomaines
sien-tiques et peuvent être parfois assoiés à des enjeux industriels importants (exploration pétrolière,
téléommuniations,életronique,ontrle nondestrutif).Lorsquelemilieutraversé parlesondesest
hétérogène, inonnu et trop omplexe pour être modélisé de manière déterministe, il est ourant de
le modéliser par un hamp aléatoire. Les aratéristiques du milieu (e.g. raideurs élastiques, densité,
température, vitesses du vent, ...) en haque point sont don des variables aléatoires qui sont
orré-lées spatialement. Dans e adre, le hamp d'onde devient lui-même un proessus aléatoire et on le
aratérisepar samoyenne, saovariane, voire sesmoments d'ordre plusélevé.
2.1.1 État de l'art
Introduite par des astrophysiiens (Chandrasekhar [38℄), la théorie de la propagation d'ondes en
milieu aléatoire s'est fortement développée dans les années inquante etsoixantegrâe à l'éole
phy-siienne russe (Chernov [41 ℄, Barabanenkov et al. [14 ℄), puis a été onsidérablement enrihie par les
apports des mathématiiens (Keller [115 ℄, Frish [70 ℄, Ash et al. [9 ℄, Papaniolaou [164℄, Fouque et
al. [67℄). Son développement a été porté par lamultipliité de ses domaines d'appliation, parmi
les-quels on peut iter l'életromagnétisme (Ishimaru [105 ℄), la radiophysique (Tatarskii [211 ℄, Rytov et
al. [181℄), l'aoustique atmosphérique (Ostashev [163 ℄), l'aoustique marine (Usinski [218℄, Flatté et
al. [65 ℄), l'optique et les téléommuniations (Andrews & Phillips [5℄), la surveillane des réateurs
nuléaires (Fiorina [64 ℄), la sismologie (Sato & Fehler [193 ℄), la sismique pétrolière (Jannaud [108℄,
Ioossetal.[97℄),laphysique desplasmas,l'hydrodynamique,l'imagerie médiale,....Danshaunde
esdomaines d'appliation,lesparamètres d'hétérogénéité oudeturbulenedépendentdelanatureet
de l'environnement (les onditions aux limites) du milieu de propagation. Par exemple, la sismologie
s'intéresse aux onstantes élastiques et à la densité des rohes. En oéanographie, la température, la
salinité etla pression de l'eau modient la élérité desondes alors que dans l'atmosphère, e sont la
température etl'humidité de l'air quisont onernées. Danse hapitre, esparamètres spatialement
hétérogènes seront modélisés par deshampsaléatoires ontinus (Cressie [44 ℄).
Mathématiquement, les méthodes utilisées reposent dans leur grande majorité sur la même idée
de base:onidentieun paramètre d'éhelle
ε
,puis, on utilise soit uneméthode de perturbation (siε
est petit) pour obtenir une équation simpliée que l'on moyenne ensuite, soit une méthode d'analyse
stohastique qui onsiste à moyenner l'équation stohastique d'abord et résoudre les équations des
momentsensuite.Lehoixde
ε
dépendnotammentdelataillel ε
deshétérogénéités.Diérentsrapports de ette taille à la longueur d'onde dominanteλ 0
de l'onde onsidérée onduisent à trois régimesdiérentspour laphysique de lapropagation:
⋄
le adre des basses fréquenes est elui où la taille aratéristique des hétérogénéités estnettement plus petite que la longueur d'onde (
l ε ≪ λ 0
). Il n'est pas possible d'étudierles interations de l'onde ave haune des hétérogénéités et le milieu de propagation est
alors remplaé par unmilieu tifhomogène appelé milieu eetif. La diulté onsiste à
obtenir les propriétés du milieu eetif par moyennage despropriétés desonstituants du
milieuinitial. Dansleas1D(milieustratié), desapproximationsde typediusion (dans
la théorie des proessus stohastiques) permettent d'obtenir des résultats théoriques à la
limite
l ε → 0
(f. Fouque etal.[67℄ pour l'ouvrage leplus réent sur esujet);⋄
quandleshétérogénéitéssontdetailleomparableàlalongueurd'onde(adredesmoyennes fréquenes,l ε ∼ λ 0
),desphénomènestrèsomplexespeuventseproduire:dirationsmul-tiples,rétro-dirations,atténuation,résonane,loalisation,...C'estleasleplusdiile
sientiquement ar les hétérogénéités ne sont pas assez petites pour pouvoir être lissées
(ommedanslathéoriedu milieueetif),etpasassez grandespourpouvoirêtre
onsidé-réesonstantessurladistaned'unelongueurd'onde(ommedansl'optiquegéométrique).
Lathéoriedu transfertradiatiffournit deséquations detransportde l'énergiedel'onde et
donne des indiations sur le omportement moyen d'une onde dans un milieu hétérogène
(Ishimaru [105℄, Sato & Fehler [193 ℄). Elle permet aussi d'expliquer le phénomène de la
loalisation :à ause desdirations multiples etarrières dansune zone fortement
strati-ée,l'énergied'uneondedéroîtexponentiellement,etpeutresteremprisonnéeàl'intérieur
d'unezonedu milieude propagation(Papaniolaou [164 ℄,Fouque etal. [67 ℄);
⋄
quand la taille de hétérogénéités est supérieure à la longueur d'onde (l ε ≫ λ 0
), e sontles phénomènes de transmission etde diration faible qui gouvernent la propagation. Le
hampd'ondeest faiblement déformé parhaquehétérogénéité et,enseplaçant en régime
périodique (ondemonohromatique), les notions d'amplitude etde phase sont onservées.
On se restreint alors souvent à l'étude des utuations des amplitude et temps de trajet
del'onde,quantitésquisontfailementmesuréessurlessismogrammes.Danserégime,et
notamment danssonaslimitequi est l'optiquegéométrique,les résultatsthéoriquessont
nombreuxpourdesmilieuxaléatoirespouvantêtrerelativementomplexes(statistiquement
anisotrope, loalement stationnaire, quasi-stationnaire, f 2.2.2). Par exemple, les deux
premiers momentsdesamplitudes etdestemps de trajetdesondespeuvent être exprimés
en fontion des deux premiers moments du hamp de vitesse des ondes (Chernov [41℄,
Tatarskii [211 ℄, Ishimaru [105 ℄, Rytov et al. [181 ℄, Ostashev [163 ℄). C'est dans e adre
hautes fréquenes que mes travaux se sont insrits, du fait prinipalement de leurs liens
ave l'étude destemps detrajetdesondes.
2.1.2 Contributions
Mestravauxdereherhesesontintéressésàlathéoriedelapropagationd'ondeenmilieualéatoire
d'un point de vue pratique, pour aborder suessivement deux problèmes industriels, en exploration
sismiquepétrolièreeten ontrle nondestrutif par ultrasons, détaillési-dessous.
1. La sismique réexion est employée en prospetion pétrolière depuis plusieurs déennies pour
donnerune image de la struture d'unbassinsédimentaire. Elle onsisteà réer artiiellement
danslesous-sol(resp. en mer) un ébranlement (resp. une onde de ompression)et àenregistrer
lesréponsesdu milieuendiérentsréepteurssituésen surfae(Fig.2.1). Onobtientune bonne
ouverture du sous-sol en répétant et en déplaçant le dispositif le long du terrain examiné. A
partirdes signauxsismiques etde la vitessede propagation des ondes, on tentede reonstituer
uneartedusous-sol.Pourefaire,uneétapepréalabled'inversionduhampdevitessesismique
àpartirdestemps de trajetdesondes estnéessaire. Ils'agit làd'unproblèmeinverse malposé
(Tarantola [208 ℄) qui peut être traité par des méthodes de régularisation (proessus nommé
tomographie).
Malheureusement, les méthodes sismiques utilisées en pratique ont des limites au niveau de la
geologique interface Sous-sol
EXPERIENCE DE SISMIQUE REFLEXION O
SOURCE
R 1 OFFSETS x R 2 3 Surface R
Fig. 2.1 Expériene de sismique réexion 2D. L'oset
x
est la distane entre la soureO
et leréepteur
R
.résolutionspatialeduhampdevitessequ'ellessontsuseptiblesdearatériser(Thore&Juliard
[212 ℄, Williamson & Worthington [229 ℄). Basées sur l'approximation de l'équation d'ondes par
l'optiquegéométrique,esméthodesdéterministesinterprètent mallesévénementsprovoquéspar
detroppetiteshétérogénéitésdevitessequiontunimpatnonnégligeablesurlestempsd'arrivée.
Au débutdes années 1990,Matheron [148 ℄ s'estintéressé à e sujet de reherhe en modélisant
de manière probabiliste es hétérogénéités de vitesse. Au sein du Centre de Géostatistique de
l'ÉoledesMines deParis,Alain Galli apoursuiviestravauxen dirigeant suessivement trois
thèsessur lesujet (de1992 à2002). Mestravauxde thèse(Iooss [92℄), qui ont faitsuite àeux
d'une première thèse (Touati [214 ℄), ont ontribué à fournir une proédure pour quantier
sta-tistiquement les hétérogénéités de vitesse sismique (f. 2.4). Ces résultats de reherhe, enore
non exploités de manière industrielle en exploration pétrolière, ont été poursuivis par quelques
géophysiiens etsemblent débouhersurdes appliations(Kaslilar etal. [114 ℄).Au ours de es
travaux,j'aiégalementobtenu denouveauxrésultatssurlesonditionsdevaliditédesdiérentes
approximations (Rytov, parabolique, optique géométrique) qui permettent d'exprimer
analyti-quementlestemps detrajetdesondes(etleurs moments)enfontiondeperturbationsdevitesse
statistiquement anisotropes(f. 2.3).
2. La deuxième problématique industrielle que j'ai abordée onernait les mesures de débit dans
les tuyauteries industrielles (de liquide ou de gaz) qui sont ouramment réalisées à l'aide de
tehniques ultrasonores. C'est le as par exemple sur ertains iruits des réateurs nuléaires
à eau pressurisée. Les tehniques ultrasonores de débitmétrie présentent l'avantage d'être non
destrutives, non intrusives, failes à utiliser et possèdent un temps de réponse extrêmement
ourt (Lynnworth [138 ℄). Certaines sont basées sur la diérene de temps de trajet entre deux
ondes ultrasonores propagées dans le sens et à ontresens du ux (Fig. 2.2). Si le poids des
inertitudes prépondérantes est onnu, elles liées aux prols (thermiques et inématiques) et
auxturbulenes (thermiques etinématiques)du milieu lesont beauoup moins.
En ollaboration ave Philippe Blan-Benon 1
etChristian Lhuillier 2
, e sujet adonné lieu àun
travailamont surl'analysedesutuationsstatistiquesdestemps detrajetetaudéveloppement
deméthodesdesimulationdelapropagationd'ondesenmilieuenmouvement.Lerésultatleplus
marquant resultedeladémonstration analytiquedelanon linéaritédelavariane destempsau
deuxièmeordre,observéedansdessimulationsnumériquespréédemmentàmestravauxetquia
étéonrméeexpérimentalement depuis(f. 2.3).Les outilsnumériquesdéveloppésont permis
ensuite d'évaluer les inertitudes (dues aux turbulenes thermique et inématique de l'eau) sur
1
LaboratoiredeMéaniquedesFluidesetd'Aoustique,CNRS/ÉoleCentraledeLyon
2
CEACadarahe,Diretiondel'ÉnergieNuléaire