Appliation aux modèles à entrée fontionnelle

Les résultats i-dessus (Eqs. (3.80) et (3.81)) sont relativement simples mais nouveaux. Iooss &

Ribatet[101 ℄ les illustrent surlafontion test nomméeWN-Ishigami,quifaitintervenir unparamètre

d'entrée fontionnelque l'ontraite ommeunparamètre d'entrée inontrlable :

Y = f(X ₁ , X ₂ , ε(t)) = sin(X ₁ ) + 7 sin(X ₂ ) ² + 0.1[max

t (ε(t))] ⁴ sin(X ₁ )

^(3.83)

où

X _i ∼ U [ − π; π]

^pour

i = 1, 2

^et

ε(t)

^{est un bruit-blan (un proessus} stohastique i.i.d gaussien de loi

N (0, 1)

^{), disrétisé sur}

100

^{pas de temps. Il représente le paramètre d'entrée fontionnel dont}

on souhaite estimer l'indie de Sobol total. Pour ajuster les modèles joints, un éhantillon aléatoire

(X ₁ , X ₂ , ε(t))

^{de taille}

n = 500

^{est généré,etleveteur de sorties} orrespondantes estalulé à l'aide dela fontion(3.83). Lesrésultatsobtenus sontles suivants:

⋆

^{unGLMjoint(de typepolynmialdedegré}

4

^{)estonstruitenutilisantlesoutilsd'analyse}

de déviane etde testsde Student pour onserveruniquement les termes expliatifs dans

lesomposantesmoyenne etdispersion. La omposantemoyenne obtenues'érit :

Y _m = 1.77 + 4.75X ₁ + 1.99X ₂ ² − 0.51X ₁ ³ − 0.26X ₂ ⁴ .

^(3.84)

Ladévianeexpliquéedee modèlevaut

D _expl = 73%

^{etsonoeient de}préditivité(par rapportàlafontionWN-Ishigami)alulésurunéhantillon testvaut

Q 2 = 70%

^.Pourla

omposantedispersion,auuntermesigniatifnepeutêtreretenuetunesimpleonstante

demeure :

log(Y _d ) = 1.97 .

^(3.85)

Le GLM joint se résume don à un GLM simple et le aratère hétérosédastique de la

fontionWN-Ishigami (dûà l'interation entre

ε(t)

^et

X ₁

^{) n'est pasretrouvé;}

⋆

^{unGAMjoint est onstruiten utilisant lestests deStudent (pour lapartie} paramétrique) etlesstatistiques de Fisher(pour lapartie nonparamétrique) pour onserveruniquement

lestermes expliatifs :

Y m = 3.76 − 5.54X 1 + s 1 (X 1 ) + s 2 (X 2 ) ,

log(Y _d ) = 1.05 + s _d1 (X ₁ ) ,

^(3.86)

où

s ₁ ( · )

^,

s ₂ ( · )

^et

s _d1 ( · )

^{sont des termes de splines de} régression. La déviane expliquéede e modèle vaut

D _expl = 92%

^{et son oeient de} préditivité (par rapport à la fontion

WN-Ishigami) alulé sur un éhantillon test vaut

Q ₂ = 77%

^{, e qui montre une nette}

amélioration parrapportau GLMjoint.Deplus, laexibilité duGAMa permis de

déte-ter

X 1

^{ommevariable expliative de la omposante} dispersion, e qui orrespond bien à l'interation entre

X ₁

^{etleparamètre fontionnel}

ε(t)

^{danslafontion} WN-Ishigami.

Les deuxmodèles joints sont alors utilisés pour estimer les indiesde Soboldesvariables d'entrée

(Eqs(3.80)et(3.81))parMonteCarlo(f.Ÿ3.2.4).LaFigure3.5donnelesrésultatsdeesestimations.

Diérents éhantillons d'apprentissage pour le modèle joint sont simulés an d'obtenir la dispersion

des estimations des indies orrespondant à la modélisation par modèles joints. On note que pour le

GAM joint, l'intervalle interquartile de haque boxplot ontient la valeur de référene, e qui n'est

pas le as pour le GLM joint. Cei montre l'intérêt du GAM joint par rapport au GLM joint, mais

plusgénéralement d'unmodèlenonparamétrique par rapportà unmodèleparamétrique pourajuster

des fontions hahutées. Finalement, les gures du bas montrent que l'estimation de

S _{T ε}

^{à l'aide}

du oeient de préditivité

Q ₂

^de

Y _m

^{(gure de droite) est nettement plus préise qu'à l'aide de}

l'espéranedelaomposantedispersion(guredegauhe).Ceiillustrelameilleurepréisionquel'on

asurl'estimation de laomposante moyenne quesurl'estimation de laomposante dispersion.

Joint GLM Joint GAM

0.40 0.50 0.60 0.70

S ₁

Joint GLM Joint GAM

0.00 0.10 0.20 0.30

S ₂

Joint GLM Joint GAM

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

S _{T ε}

Joint GLM Joint GAM

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1−Q 2

Fig. 3.5 Boxplots des estimations d'indies de Sobol à l'aide des GLM joint et GAM joint pour

la fontion WN-Ishigami (taille de la base d'apprentissage

n = 500

^{), obtenues à l'aide de}

100

^bases

d'apprentissage diérentes. Pour haque indie, laligne horizontale estlavaleur de référenealulée

diretement surlafontion WN-Ishigamipar MonteCarlo.

L'approhe par modèle joint a étéappliquée ave suèssur deuxproblématiques industrielles où

lesparamètres inontrlables orrespondaient àdesentrées fontionnelles :

⊲

^unproessus stohastique temporel

ε(t)

(bruit-blan) modélisant l'inertitude surla puis-sane(évoluant ave le temps)dansunode desimulation del'irradiation duombustible

enréateur (Iooss &Ribatet [101℄);

⊲

^{un hamp aléatoire spatial}

ε(r)

^{modélisant la} perméabilité d'une ouhe hydrogéologique dansunode simulant letransfert deontaminants danslessols(Ioosset al. [102 ℄).

sensibilité de odesde alul ave entrées fontionnelles. Celles-ipeuvent apporter desinformations

supplémentaires àelles donnéespar lamodélisationjointemaisont desonditions d'utilisationassez

sévères:

⋄

^{Pour résoudrele problèmedesvariables d'entrée orrélées dans}l'estimation desindiesde Sobol, Jaquesetal.[107 ℄ proposent d'utiliserles indiesdesensibilité multidimensionnels

dénis par Sobol[201 ℄. Chaquegroupe de variables d'entrée orrélées est examiné omme

un seul maroparamètre. Il est également possible de onsidérer une entrée fontionnelle

ommeunmaroparamètre.LesindiesdeSobolpeuvent alorsêtreestimésenutilisantles

algorithmesbaséssurdestiragesMonteCarlosimples.Malheureusement, etype

d'éhan-tillonnage,quinéessiteplusieurs milliersd'observations,rendette méthodeextrêmement

oûteuse en nombre d'évaluations du ode de alul etn'a pas pu être envisagée surmes

appliations.

⋄

^{Tarantolaetal.[210℄ proposent deremplaerl'entrée} fontionnelleparunparamètre trig-ger (qui signie gâhette)

ξ ∼ U [0; 1]

^{qui gouverne la simulation ou non du proessus}

stohastique. Lors des simulations de Monte Carlo, si

ξ < 0.5

^alors

ε = 0

^{, sinon}

ε

^est

simulée.L'indie desensibilitéde

ξ

^{permetdon de quantier l'inuenedu proessus}

sto-hastique sur la variable de sortie. Par rapport à la méthode préédente, la méthode de

Tarantola permet de aluler les indies de Sobol ave tout type d'éhantillonnage (e.g.

Monte Carlo simple, FAST, quasiMonte Carlo, Random Balane Design),e qui permet

de l'envisager pour des odes moyennement oûteux. Cependant,

ξ

^{reète uniquement la}

préseneoul'absenede

ε

^.Var

[ E (Y | ξ)]

^{ne quantiedon pasorretement la}ontribution delavariabilité del'entréefontionnellesurlavariabilitéde laréponse

Y

^{.Iooss&Ribatet}

[101 ℄ ont illustréei surun exemple jouésimple.

⋄

^{Réemment,Busbyetal.[30℄ ont proposéde déomposer l'entrée} fontionnelle(un hamp aléatoire gaussien dans leur appliation) dans une base de fontions (Karhunen-Loève)

pour réaliser l'analyse de sensibilité sur les omposantes prinipales de la déomposition.

Le nombre restreint de omposantes onservées (une trentaine) permet aux auteurs de

onstruire unmétamodèlePG àl'aide de

200

simulations duode de alul.Ainsi, par si-mulationsMonte Carlosure métamodèle, desindiesde Sobolsontobtenus pour haque

oeient des omposantes de la déomposition de Karhunen-Loève du hamp aléatoire.

Cette méthode est don partiulièrement rihe en terme de résultats. Elle permet

égale-ment,ontrairement auGAMjoint,d'obtenir desindiesde sensibilitépour haque entrée

fontionnelle s'il y en a plusieurs. Elle est subordonnée ependant à la faisabilité de la

déomposition de l'entrée fontionnelle ave un faible nombre de fontions de base, qui

impatediretementladimension

d

^{duproblème. Parexemple,elle nepeutpasêtre}

appli-quée surle problème de Iooss &Ribatet [101 ℄ où l'entrée fontionnelle est un bruit-blan

(disrétisé sur

3558

^valeurs).

Pour l'analyse de sensibilité, les avantages de l'approhe par modélisation jointe sont don sa

généralité,sapréisionetlefaibleoûtennombred'évaluationsdumodèlequ'ellenéessite.Parontre,

elle ne proure pas pour l'instant toutes les informations dont on souhaiterait disposer. Par ailleurs,

l'approhe par modélisation jointe fournit un métamodèle que l'on peut utiliser pour la propagation

d'inertitudes (Zabalza-Mezghani[232 ℄), pour laplaniation robuste d'expérienes(Bates etal. [17℄)

oupour larésolution de problèmes d'optimisation. Tous esthèmesonstituent desaxes de reherhe

ouverts.

3.6 Conlusion

Mes sixpremières annéesde reherhe au CEA s'ahèvent don ave e hapitre. Durant les trois

premières années, je me suis essentiellement onsaré à des problèmes d'ingénierie nuléaire, relatifs

sein des projets de ma diretion, des appliations néessitant des eorts de reherhe de ma part,

soit du fait de mon inaptitude initiale à les résoudre, soit du fait d'un problème non traité dans la

littérature.Parexemple,j'aiommenéàm'intéresseràlathématiquedesmétamodèles(etdonàelle

desexpérienesnumériques)enrenontrant desappliationsnéessitantl'utilisation deodesdealul

oûteux.Au vu de sonomniprésene danslalittérature etdu fait de maformation en géostatistique,

le adre du krigeage m'a alors partiulièrement intéressé et j'ai ÷uvré pour le rendre appliable sur

desmodèles relativement omplexes. Par ailleurs,l'analyse etlamodélisationstatistiques deodesde

alulstohastiquessontdessujetsenorepeuabordés,surlesquelsj'aiessayé d'apporterde premiers

élémentsde réponse.

Dansledomaine delastatistiqueappliquée,l'environnement logiielR (RDevelopment Coreteam

[172 ℄)est l'un des adres privilégiés de développement informatique et de ollaboration pour la

om-munautéinternationale. Laplupart desméthodesstatistiquesquej'aiprésentées danse hapitresont

ainsidisponiblesdansl'environnementR.Jesuisd'ailleurso-auteuraveMathieuRibatetdupakage

JointModeling qui permet la modélisation de GLM et de GAM joints. Sur les méthodes d'analyse

de sensibilité, je suis administrateur du pakage sensitivity développé par Gilles Pujol 10

. Celui-i

ontient la plupart des méthodes dérites aux paragraphes 3.2.1, 3.2.3 et 3.2.4. D'autre part, sur la

base de mes travaux et de ontributions de stagiaires et dotorants, j'ai développé en R le logiiel

SSURFER(Iooss[93 ℄)quisupervisediversestehniquesdepropagationd'inertitudes,deonstrution

demétamodèles etd'analysedesensibilité.Lestehniquesdelissagesont,quant àelles,intégréesdans

lepakage CompModSA de CurtisStorlie 11

.Une monographieestenours d'élaboration ave Gilles

Pujol, Curtis Storlie et Hervé Monod 12

(qui prépare un pakage R sur les plans d'expérienes) pour

réaliserune revueet unguided'utilisation desméthodesd'analysede sensibilitédansR .

Parmi lestravauxde reherhe que j'aiévoqués danse hapitre, ertainssont loin d'êtreaboutis.

Tout d'abord, il reste beauoup de travail pour omparer, étudier les propriétés et perfetionner les

algorithmesd'estimationdequantilesdeodesqui,noussemblenttrèsprometteurs.Parailleurs,la

thé-matiquedesodesde alulstohastiquesestsujetteà divers axesde reherhe ouverts :planiation

desexpérienes, omparaison demétamodèles hétérosédastiques, développement d'outils de

diagnos-tis, ... Conernant les entrées fontionnelles, j'ai proposé une astue pour ne pas traiter l'aspet

fontionnel du problème. Des voies de reherhe intégrant la struture du proessus stohastique en

entrée dumodèlesontàenvisager.Enn,unaxedereherheomplémentaire etpeuexploréonerne

la planiation des aluls intégrant des proessus stohastiques ou des hamps aléatoires en entrée

du ode. Sur e sujet,des premiers travaux ont été réalisés sur des éhantillonnages LHS de hamps

aléatoiresgaussiens (Pebesma &Heuvelink[166 ℄), maisde multiples approhesrestent àexplorer.

Dans un futur prohe, je prévois de m'intéresser de plus près à l'aspet planiation des aluls,

phaseprimordialepourlesuèsdesanalysesultérieuresetsurlaquellejemesuispeupenhéjusqu'ii.

L'aspetséquentieletadaptatif desplansd'expérieneestnotamment essentielpourrendreappliable

lestehniquesd'analysestatistiquesurlesodesdealulindustrielsexessivementoûteux.J'ai

égale-mentommené àregarderlaplaniation desaluls devalidation d'unmétamodèle,quionditionne

nosappréiations surses qualités.Il me semble quedeseorts plus onséquentsdevraient être portés

suresujetquelquepeuoublié.Surlethèmedesproessusgaussiens,jenemesuispasenoreintéressé

à des ovarianes propres à modéliser des phénomènes non stationnaires. Ce type de omportement

à seuil des modèles est en eet présent dans ertaines de mes appliations, par exemple dans les

sénarios d'aident de fusion du ÷ur d'une entrale nuléaire. Cette thématique a été identiée au

sein du GdR MASCOT-NUM 13

omme un axe de reherhe important. Enn, de premiers travaux

apparaissent sur la modélisation des variables de sortie fontionnelles (Campbell et al. [34℄, Fang et

al. [62℄, Marrel [141℄). Les réponses desmodèles sont souvent temporelles, voire spatiales, et un

trai-10

ÉoledesMinesdeSaint-Etienne

11

DepartmentofMathematisandStatistis,UniversityofNewMexio,USA

12

INRA,UnitédeMathématiquesetInformatiqueAppliquées

13

Groupement de Reherhe du CNRS nommé Méthodes d'Analyse Stohastique pour les COdes et Traitements

NUMériques,f.hap.4

auxmodélisateursetutilisateursdesodes. Plusieursthèsesontétéréemment initiéessuresujeten

Frane, dont elle de Benjamin Auderque je o-enadre ave GérardBiau 14

.Comme préédemment,

lesaspets planiation, diagnostisetomparaison de modèles devrontêtre étudiéssoigneusement.

Vis-à-vis de l'intérêt que porte la Diretionde l'Énergie Nuléaire du CEA sur esméthodes

mo-dernes d'analysed'expérienes numériques, de vastes hamps de reherhes etd'appliations peuvent

êtreentrevus:

⋄

problématiques de oneption tenant ompte des inertitudes à l'aide de modèles numé-riqueslourds (e.g. oneptiondessystèmes nuléaires futurs);

⋄

^{analyseetvalidationdesgros systèmes}numériques, potentiellement spatialiséset/ou tem-poralisés(e.g.qualiationdesodesdeméaniquedesuides,alulsd'impat

environne-mentaux);

⋄

simulationspluridisiplinaires (e.g. ouplage desodessimulant le÷ur d'unréateur nu-léaire:neutronique, méanique etthermohydraulique);

⋄

simulations multiéhelles (e.g. aluls simulant les déformations de matériaux aux dié-renteséhelles nanoetmiro);

⋄

^{analyse des systèmes omplexes et oûteux (e.g.} transitoires thermohydrauliques, sûreté desréateurs dequatrièmegénération, odesneutroniquesde typeMonteCarlo);

⋄

^{traitement des} inertitudes pour l'évaluation des marges de sûreté (e.g. dans les études d'aidents).

Toutes esthématiques partiipent à un enjeu plus global,qui fait partie desgrandes préoupations

etprérogativesduCommissariatàl'ÉnergieAtomique,etquiestelui delamaîtriseetdel'utilisation

desoutilsde lasimulation numérique.

14

LaboratoiredeStatistiqueThéoriqueetAppliquée,UniversitéParis VI

Bilan et perspetives

Monativitédereherhes'estdondélinéeautourdutraitementdesinertitudesenmodélisation

numérique au ours de deux phases bien distintes :la première portant surle thème de la

propaga-tion d'ondes en milieu aléatoire, la deuxième ayant trait à la thématique de l'exploration statistique

desexpérienes numériques. Les objetifsde mes travaux de reherhe ont été essentiellement portés

par les appliations, e qui apparaît lairement dans la présentation que j'enai faite. L'aspet

trans-versede mestravauxm'anéanmoins permisd'aborder uneimportantediversitéd'appliations,soure

d'enrihissementsprofessionnelsetpersonnelsimportants,enpermettantnotammentderenontrerdes

interlouteursissusd'horizonsmultiples(ingénieurs,mathématiiens,physiiens,himistes,exploitants

d'installations, ...). Cei implique de gros eorts de ommuniation, de ompréhension mutuelle et

parfoisdevulgarisation.

Au niveau de la Diretion de l'Énergie Nuléaire du CEA, l'équipe dédiée au traitement des

in-ertitudes dans laquelle j'évolue est en harge de la diusion d'une ulture probabiliste au sein des

diérents projets où des besoins se font sentir. Elle a notamment été identiée pour répondre à

di-versesdemandes d'assistane et d'expertise émanant d'autres unités sur desdossiers les plus souvent

urgents,omme par exempledesdossiersde sûretéonernant desessais àréaliseroudesinstallations

nuléaires. Cette missionpermet de resteren phase ave lesbesoins réelsdesingénieurs et des

physi-iens métier de l'institut. Le travail de R&D proprement dit onsiste ainsisouvent à omprendre le

besoind'undemandeur(exploitant,responsabledeprogrammes,ingénieur,...),àposerleproblèmede

manièrerigoureuse,puisàproposeretàdévelopperlasolutionlaplusadéquatedansletemps imparti.

Pourpouvoirperdurer,esativités desoutiensontbien entenduonditionnéesau maintien d'une

veille sientique et d'ativités de reherhe plus amont dans le domaine de la statistique, an de

ontinueràapporterdesréponsespertinentesauxquestionsposées.Iladonéténéessairedemultiplier

les ontats à l'extérieurdu CEA, e qui nousa permisd'établir un grand nombre de ollaborations.

L'équipeInertitudes àlaquellej'appartiensestàprésentinvestiedansplusieursadresollaboratifs:

⊲

^{le Groupe de Travail et Réexion} Inertitudes de l'Institut de Maîtrise des Risques (IMdR), réseau d'éhanges inter-industriels, de valorisation méthodologique et dans

le-quel partiipe (entre autres) CEA, EDF, LNE, IRSN,ONERA, Dassault, EADS, CNES,

INERIS, SNCF. Dans e groupe, j'ai notamment partiipé au montage d'une formation

professionnelle surle traitement des inertitudes, qui fournit à présent un dispositif

om-pletpour former lesingénieurs de nosinstitutsrespetifs;

⊲

^{le Groupement de Reherhe (GdR) MASCOT-NUM (Méthodes d'Analyse} Stohastique pour les COdes et Traitements NUMériques), struture oielle reonnue par le CNRS,

etqui regroupe la quasitotalité des laboratoires de reherhe etsientiques français

tra-vaillantsurlesujet.Ceadred'éhangesapourvoationdefailiterlaréalisationdetravaux

de reherhe entre universitaires et ingénieurs de reherhe, notamment grâe à

l'organi-sation régulière de journées sientiques (dont j'ai eu la harge en 2008) et d'ateliers de

travail.Il doit permettre àterme d'atteindre une visibilité sientiquede premier planau

niveau françaisetinternational.

ommeeuxlanésparl'AgeneNationaledelaReherhe.Cettedernièreported'ailleursuneattention

partiulière aux thèmes de la simulation numérique et de la oneption sous inertitudes à l'aide de

modèles préditifs.

L'une des prohaines étapes sera de s'insrire dans un adre plus international où énormément

de reherhes ont déjà été eetuées sur le thème des expérienes numériques. Je pense notamment

aux ontats que je peux d'ores et déjà avoir ave l'unité de statistique du Joint Researh Centre

d'Ispra(Italie)leaderdansledomaine del'analysedesensibilité.Auniveauamériain,leslaboratoires

nationaux de Sandia (Albuquerque, Nouveau-Mexique) travaillent sur des thématiques extrêmement

prohesdeellesquel'onaauCEA,notammentsurlessénarios destokagedesdéhetsnuléairesoù

lagestiondesinertitudesest uneproblématique majeure. LestravauxdeJon Helton sont fondateurs

danse domaine etdeplus amplesollaborations sont àprévoirave les équipes deSandia.

Pour onlure e mémoire, je souhaite disserter quelque peu sur troisobjetifs importants que je

mesuisxédansmontravaildeherheur:laommuniation, laollaborationetl'enadrement.Ilme

semble, qu'outre les nouveaux résultats obtenus et les innovations réalisées, l'un des aboutissements

de la reherhe est la présentation de ses résultats devant ses pairs. Cela passe bien entendu par la

partiipation à des séminaires et à des onférenes mais également par la rédation de publiations

dans des revues à omité de leture bien iblées. La plupart de mes expérienes en e domaine sont

extrêmement positives etles remarques desrapporteurs ont souvent ététrès onstrutives. L'une des

grandes satisfations, que j'ai eue jusqu'ii, est elle de voir mon travail de reherhe repris, ritiqué

et poursuivi par d'autres herheurs. La ollaboration orrespond aussi au prinipal plaisir que me

proure e métier, à savoir, travailler en équipe. Cei permet de toyer de multiples personnalités,

demettre en avant ses propres qualitésetfaiblesses, deserenouveler etnalement d'avanervers des

idées neuves. Les prinipaux résultats que j'ai obtenus au CEA l'ont été grâe à des ollaborations

frutueusesave d'exellentsmathématiiensissusdel'université,maisaussiavedesphysiiensetdes

ingénieurs duCEA onfrontés à desproblématiques passionnantes. Enn, l'expériened'enadrement

dedotorantsoudestagiairesserévèleêtrepartiulièremententhousiasmante,nonseulementauniveau

desrelations humaines surlesquelles elle débouhe, mais aussipar la remise en question permanente

qu'elle provoque. Ce travail de transmission, qui est au ÷ur du métier de herheur etqui est lié à

nospropres engagementsetsens desresponsabilités, estàmon avisl'une destâhes lesplus diiles.

perspetives

My researh ativity deals with unertainty management in numerial modelling. I have mainly

worked on two main subjets.The rstone is relatedto thewave propagationinrandom media. The

seondonerns the statistialexplorationof numerial experiments. Theirobjetiveswereessentially

arriedbyappliations. Nevertheless,thetransversalityof myworksallows to takle awide varietyof

appliations.That givesmetheopportunityto meetresearhers oming fromverydierent elds

(en-gineers, mathematiians, physiists, hemists, failitiesoperator, ...). Ofourse,it impliesimportant

ommuniationand mutualunderstanding eorts

InNulearEnergyDivisionofCEA,myteamhandlesthediusionofaprobabilistiulturewithin

various engineering projets. We give some assistane and expertise on statistial and mathematial

questions.Theselatteraresometimesurgent,asforexampleinnulearsafetyanalysisforinstitutional

questions.Theselatteraresometimesurgent,asforexampleinnulearsafetyanalysisforinstitutional

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