Milieux stationnaires anisotropes

r 0

profils d’ecoulement

β

A

Fig. 2.2Prinipe du débitmètre à ultrasons.Prols d'éoulement en régimeturbulent etlaminaire.

l'estimation du débit par les débitmètres ultrasonores à temps de transit. Dans e mémoire,

l'appliationàladébitmétrieneserapasévoquée.Onnoteraependant lapubliationréentede

Franhinietal.[68℄quiapporteunesolutionanalytiqueàl'undesproblèmessurlesinertitudes

endébitmétrie quej'ai résolupar simulation numérique dansIooss et al.[98 ℄.

La setion suivante présente le type de modélisation hoisie pour les hétérogénéités du milieu de

propagation,à savoirdeshamps aléatoiresaratérisés parleur struturede ovariane. Latroisième

setiondéritmaontributionà lathéoriedelapropagationd'ondes en milieualéatoire, quionerne

essentiellementl'étude,parméthodesperturbatives,destempsdetrajetenmilieualéatoireanisotrope.

La quatrième setion traite de ma ontribution sur l'inversion de la ovariane des temps de trajet

(nomméetomographiestatistique).Finalement,àpartird'unesynthèsedemestravauxenaoustique

et en sismique, une onlusion permet de mettre en évidene un ertain nombre d'axes de reherhe

ouverts.

2.2 Modélisation aléatoire des milieux hétérogènes et turbulents

Dans ettesetion, les hoix de modélisationpour les milieuxaléatoiressont présentés.

2.2.1 Milieux stationnaires anisotropes

En physique, un hamp aléatoire

ε(r) ∈ R

(où

r ∈ R ³

) est souvent aratérisé en première ap-proximation par sa moyenne et saovariane (e.g. Rytov et al. [180℄). C'est également la base de la

géostatistique linéaire qui onsiste à aratériser un milieu uniquement à l'aide de ses deux premiers

momentsstatistiques (Chilès&Delner[42 ℄).

Enpratique,onfaitsouventdeshypothèsesd'invarianedesmomentspartranslation.Parexemple,

on peut utiliser l'hypothèse de stationnarité d'ordre deux : la moyenne et les orrélations sont

inva-riantes par translation. Onsuppose alors que la struture spatiale de

ε

^{estdérite par safontion de}

ovariane

C ε : r ∈ R ³ → C ε (r) ∈ R

:

Cov

[ε(r ₁ ), ε(r ₂ )] = C _ε (r ₁ − r ₂ ) = σ ² _ε N (r ₁ − r ₂ ) , ∀ (r ₁ , r ₂ ) ∈ R ³ × R ³ ,

^(2.1)

où

N : r ∈ R ³ → N (r) ∈ R

est la fontion de ovariane normalisée de

ε

^et

σ _ǫ ²

^{est la variane}

de

ε

^{(le palieren} géostatistique), qui donne l'amplitude typique des utuations du hampaléatoire.

Enphysique,desutuations spatialesstationnaires sont souventappeléesutuations homogènes, le

termestationnaire étant réservé à ladépendane temporelle (Yaglom [231 ℄).

Soit

r = (x, y, z) ∈ R ³

où

(x, y)

^{sont les oordonnées} horizontales et

z

^{est laoordonnéevertiale.}

En nous plaçant dansle adre de l'hypothèse d'anisotropie géométrique (Chilès &Delner [42℄), qui

signiequeles lignesd'iso-ovariane sont desellipsesonentriques,

N ( · )

^{sedénitpar :}

N (r) = C ₀

s x ²

a ² _x + y ² a ² _y + z ²

a ² _z

!

,

^(2.2)

où

C ₀ : r ∈ R → C ₀ (r) ∈ R

est appelée ovariane standardisée,

a _x ∈ R ^∗ ₊

,

a _y ∈ R ^∗ ₊

et

a _z ∈ R ^∗ ₊

sont respetivement leslongueursde orrélation(portéesengéostatistique) horizontale, azimuthale et

vertiale. Ces longueurs de orrélation représentent les tailles aratéristiques des hétérogénéités du

hamp aléatoire (Matheron [147 ℄). Il est possible,sans diulté supplémentaire, d'étendre le modèle

(2.2)àdesstratiationsinlinéesenintroduisantunangleazimuthaletunanglepolaire(Wakernagel

[224 ℄).DesexemplesdemilieuxaléatoiresgéométriquementanisotropessontdonnésenFigure2.3.On

distinguebien lesdiérenteshétérogénéités en forme delentilles, e qui orroborenotre raisonnement

surlestaillesdeshétérogénéités vuespar lesondesetles longueursdeorrélations danslesdiérentes

diretionsspatiales. Pour prendreen ompte desondes d'angle d'inidene quelonque, Samuelides &

Mukerji [190 ℄, Iooss [92 ℄, Iooss et al. [94 ℄ et Kravtsov et al. [127 ℄ utilisent notamment à la plae de

(a _x , a _y , a _z )

^{les longueursde orrélationparallèle}

l _k

^ettransverses

l _⊥1

^et

l _⊥2

^{àladiretion prinipalede}

propagationde l'onde.

(a) (b)

Fig. 2.3 Exemples de hamps aléatoires 2D géométriquement anisotropes. (a) Champ de vitesse

d'ondes aoustiques dans l'eau (moyenne

c ₀ = 1509

^{m/s, ovariane gaussienne}

C ₀ (h) = exp( − h ² )

^,

h ∈ R

,

σ _ε = 4

^m/s,

a _x = 1

^m,

a _z = 0.25

^{m, pendage} d'anisotropie

θ = 11.5 ^o

^{, unités des axes en}

mètres).(b)Perturbationsdevitessedesondessismiques(ovarianeexponentielle

C 0 (h) = exp( −| h | )

devariane unité,

a _x = 0.1

^km,

a _z = 0.02

^km).

Cette prise en ompte de l'anisotropie a été longtemps oubliée dans la théorie de la propagation

d'ondes en milieu aléatoire. Elle a enn été onsidérée dans les ouvrages de Flatté et al. [65 ℄ et de

Rytov et al. [181℄ en distinguant les oordonnées spatiales dans les ovarianes et dans les densités

spetrales (mais sansutiliser la notation de la ovariane standardisée). Cette notation apparaît plus

expliitement dans Munk& Zahariasen [155 ℄ (ovariane gaussienne uniquement), Jannaud [109 ℄ et

Kon[124℄pourmodéliserrespetivementlesstratiationsoéanographiques,géologiqueset

atmosphé-riques.Mesreherhesensismiquepétrolière,oùdesbassinssédimentaires(dondesmilieuxfortement

stratiés)sontaratérisés,m'ontinitéàrentrerdanseadreplusréalistequeleadreisotrope.C'est

l'une des ontributions originales de mes travaux (Iooss [92 ℄, Iooss et al. [94 ℄) : l'introdution de la

ovariane standardisée dans les équations, notamment pour la dérivation et l'étude numérique des

domaines de validité de ertaines approximations en milieu aléatoire anisotrope (f Ÿ2.3.1 et Ÿ2.3.2).

Depuisquelquesannées, d'autres auteurs, notamment en sismologie,utilisent e modèled'anisotropie

numériques (f.Klime² [121℄,Kravtsov etal.[127 , 126℄, Margerin [140 ℄,Saito [183 ℄).

Bienentendu,lemodèled'anisotropiegéométrique(2.2),quiestlemodèleanisotropeleplussimple

quisoit,estparfoispeuplausibledanslesappliations.Engéologie,deshypothèsesdetypeanisotropie

zonale sont plus réalistes pour les milieux fortement stratiés (Chilès & Delner [42 ℄). L'anisotropie

zonale introduit notamment des paliers (i.e. varianes) diérents suivant les diretions spatiales, en

superposant une ovariane isotrope et une ovariane possédant une anisotropie géométrique très

forte. La Figure 2.4 (a)présenteun hamp de vitessesismique réaliste, onstruit à partir de données

de puits 3

omplétées par des tehniques de simulations géostatistiques de lithofaiès 4

. La ovariane

déduite dee modèle présente unenette anisotropiezonale ave eetde pépite 5

(Fig. 2.4(b)).

(a) (b)

Fig.2.4Exemplederéservoirpétrolierréaliste(issudeIoossetal.[97℄).(a)Champdevitessesismique

(ave anisotropie zonale). (b) Covarianes expérimentales normalisées dans les diretions horizontale

et vertiale.

L'anisotropie géométrique présente néanmoins le grand avantage de permettre l'obtention de

ré-sultats expliitespour les moments destemps de trajet(fhap. 2.3), en passant aux ovarianes ou

densitésspetrales standardiséeslors delasimpliationdesintégrales.Deplus,dansIoossetal. [97℄,

est présentée une appliation dans laquelle les équations obtenues sous anisotropie géométrique sont

néanmoinsrobustes par rapportàette hypothèse.

Touati [214 ℄ et Touati et al. [215℄ préfèrent utiliser une fontion de ovariane fatorisée (aussi

appelée ovariane séparable):

N (r) = N (x, y, z) = N ₁ x

a _x

N ₂ y

a _y

N ₃ z

a _z

, r = (x, y, z) ∈ R ³ ,

^(2.3)

où

N ₁ ( · )

^,

N ₂ ( · )

^et

N ₃ ( · )

^{sont des fontions de ovariane} monodimensionnelles,

a _x ∈ R ^∗ ₊

,

a _y ∈ R ^∗ ₊

et

a _z ∈ R ^∗ ₊

sont respetivement les longueursdeorrélationhorizontale,azimuthale etvertiale.Cetype deovarianene rentrepasdansleadredesmodèlesgéométriquement anisotropesmaispermetaussi

desimplier lesintégrations. Cemodèle estependant peu réalistepour lamodélisationde strutures

physiques, par exemple en géostatistiqueeten modélisation delaturbulene.

3

mesuresaoustiquesnesréaliséespardessondessituésdansdespuitsforésvertialement

4

faièsd'uneouhesédimentairepourequiestdesminérauxquilaomposent

5

disontinuitéàl'originetraduisantuneerreurdemesureoulaprésened'unemirostruture

L'hypothèse de stationnarité d'ordre deux(Eq. (2.1))est unehypothèse également peu réalisteen

pratique.Mêmes'ilestpossibledesuperposerunmaro-modèleauhampaléatoirestationnairepourlui

imposer ertaines tendanes globales, ette hypothèse amène desontraintes parfoispeu souhaitables

sur le hamp aléatoire (e.g. l'homosédastiité). Il est aisé de relâher ette hypothèse en utilisant

l'hypothèsed'aroissementsstationnaires(avelinéaritédel'espéranedesaroissements),plusonnue

souslenomd'hypothèseintrinsèqueengéostatistiqueetdestationnarité loaleenphysique.Lehamp

aléatoire est alors aratérisé par les deux premiers moments de es aroissements. La moyenne des

aroissements (ladérive) estune fontion linéaire

m _ε : h ∈ R ³ → m _ε (h) ∈ R

:

m _ε (h) = E [ε(r + h) − ε(r)] = α ^t h , ∀ (r, h) ∈ R ³ × R ³ ,

^(2.4)

et ave

α ∈ R ³

.

Pour la ovariane des aroissements, il est faile de montrer qu'elle peut s'exprimer à l'aide de

lafontion "variane d'aroissements" (f. par exemple Iooss [92℄). Cette dernière fontion est don

utiliséepour dénir lemoment d'ordre deux desaroissements. La demi-variane desaroissements

γ _ε : h ∈ R ³ → γ _ε (h) ∈ R

,fontionappeléevariogrammeengéostatistique(Matheron [147℄)etfontion de struture en physique (Yaglom [231 ℄), ne dépend pas des points d'appui mais seulement de leur

diérene:

γ ε (h) = 1

2

^Var

[ε(r + h) − ε(r)] , ∀ (r, h) ∈ R ³ × R ³ .

^(2.5)

Ainsi, la théorie de la propagation d'onde en milieu aléatoire s'applique si le hamp de vitesse est

intrinsèquedansladiretiondepropagationetstationnaireperpendiulairement (Tatarskii[211℄).Une

tellegénéralisationpermetdeprendreenomptelesvariationslinéairesdelamoyenneetdelavariane

dela vitessedansladiretion depropagation.

Unautremodèledenonstationnaritéplusgénéral,nomméquasi-stationnarité,estutiliséparRytov

et al.[180 , 181 ℄ eta étérepris réemment par Kravtsovetal[127 , 126 ℄:

Cov

[ε(r ₁ ), ε(r ₂ )] = σ _ε ² (r ₊ )K (r ₁ − r ₂ , r ₊ ) , ∀ (r ₁ , r ₂ ) ∈ R ³ × R ³ ,

^(2.6)

où

r ₊ = (r ₁ + r ₂ )/2

^{est le veteur situant le entre de gravité de}

r ₁

^et

r ₂

^,

σ _ε ² ( · )

^{est la variane de}

ε

^{(fontion non onstante) et}

K(r ₁ − r ₂ , · )

^{est une fontion de ovariane normalisée qui vaut un}

quand

r ₁ = r ₂

^{. Ce modèle de utuations} quasi-stationnaires (appelées loalement stationnaires en statistique)permetàlavarianeetauxlongueursdeorrélationd'évoluerlentementdansunediretion.

La théorie de la propagation d'ondes en milieu aléatoire peut ainsi être développée dans e type de

milieux,

r ₊

^{étant la diretion prinipale de} propagation de l'onde. Cei présente, par exemple, un intérêt ensismologie etenoéanographieoù lastruture deshétérogénéitéspeut varier en fontionde

laprofondeur.

2.2.3 Modélisation stohastique de la turbulene

Les deux setions préédentes ont traité d'un hamp aléatoire salaire représentant dans notre

ontexte les utuations de la élérité des ondes. En milieu immobile (typiquement solide) et pour

desondesaoustiques,seule hampaléatoiresalaire estintroduitdansl'équationd'ondes.Dansdes

milieux uides, la élérité du son dépend de la température résultant de la turbulene thermique et

unerelationdireterelieesdeuxhampssalaires(éléritéettempérature).Enmilieuenmouvement,

unautre paramètre intervient dansl'équationd'ondes :la vitessedu uiderésultant de la turbulene

inématique.Il s'agit maintenant d'unhampaléatoire vetoriel

v(r) = (v ₁ (r), v ₂ (r), v ₃ (r)) ∈ R ³

(où

r ∈ R ³

).

Un hamp aléatoire vetoriel stationnaire (resp. intrinsèque) est déni par ses fontions de

ova-riane

C _ij ( · )

^(resp.variogrammes

γ _ij ( · )

^{) diretes etroisées (}

i, j = 1..3

^{) :}

C _ij (h) =

^Cov

[v _i (r), v _j (r + h)] , ∀ (r, h) ∈ R ³ × R ³ .

^(2.7)

statistiques la struture d'une turbulene inématique. Elle est basée sur une hypothèse de asade

d'énergie:quandlenombreritiquedeReynoldsestdépassé,desinstabilitésloalesseréent,detailles

plus faibles que l'éhelle aratéristique et indépendantes de l'éoulement géniteur. Puis, pendant le

tempsderetournement d'untourbillon,elui-iperdunefrationdesonénergieinétiquepourformer

untourbillondetaille inférieure(Frish [71℄).Laasadesepoursuitjusqu'àunetailled'hétérogénéité

où l'énergie sedissipe sous forme de haleur par dissipation visqueuse. Cette éhelle inférieure limite

l ₀

^{, appelée éhelle de} dissipation de Kolmogorov, dépend don de la visosité inématique du uide.

En supposant que la turbulene est intrinsèque et isotrope, Kolmogorov obtient la forme du spetre

d'énergie destourbillons à l'intérieur du domaine detransfert d'énergie

[2π/L ₀ , 2π/l ₀ ]

^où

L ₀ ∈ R ^∗ ₊

et

l ₀ ∈ R ^∗ ₊

sontles éhelles d'injetionet dedissipation d'énergie(Lesieur [132 ℄,Frish[71℄).

Ces arguments physiques permettent de déduire les strutures de ovariane adaptées à la

ara-térisation stohastique des milieux turbulents que l'on va utiliser dansla setion suivante. On utilise

usuellementladensitéspetrale

Φ : k ∈ R ³ → Φ(k) ∈ R

,transforméedeFourierdelaovariane

C( · )

^:

Φ(k) = 1

(2π) ³ ZZ Z

R ³

C(r) exp( − ik.r) dr , ∀ k ∈ R ³ .

^(2.8)

La Figure2.5 donne un exemple d'éoulement turbulent 2Ddont les utuations de vitesse isotropes

ontunedensitéspetraledeKolmogorov:

Φ _{v 1} (k) = Φ _{v 2} (k) = α k k k ^−11/3

^où

α ∈ R ^∗

+

^,

v ₁ ( · )

^et

v ₂ ( · )

^sont

les omposantes horizontale et vertiale (supposées indépendantes) des utuations de vitesse. Bien

entendu,espetreestsimplisteetdenombreuxtravauxbaséessurdeshypothèsesplusréalistesontété

réalisésdepuisladéterminationdeespetre(modélisantparexemplelesphénomènesd'intermittene,

f.Frish [71 ℄).

Fig. 2.5 Exemple d'éoulement uide bidimensionnel turbulent de vitesse moyenne

v ₀ = (10

^m/s,

0

^m/s

)

^. Perturbations de vitesse à spetre de Kolmogorov pour haque omposante de la vitesse :

L ₀ = 0.2

^m,

l ₀ = 0.002

^{m, éarttypes}

σ _{v 1} = σ _{v 2} = 5

^{m/s.Lesunités desaxes sont enmètres.}

Remarque 2.2.1 Dans la suite, on se limite à l'hypothèse de milieu gé, qui est valide pour un faible

nombre de Mah moyen (rapport de la vitesse moyenne du uide sur la élérité moyenne des ondes

aoustiques).Cettehypothèseestlargementrespetée danslesappliationsindustriellesquej'aiétudiées

(en hydraulique, f. Iooss et al. [98℄). En dehors de ette hypothèse, il faudrait prendre en ompte en

plusl'évolution temporelledu milieu lorsde la propagation de l'onde. Utiliser des modèles statistiques

évoluant ave letemps est un problème enore ouvert pour la propagation d'ondes en milieuturbulent

enmouvement. Engéostatistique,denombreux travaux sontd'oresetdéjàdisponiblessurla simulation

dehamps aléatoires spatio-temporels (Kyriakidis & Journel [130℄).

Dans ette setion, on présentetrois grandes familles de modèles paramétriques de ovariane ou

de variogramme utilisées dans les domaines abordés dans mes travaux (géostatistique, géophysique,

méanique des uides, modélisation de odes numériques). Les ouvrages de Chilès & Delner [42℄,

Cressie[44 ℄,Abrahamsen[2℄dressentunelisteplusomplètedetouteslesfontionsdeovarianeave

leurs avantages et leurs inonvénients. On note

d ∈ N ^∗

la dimension du support du hamp aléatoire (

d = 2

^ou

3

^en propagation d'ondes mais éventuellement supérieure en modélisation des réponses de odesdealul).

⋆

^Soient

r = (r 1 , . . . , r _d ) ∈ R ^d

et

(a i ) _i=1..d

^{les longueurs de orrélation du hamp aléatoire}

(

a _i ∈ R ^∗ ₊

),le modèleexponentiel généralisés'érit

N (r) = Y d

i=1

exp

− | r _i | a _i

p i

,

^ave

0 < p _i ≤ 2 ∀ i = 1 . . . d ,

^(2.9)

où

(p _i ) _i=1..d

^{sont les paramètres puissanes du modèle. C'est une ovariane fatorisée}

quin'est passtandardisable (pasd'anisotropie géométrique).Ce modèlepossède ungrand

nombre de degrés de liberté (deux fois plus de paramètres à ajuster qu'il y a de

dimen-sions), e quiexpliquel'intérêt qu'ilsusite danslamodélisation desréponses deodesde

alul.Deplus, ilalapropriétédesefatoriser,e quipermetdesimplierlesintégrations

multidimensionnelles.Pour modéliserdes milieuxaléatoires,les paramètres puissanesont

généralement priségaux entreeux:

p ₁ = . . . = p _d = p

^{(Diggle &Ribero[58℄).}

Si

p = 2

^{, on obtient une ovariane de forme} gaussienne, inniment dérivable à l'origine, qui modélise des milieux extrêmement réguliers et lisses (f. Fig. 2.3 (a) pour une

réali-sation d'un milieu à ovariane gaussienne). De par sa maniabilité dans les expressions

analytiques, ette fontion est l'une des plus populaires en physique et en géostatistique.

Des arguments théoriques (matrie de ovariane partiulièrement mal onditionnée)

dé-onseillent ependant son utilisation (Stein [203 ℄). Si

p = 1

^{,on obtient une ovariane de}

forme exponentielle, également très populaire dans les appliations (f. Fig. 2.3 (b) pour

uneréalisation d'unmilieu à ovariane exponentielle).

⋆

^{LemodèledeMatèrn(appeléeovariane K-Besselen}géostatistique) s'érit(Matèrn[146 ℄)

C ₀ (h) = 2 ^1−p

Γ(p) | h | ^p K _p ( | h | ) , ∀ h ∈ R ,

^(2.10)

où

p ∈ R ₊

est le paramètre puissane du modèle,

Γ( · )

^{est la fontion gamma et}

K _p ( · )

^est

lafontion deBesselmodiéeduseondtypeetd'ordre

p

^{.Cemodèlemodélisedesmilieux}

géométriquement anisotropes(Eq. (2.10)), maisil possède également une formulation

fa-torisée (Santner et al. [191 ℄). Le as

p = 0.5

^{orrespond à une ovariane} exponentielle, le as

p = 0

^{orrespond à un milieu dit de type fratal (ar il possède des propriétés}

d'auto-similarité)alors quelaovariane gaussienneestobtenue quand

p → ∞

^{.Le modèle}

de Matèrnest partiulièrement reommandé, notamment par Stein[203℄, aril permet de

modéliser des hamps aléatoires ave diérents degrés de régularité. La ovariane (2.10)

est

⌈ p ⌉ − 1

^foisdiérentiable, où

⌈ . ⌉

^{orrespond à lafontion partieentière}supérieure.

En physique, la ovariane de Matèrn est appelée ovariane de von Karman et provient

de onsidérations basées sur la théorie de Kolmogorov qui donne une forme analytique

au spetre d'énergie dans le domaine des nombres d'onde (f. Ÿ2.2.3). Le variogramme

standardisé dumodèle deKolmogorovs'érit (

γ 0 : r ∈ R → γ 0 (r) ∈ R

) :

γ ₀ (0) = 0 ,

γ ₀ (h) = α | h | ^{2 3} , ∀ h ∈ R

telque

l ₀ ≪ | h | ≪ L ₀ ,

^(2.11)

etave

α ∈ R ^∗ ₊

.Cevariogrammemodéliseorretementlesstruturesnesdelaturbulene dansl'intervalle

[2π/L ₀ , 2π/l ₀ ]

^{.Pour éviter la} singularité du spetre de Kolmogorov dans lesbassesfréquenesetintégrer unemodélisationorretedesgrossesstrutures,lespetre

de von Karman prend en ompte une fréquene de oupure. Il orrespond au modèle de

Matèrn (Eq. (2.10)) ave

p = 1/3

^{en 3D et}

p = 5/6

^{en 2D. Ce modèle est} fréquemment utilisé pour modéliserles milieuxinématiquement turbulents. Pour généralisere modèle

à la prise en ompte des hautes fréquenes (petites hétérogénéités), il est possible

d'in-troduire dans son spetre un ltre gaussien et ainsi obtenir le modèle de von Karman

modié. La fontion de ovariane assoiée senomme ovariane de Kummer arelle fait

intervenirlafontionhypergéométriquedeonuenedeKummer(Andrews&Phillips[5℄).

⋆

^{Lemodèle puissanen'estpas}stationnaire maisintrinsèque. Sonvariogrammestandardisé s'érit (Chilès&Delner[42 ℄)

γ ₀ (h) = | h | ^p , ∀ h ∈ R ,

^(2.12)

où

0 < p < 2

^{est leparamètre puissanedu modèle. Enfait, e}variogramme orrespondà eluid'unmouvementbrownien frationnaire.Cemodèleadespropriétésd'auto-similarité

aron nepeutpasyassoierd'éhelles aratéristiquesduphénomène.Eneet,si

a ∈ R ^∗

,

γ ₀ (h/a) = | a | ^−p γ ₀ (h)

^{.Il estdon invariant sousunhangement d'éhelle} d'observation. Le aslimite

p = 0

^{orrespond àl'eet de pépitepur (auune} orrélation) oùleproessus est un bruit blan gaussien. Pour

p = 1

^{,on obtient le}variogramme du mouvement brownien standard(

γ ₀ (h) = | h |

^).

2.3 Propagationd'ondesaoustiques hautesfréquenesenmilieu

aléa-toire

Diérentes méthodologies peuvent être mises en ÷uvre dans l'étude d'un phénomène physique

gouverné par des équations mathématiques : une approhe théorique, une approhe numérique et

une approhe expérimentale. L'idéal est de pouvoir onfronter les résultats de es trois approhes.

En propagation d'ondes en milieu aléatoire, l'approhe théorique onsiste à formuler les moments

statistiques du hamp d'onde en fontion de eux du milieu de propagation. Cela est possible dans

les as d'éole, e.g. ondes monohromatiques, espae libre sans obstale ni réeteur, ondes planes

ou sphériques, hamps moyens sans eet. La tehnique numérique, quant-à elle, onsiste à simuler à

l'aide d'un ode de alul la propagation des ondes à l'intérieur de diérentes réalisations (issues de

simulations) du milieu turbulent (déni par ses deux premiers moments statistiques). Le moyennage

nal (pour un grand nombre de simulations) des hamps d'onde obtenus permet de aluler leurs

aratéristiquesstatistiques,sansqu'ilyaitderelationexpliiteavelesmomentsduhampturbulent.

Finalement,l'approheexpérimentaleonsisteàpropager,demanièrenaturelleouartiielle,uneonde

desoureonnuedansunmilieuhétérogènedontononnaîtlastruturedeovariane(ou lespetre),

et àenregistrer lehampd'ondetransmis àl'aide d'undispositifd'aquisition adéquat.

Mes reherhes en propagation d'ondes en milieu aléatoire ont été guidées de manière assez

om-plémentaire par lestrois approhes suivantes:

⊲

^{d'unpointdevuethéorique,j'aioptépouruneapprohephysiquedesproblèmes,en}

m'ap-puyant sur une bibliographie fournie (prinipalement elle de Chernov, Tatarskii, Rytov,

Kravtsov et Ostashev). Une telle approhe permet d'avoir une bonne intuition des

phé-nomènes que l'on négligelors dessimpliations d'équations. Pour plusde rigueur surles

aspetsprobabilistesetmathématiquesdusujet,onpeutseréférerpar exempleàHoman

[88 ℄,Frish[70℄ouBal[13℄.J'aiobtenuquelquesrésultatsthéoriquesnouveaux,notamment

ave Philippe Blan-BenonetChristian Lhuillier. L'undeesrésultats(non linéaritédela

variane destemps en fontion de ladistane de propagation)a été par lasuite reproduit

demanière expérimentale par Andreeva &Durgin[4 ℄ (f. Ÿ2.3.4);

⊲

^{mes travaux en} modélisation numérique se sont prinipalement appuyés sur la méthode de résolution de l'équation d'onde aoustique par diérenes nies, méthode de référene

pour valideretétudier larobustessede résultatsthéoriques.Cette méthode desimulation,

partiulièrement lourde à mettre en ÷uvre, a été introduite par Frankel & Clayton [69℄

pour la propagation d'ondes en milieu aléatoire et je l'ai systématiquement utilisée pour

validermesdéveloppements.Àl'aidedelasimulation numérique,j'aiaussipurésoudreune

problématique industrielle posée parEDF etliée àladébitmétrie ultrasonore (f.Fig.2.2,

Ioosset al.[98 ℄).

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^auniveau expérimental, en utilisant desdonnées d'exploration sismique pétrolière, j'ai pu onrmer dansIooss[92 ℄ etIooss etal. [97 ℄ l'un desphénomènes prédit par Touati [214 ℄,

à savoir la déroissane de la variane des temps de trajet ave l'oset (distane

soure-réepteur, f.Fig.2.1).

Dans ette setion, on note

X ∈ R ⁺

la distane de propagation de l'onde étudiée, et

l _k ∈ R ^∗

+

^et

l _⊥ ∈ R ^∗ ₊

les longueurs de orrélation (des utuations de vitesse de l'onde) parallèle et transverse à la diretion de propagation de l'onde. Pour pouvoir eetuer des statistiques sur un hamp d'onde

propagé, il faut qu'ilait traversé beauoupd'hétérogénéités, e qui senote en termed'approximation

physique par

l _k ≪ X .

^(2.13)

Pour simplier, on selimite dansla suite aux milieux 3D stationnaires et transversalement isotropes

(où

l _⊥ = l _⊥1 = l _⊥2

^{). Les résultats que l'on montre dans les setions suivantes peuvent être étendus}

sansréelles diultésaux milieuxanisotropesoù

l _⊥1 6 = l _⊥2

^{, auxmilieux} intrinqèques etmême quasi-stationnaires.

2.3.1 Approximation de Rytov parabolique

Mestravauxsesont onentrés surl'étudede lapropagationdesondesaoustiques. L'équation de

Helmholtz s'érit en espae libre (hors de la zone soure), dansun milieu 3D immobile et en régime

périodique (ondes monohromatiques de longueur d'onde

λ ₀ = 2π/k ₀

^ave

k ₀ ∈ R ^∗

+

^{appelé nombre}

d'onde)de lamanière suivante:

∆u(r) + k ₀ ² [1 + ε(r)]u(r) = 0 ,

^(2.14)

où

u : r ∈ R ³ → u(r) ∈ Z

est lehamp de l'onde monohromatique (dénipar une amplitude etune phase)et

ε(r) ∈ R

estune perturbation delalenteur(inversede lavitesse) auarré :

1

c ² (r) = 1

c ² ₀ [1 + ε(r)] ,

^(2.15)

ave

c(r) ∈ R ^∗ ₊

lehampde vitessedel'onde,

c ₀ ∈ R ^∗ ₊

une onstanteet

E [ε(r)] = 0

^{.L'équation (2.14)}

est une équation aux dérivées partielles linéaire de type elliptique, dont l'un des oeients est une

fontionaléatoire.Elle appartient donà lalassedeséquations linéairesstohastiques.L'équation de

Helmholtzn'est passoluble analytiquement et de multiples approximations ont don été développées

Helmholtzn'est passoluble analytiquement et de multiples approximations ont don été développées

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