Tomographie statistique

Leproblèmeinverseenpropagationd'ondes onsisteàestimerles propriétésphysiquesd'unmilieu

à partir d'enregistrements de hamps d'ondes qui ont traversé e milieu (proédure souvent appelée

tomographie, f. Tarantola [208 ℄). Le même problème peut être envisagé en propagation d'ondes en

milieualéatoire:extrairelespropriétésstatistiquesd'unmilieuhétérogèneàpartirdesstatistiquessur

les hamps d'ondes qui s'y sont propagées. C'est un axe de reherhe important en sismologie et en

oéanographie depuis les années 1970. Pour e faire,on peut voir quel'utilisation de l'unique mesure

de la variane des temps de trajet d'une onde (Eq. (2.34)) n'est pas susante, ar elle ne permet

pasdedistinguer lesdiérentsparamètres statistiquesde

ε

^.^Par ôntre, êtte înversionêst^possibleên

travaillant surlaovariane destemps de trajetetdes amplitudes(Aki[3℄,Usinski[217 ℄).

En me basant sur les travaux de Touati [214 ℄ en sismique réexion et de Müller et al. [154 ℄ en

sismologie,j'aiproposéuneinversiondireteenexprimantlaovarianeduhampdevitesseenfontion

deelledestemps.Sonappliation etsaonfrontation àd'autresméthodesd'inversionont étéensuite

menéesen ollaboration ave David Geraets,dotorant m'ayant suédé sur lesujet.Une publiation

regroupant tousles ateurs du sujet(Iooss etal. [97℄) a nalement permis de résumer es travauxde

reherhe.

2.4.1 Covariane des temps de trajet

Dans l'approximationde Rytovparaboliqueetpourune onde sphérique, enutilisant

l'approxima-tion au premier ordre (2.22), la ovariane entre les temps de trajet en deux points distints a été

obtenue par Ishimaru [105 ℄ en milieu isotrope etRytov et al. [181 ℄ en milieu anisotrope. Dans Iooss

de la ovariane standardisée (ou plutt de ladensité spetrale standardisée

Φ ₀

^). ^Les ^propriétés ^que

j'aidémontrées sont lessuivantes(résultats donnésen 2Dpour simplier lesexpressions):

Propriété 2.4.1 En milieu 2D géométriquement anisotrope, pour une onde sphérique dont le rayon

entral est de longueur

X

^, ^si

r ₁

^et

r ₂

^sont ^deux ^rayons ^distints ^de ^même ^longueur ^séparés ^d'une

distane

ρ = k r ₁ − r ₂ k = o(X)

^, ^la ^ovariane ^des ^temps ^de ^trajet

T (r ₁

⁾ ^et

T (r ₂ )

^vaut ^:

Propriété 2.4.2 Dans le régime asymptotique de l'optique géométrique, en milieu 2D, la ovariane

des temps detrajet d'uneonde sphérique (

r ₁ 6 = r ₂

ρ = k r ₁ − r ₂ k = o(X)

⁾ ^vaut ^:

Les expressions (2.38) et (2.39) peuvent être déduites des équations (2.36) et (2.37) à partir de la

ondition (2.26). Dans l'approximation inverse à l'optique géométrique (i.e.

√ λ ₀ X ≫ l _⊥

^), ^appelée

approximationhamplointainouapproximationde Fraunhofer,laovariane etlavarianedestemps

detrajetvalentlamoitiédeellesdel'optiquegéométrique.Deparetteproximitéentrelesovarianes

dansl'optique géométrique, l'approximation de Rytov parabolique etl'approximation de Fraunhofer,

la mesure desutuations de temps de trajet (ou de phase) est onnue pour être une mesure plutt

robuste,ontrairement à ellesurles amplitudes(Barabanenkov etal.[14 ℄).

La variane destemps de trajetde la propriété 2.4.1 est issue d'une approximation plus générale

(l'approximation Rytovparabolique) que elle étudiée au 2.3.4(l'optique géométrique). Des

simula-tionsnumériques(pardiérenesniessurl'équationd'ondeaoustique)ontpureproduirelesrésultats

sur ette variane des temps de trajet (Iooss [92℄, Iooss & Samuelides [103 ℄). La variane des temps

ommenepar roîtrelinéairement aveladistane depropagationsuivantlarelation (2.37),en étant

enadrée supérieurement par lavariane del'optique géométrique et inférieurement par elle de

l'ap-proximation de Fraunhofer. L'évolution de la variane des temps sature ensuite, à partir du moment

où l'approximation deRytovparabolique n'est plus valide. Ces simulations, non limitées au adrede

l'optiquegéométrique,nereproduisentpasleseetsnonlinéairesévoquésau2.3.4arlesphénomènes

de diration apparaissent plus ttque es eets. Pour envisager de reproduire la non linéarité de la

variane à l'aidedesimulations baséessurl'équation d'ondeaoustique,ilfaudrait être apablede

di-minuerdrastiquementlalongueurd'ondedel'ondesimulée. Ceiestdiilearlepasdedisrétisation

spatiale de la méthode des diérenes nies déoule diretement de ette valeur de longueur d'onde;

pluslepasde disrétisation estfaible, pluslasimulation est oûteuse entemps de alul.

2.4.2 Inversion de la ovariane du hamp de vitesse

En utilisantdeshypothèsesrestritives(ovariane gaussienneisotrope,ondesplanes de même

in-idene), les sismologues ont herhé dès les années 1970 à extraire les aratéristiques statistiques

desmilieux traversés à partird'enregistrements d'ondes télésismiques(Aki [3℄). Des ajustements

ma-nuels réalisés surles ovarianesdes phases,les ovarianes desamplitudeset les ovarianes roisées

(approximation de Rytov parabolique) ont permis ainsi de retrouver des longueurs de orrélation de

l'ordre de la dizaine de kilomètres et des éart types des utuations de l'ordre de

5%

^(f. ^Sato ^&

nommée tomographie stohastique, en relâhant les hypothèses sur le milieu (anisotropie transverse,

quasi-stationnarité, introdution de plusieurs ouhes de ovarianes diérentes) et en permettant de

prendreen ompte tousles enregistrements d'ondesde même fréquene(possibilitéd'inidenes

dié-rentesentrelesondes).Cetypedehampsaléatoiresquasi-stationnaires anisotropesa aussiétéutilisé

réemment par Kravtsovetal.[126 ℄ etKaslilar etal. [114℄dansleadredelaaratérisationdu

sous-solave lestemps de trajetd'ondes sismiques réfratées(soureetréepteur ensurfae, trajetourbe

sansréexion).

Plutt qu'un ajustement indiret des paramètres du milieu, Müller et al. [154℄ ont proposé une

inversion direte en exprimant laovariane desperturbations de vitesse du milieu en fontion de la

ovariane destempsdetrajetd'uneondeplaneenmilieu2Disotrope.Ilsont nomméetteproédure,

développée dans le adre de l'optique géométrique, tomographie statistique. Dans Iooss [92 ℄ et Iooss

et al. [97 ℄, j'ai étendu ette inversion à une onde sphérique en milieu géométriquement anisotrope.A

partir de l'équation (2.38) on peut en eet exprimer diretement la ovariane des perturbations de

vitesse

C ₀

ên ^fontion^de ^laôvariane ^des^temps^de^trajet^d'uneônde^sphérique

C _T

^.^La ^propriété^que

j'aidémontrée estlasuivante (résultat donné en 2Dpour simplier sonexpression) :

Propriété 2.4.3 Pour une ondesphérique en milieu2Dgéométriquement anisotrope, dans

l'approxi-mation del'optique géométrique et sous la ondition

r = o(X)

^ave

r ∈ R ₊

, on a

Cerésultat estobtenu en inversant l'intégrale de

I(ρ, X) = σ _ε ²

par unetransformée d'Abel,e qui donne

C 0

Enutilisantlapropriété

C ₀ (0) = 1

^,^la^formule^(2.40)êstôbtenue.Ûne^fois^le^modèleêstimé,l'expression (2.40) donne la portée transverse

l _⊥

^par

C ₀ (1)

^. ^Des ^exemples ^pratiques d'appliation de e résultat sont donnésdansIoossetal.[97 ℄.

Les inversions préédentes supposent que les utuations

ε(r)

^dont ^on ^herhe ^à ^retrouver ^les

aratéristiques statistiques se superposent à un hamp de vitesse moyen onstant. En pratique, il

est néessairede prendre en ompte un maro-modèle de vitesse, qui induit une ourbure des rayons

sur lesquels on intègre les utuations

ε

^, ^et ^qui ^doit ^être ^aratérisé ^de ^manière déterministe par les méthodes inverses lassiques (Tarantola [208℄). Quelques auteurs ont proposé des méthodes pour

prendreenompteemaro-modèle,notammentKlime²[122 ,120℄.Celui-iproposeégalementd'utiliser

lafontion deovariane estimée pourontraindre orretement leproblème inversedéterministe.

2.4.3 Appliation à la sismique d'exploration

L'adaptation de esméthodes d'inversionà laproblématique de lasismiqueréexion (f.Fig.2.1)

soulève une diulté partiulière : la prise en ompte de la réexion de l'onde sur une interfae au

detrajeten fontion del'oset

x

^(distane soure-réepteur) :

Var

[T(x)] =

^Var

[T(r

down

)] +

^Var

[T (r

)] + 2

^Cov

[T (r

down

), T (r

)] ,

^(2.44)

où

r

^down ^et

r

^up orrespondent respetivement au rayon desendant (de la soure vers le point de réexion) et au rayon montant (du point de réexion vers le réepteur). L'idée est alors de travailler

ave une onde sphérique dont la soure est située au point de réexion et d'utiliser dans l'équation

(2.44)lesexpressionsdesvarianeetovarianedestempsaupremierordredansl'optiquegéométrique

(Eqs. (2.34) et (2.38)). Dans Touati [214 ℄ et Touati et al. [215 ℄, une proédure d'inversion indirete

est utilisée pour estimer lalongueur de orrélation horizontale des utuations du hamp de vitesse,

dans le as où le réeteur est horizontal. Dans Iooss [92, 91℄, j'ai montré que ette proédure reste

appliable dansl'approximation de Rytovparabolique, en dehorsdu domaine de validité de l'optique

géométrique.

Dans leadre del'optique géométrique,es travaux ont étégénéralisés par Kravtsov et al.[127℄ à

desmilieuxdont lavitessemoyenne dépend delaprofondeur etdont les utuations sontanisotropes

quasi-stationnaires (dépendaneen profondeur desparamètres statistiques).

D'autrepart,j'aimontréquel'inversiondiretedonnéeparlaformule(2.40)demeure possibledans

lagéométrie ave réexion (Iooss [92℄,Iooss&Galli [96 ℄, Iooss etal.[97 ℄). Il sut alors de remplaer

I(u, X)

^dans^(2.40) ^par

I _R : u ∈ R ₊ → I _R (u) ∈ R

I _R (x) = ∂ ²

∂x ² [x

^Var

[T (x)] .

^(2.45)

Dessimulationsnumériquesont illustrélarobustessedeetteinversiondireteetsonappliationàdes

donnéesréelles a démontré safaisabilité.

DansIoossetal.[97 ℄,enm'inspirant deKlime²[122 ℄,j'aiégalement proposéde prendreenompte

dans l'inversion un maro-modèle de vitesse en travaillant sur les temps de trajet relatifs, dénis

omme le rapport du temps de trajet

T (r)

^de ^l'onde ^et ^le ^temps ^de ^trajet

T ₀ (r)

^dans ^le ^milieu ^sans

utuation aléatoire (i.e. ave uniquement le maro-modèle de vitesse). En pratique, une première

étapedetomographiedéterministeestappliquéesurlestempsdetrajet

T (r)

^pour^déterminer^e

maro-modèle, puis les temps de trajet

T 0 (r)

^y ^sont ^alulés ^par ^traé ^de ^rayons. ^Par ^ailleurs, l'hypothèse de réeteur horizontal étant quelque peu limitative, je me suis eoré d'intégrer dans le modèle des

utuationspossiblesduréeteur,àsavoiruneomposanteàvariationstrèslentes,etuneomposante

àfaiblesutuationsmodéliséesparunproessusaléatoire(Iooss[90℄,Iooss&Galli[96 ℄).Laproédure

d'inversion demeure inhangée ar les utuations aléatoires du réeteur n'induisent qu'un terme

onstant supplémentaire dansl'équation (2.44).

Finalement, j'ai poursuivi e travail en ollaborant ave David Geraets durant sa thèse à l'Éole

desMinesde Paris (Geraets[74℄,Geraets &Galli [75 ℄,Ioossetal.[97 ℄ etGeraets etal. [76 ℄).Celui-i

a développé une proédure d'inversion ne néessitant pas l'utilisation des temps de trajet. En eet,

laréupérationde eux-i est l'une des diultésmajeures de l'appliation de ette méthodologieen

sismiqueréexion:laproéduredupointédestemps detrajetsurlessismogrammesestextrêmement

déliatedufaitdubruitprésentdanslesdonnéessismiques,d'autantplusqu'onnesaitsouventpasoù

pointer letemps detrajetsurl'ondelette sismique.DavidGeraets proposedon une inversionrobuste

pourretrouverlaovarianedesperturbationsdevitessedesondesàpartirdelaovarianedesvitesses

destak.Cesdernièressontissuesd'unajustementpolynomialparmoindresarrésdestemps detrajet

enfontion de l'oset,et sontdon moinssensibles auxerreurssurles temps de trajet.

Dans le document Bertrand Iooss. To cite this version: HAL Id: tel (Page 38-41)

ε

Φ 0

X

r 1

r 2

ρ = k r 1 − r 2 k = o(X)

T (r 1

T (r 2 )

r 1 6 = r 2

ρ = k r 1 − r 2 k = o(X)

√ λ 0 X ≫ l ⊥

5%

C 0

C T

r = o(X)

r ∈ R +

I(ρ, X) = σ ε 2

C 0

C 0 (0) = 1

l ⊥

C 0 (1)

ε(r)

ε

x

[T(x)] =

[T(r

)] +

[T (r

)] + 2

[T (r

), T (r

)] ,

r

r

I(u, X)

I R : u ∈ R + → I R (u) ∈ R

I R (x) = ∂ 2

∂x 2 [x

[T (x)] .

T (r)

T 0 (r)

T (r)

T 0 (r)

Φ ₀

r ₁

r ₂

ρ = k r ₁ − r ₂ k = o(X)

T (r ₁

T (r ₂ )

r ₁ 6 = r ₂

ρ = k r ₁ − r ₂ k = o(X)

√ λ ₀ X ≫ l _⊥

C ₀

C _T

r ∈ R ₊

I(ρ, X) = σ _ε ²

C ₀ (0) = 1

l _⊥

C ₀ (1)

I _R : u ∈ R ₊ → I _R (u) ∈ R

I _R (x) = ∂ ²

∂x ² [x

T ₀ (r)