Moyenne des temps de trajet au seond ordre : le veloity shift

Queesoit dansl'approximation deRytovparabolique(Eq. (2.22))oudansl'optiquegéométrique

(Eq.(2.28)),l'espéranedutermeaupremierordreestnullear

E [ε(r)] = 0

^{.Pourobtenirune}

approxi-mationnede lamoyenne du tempsde trajet,ilfaut don aluler l'espéranedu termeaudeuxième

ordre.Ceteetdudeuxièmeordresurlestempsdetrajetn'apasétéévoquédanslalittératurejusqu'à

l'utilisation des tehniques de traé de rais etde simulation numérique en sismologie dansles années

1980(Mülleretal.[154 ℄,Petersen[168 ℄).Parlasuite,lesgéophysiiensl'ontprinipalementaratérisé

en terme de veloity shift, 'est-à-dire de déviation de la vitesse eetive d'un milieu (i.e. la vitesse

vueparl'onde)par rapportàlavitessemoyenne statistique. Àl'approximationdu deuxièmeordre, la

vitesseeetive

v

e

où

T(r)

^{estletempsd'arrivéed'uneondededistanede}propagation

X

^,

T ₁ (r)

^et

T ₂ (r)

^{sontlestermes}

dupremierordreetseondordredansledéveloppementasymptotiquede

T (r)

^{(deuxièmeettroisième}

termes de l'équation (2.28)). Le veloity shift s'explique physiquement par le fait que l'onde hoisit

préférentiellement les trajetoires les plusrapidespour joindreune soure àun réepteur(prinipe de

Fermat).

Dans l'optique géométrique, Roth et al. [177℄, Mukerji et al. [153 ℄ et Boyse & Keller [27℄ se sont

intéressés à l'estimation du veloity shift en milieu isotrope. Samuelides & Mukerji [190 ℄ ont abordé

e problème en milieu anisotrope à ovariane gaussienne. Iooss [92℄ et Iooss et al. [94 ℄ ont étendu

e résultat aux milieux géométriquement anisotropes en introduisant la formulation de la ovariane

standardisée.La propriété quej'ai démontrée estlasuivante:

Propriété 2.3.1 En milieu aléatoire 3D, géométriquement anisotrope et transversalement isotrope,

l'espérane des tempsde trajet à l'ordre deuxvaut

E [T ₂ (r)] = 1

Danslesmodèlesdeovarianelassiques(stritement déroissants),l'intégralesur

C ₀ ^′

^estnégative

etdon

E [T 2 (r)]

^{estnégative.Ainsi,ononrmeque}

v

^e

> v 0

^{,lavitessedumilieueetifestsupérieure}

àlavitessemoyenne dumilieuréel.D'autrepart, tantquel'optiquegéométrique estvalide,leveloity

shift augmente linéairement ave ladistane de propagation

X

^{etdépend de}

l _k /l ² _⊥

^{: ilaugmenteave}

lataillelongitudinale deshétérogénéités etdiminue ave leurs taillestransverses.

En dehors de l'optique géométrique, dans le adre plus général de l'approximation de Rytov

pa-rabolique, le alul du veloity shift est à notre onnaissane assez réent : Shapiro et al. [198 ℄ pour

les milieux isotropes, Samuelides [189 ℄ pour les milieux anisotropes gaussiens et Saito [183 ℄ pour les

milieuxgéométriquementanisotropes.Aprèsuneaugmentation linéaireduveloityshiftenfontionde

X

^{dans l'optique} géométrique, sonévolutionsature dansl'approximation parabolique, puis il déroît trèslentementverszéro.Samuelides[189 ℄,Iooss[92℄etIooss&Samuelides[103 ℄présentent desétudes

détailléesduomportementduveloityshiftenmilieuanisotropeàl'aidedesimulationsnumériques

ba-séessurlaméthodedesdiérenesniessurl'équationd'onde.Cestravauxontainsipermisd'observer

lephénomène de saturationdu veloity shift.

Dans l'optique géométrique, l'expression de la variane des temps de trajet au premier ordre est

bien onnue depuis l'ouvrage de Chernov [41℄ (pour une onde plane en milieu isotrope). Rytov et al.

[181 ℄ontétenduerésultat auxmilieuxanisotropes. Ave lafontionde ovariane standardisée,don

enmilieu géométriquement anisotrope,on obtient l'expression(Touati[214 ℄)

Var

[T ₁ (r)] = σ _ε ² 2c ² ₀ Xl _k

Z ∞

0

C ₀ (u) du .

^(2.34)

Cette formule, appelée approximation de Chernov, montre une augmentation linéaire de la variane

destemps en fontionde ladistane de propagation.Touati[214 ℄ analyseen profondeur ladérivation

deette formuleà partir del'équation (2.30)eten déduitqu'ellesurestime lavraievariane etqu'elle

n'estvalidequesil'hypothèse(2.13),àsavoir

l _k ≪ X

^{,estrespetée.Cetteanalyseneprendependant}

pas en ompte le terme à l'ordre deux des temps de trajet (troisième terme de l'équation (2.28)).

En supposant une perturbation

ε

^{de loi gaussienne et par analogie ave} l'espérane, j'ai pu aluler analytiquement l'expression de la variane destemps audeuxième ordre dansIoosset al. [94 ℄,e qui

nousdonne lapropriétésuivante :

Propriété 2.3.2 En milieu aléatoire 3D gaussien, géométriquement anisotrope et transversalement

isotrope, la variane des tempsde trajet à l'ordre deux vaut

Var[T ₂ (r)] = 1

Danslealuldeettevariane,l'hypothèsedenormalitéde

ε

^{estnéessairepoursimplierlequatrième}

momentde

ε

^{ensommedeproduitsdeovarianes(Papoulis&Pillai[165℄). Grâeàlaformule(2.35),}

on s'aperçoitque le terme à l'ordre deux induit une non linéarité pour l'évolutionde la variane des

temps enfontion de ladistanede propagation (dépendaneen

X ⁴

^).

Négliger l'équation(2.35) devant (2.34) nousapermisdedémontrer laonditionde validité(2.31)

de l'approximation destemps de trajet au premier ordre en milieu anisotrope. Cette ondition avait

été obtenue en milieu isotrope par Kulkarny & White [129℄ à l'aide d'une formulation diérente de

l'optique géométrique en milieu aléatoire. Basée sur les équations des rais en milieu aléatoire, ette

formulation amène à la résolution d'un système d'équations diérentielles stohastiques linéaires qui

permetd'obtenir, entre autres,laprobabilitéd'apparitiondesaustiquesen fontiondeladistanede

propagation. Dans Iooss etal. [94℄,nousavons onrmé lelien entrees deuxapprohes en reliant la

varianedes temps detrajetàla probabilitéd'apparition desaustiques.

Leomportementnonlinéairedelavarianedestempsàpartird'uneertainedistanede

propaga-tionaétéd'abordobservésurdessimulationsnumériques(baséessurletraéderais)parBlan-Benon

etal.[24 ℄etKarweitetal.[113 ℄.Commeprévu,onpeutreleverlalégèresurestimationde

l'approxima-tiondeChernovparrapportauxsimulationspourdeourtesdistanesdepropagationpuislaroissane

non linéaire de lavariane destemps simulés. En utilisant une méthode plus robuste que le traé de

rais, à savoir latehnique de sommation des faiseaux gaussiens (f. Fiorina [64℄ pour son utilisation

en milieu aléatoire), Iooss et al. [94 ℄ ont obtenu les mêmes résultats entre simulations numériques et

préditionsissuesde l'équation (2.35).

D'un point de vue expérimental en propagation d'ondes hautes fréquenes en milieu turbulent,

les études onfrontant préditions théoriques etexpérienes sont extrêmement rares. Cei est dû aux

diultés de générer des milieux turbulents stables, de les aratériser proprement et d'extraire des

tempsde premièrearrivéedesondesàpartird'enregistrements designauxsouvent bruités.Karweitet

al.[113℄ontependantréussiàonrmerexpérimentalement lanonlinéaritédelavariane destemps.

Réemment,grâe àdes moyensperformants (pulsationsultrasonoresdansune onduite à turbulene

bien ontrlée), Andreeva & Durgin [4℄ ont pu mesurer nement les temps de première arrivée des

ondes propagées. Ils ont alors obtenu desrésultats expérimentaux prohes des préditions théoriques

plusieurs degrésde turbulene.

Fig.2.6Comparaisons desvarianesdetempsdetrajetexpérimentauxetthéoriques(gureextraite

d'Andreeva &Durgin [4 ℄).

2.4 Tomographie statistique

Leproblèmeinverseenpropagationd'ondes onsisteàestimerles propriétésphysiquesd'unmilieu

à partir d'enregistrements de hamps d'ondes qui ont traversé e milieu (proédure souvent appelée

tomographie, f. Tarantola [208 ℄). Le même problème peut être envisagé en propagation d'ondes en

milieualéatoire:extrairelespropriétésstatistiquesd'unmilieuhétérogèneàpartirdesstatistiquessur

les hamps d'ondes qui s'y sont propagées. C'est un axe de reherhe important en sismologie et en

oéanographie depuis les années 1970. Pour e faire,on peut voir quel'utilisation de l'unique mesure

de la variane des temps de trajet d'une onde (Eq. (2.34)) n'est pas susante, ar elle ne permet

pasdedistinguer lesdiérentsparamètres statistiquesde

ε

^{.Par ontre, ette inversionestpossibleen}

travaillant surlaovariane destemps de trajetetdes amplitudes(Aki[3℄,Usinski[217 ℄).

En me basant sur les travaux de Touati [214 ℄ en sismique réexion et de Müller et al. [154 ℄ en

sismologie,j'aiproposéuneinversiondireteenexprimantlaovarianeduhampdevitesseenfontion

deelledestemps.Sonappliation etsaonfrontation àd'autresméthodesd'inversionont étéensuite

menéesen ollaboration ave David Geraets,dotorant m'ayant suédé sur lesujet.Une publiation

regroupant tousles ateurs du sujet(Iooss etal. [97℄) a nalement permis de résumer es travauxde

reherhe.

2.4.1 Covariane des temps de trajet

Dans l'approximationde Rytovparaboliqueetpourune onde sphérique, enutilisant

l'approxima-tion au premier ordre (2.22), la ovariane entre les temps de trajet en deux points distints a été

obtenue par Ishimaru [105 ℄ en milieu isotrope etRytov et al. [181 ℄ en milieu anisotrope. Dans Iooss

de la ovariane standardisée (ou plutt de ladensité spetrale standardisée

Φ ₀

^{). Les propriétés que}

j'aidémontrées sont lessuivantes(résultats donnésen 2Dpour simplier lesexpressions):

Propriété 2.4.1 En milieu 2D géométriquement anisotrope, pour une onde sphérique dont le rayon

entral est de longueur

X

^{, si}

r ₁

^et

r ₂

^{sont deux rayons distints de même longueur séparés d'une}

distane

ρ = k r ₁ − r ₂ k = o(X)

^{, la ovariane des temps de trajet}

T (r ₁

^{) et}

T (r ₂ )

^{vaut :}

Propriété 2.4.2 Dans le régime asymptotique de l'optique géométrique, en milieu 2D, la ovariane

des temps detrajet d'uneonde sphérique (

r ₁ 6 = r ₂

^,

ρ = k r ₁ − r ₂ k = o(X)

^{) vaut :}

Les expressions (2.38) et (2.39) peuvent être déduites des équations (2.36) et (2.37) à partir de la

ondition (2.26). Dans l'approximation inverse à l'optique géométrique (i.e.

√ λ ₀ X ≫ l _⊥

^{), appelée}

approximationhamplointainouapproximationde Fraunhofer,laovariane etlavarianedestemps

detrajetvalentlamoitiédeellesdel'optiquegéométrique.Deparetteproximitéentrelesovarianes

dansl'optique géométrique, l'approximation de Rytov parabolique etl'approximation de Fraunhofer,

la mesure desutuations de temps de trajet (ou de phase) est onnue pour être une mesure plutt

robuste,ontrairement à ellesurles amplitudes(Barabanenkov etal.[14 ℄).

La variane destemps de trajetde la propriété 2.4.1 est issue d'une approximation plus générale

(l'approximation Rytovparabolique) que elle étudiée au Ÿ2.3.4(l'optique géométrique). Des

simula-tionsnumériques(pardiérenesniessurl'équationd'ondeaoustique)ontpureproduirelesrésultats

sur ette variane des temps de trajet (Iooss [92℄, Iooss & Samuelides [103 ℄). La variane des temps

ommenepar roîtrelinéairement aveladistane depropagationsuivantlarelation (2.37),en étant

enadrée supérieurement par lavariane del'optique géométrique et inférieurement par elle de

l'ap-proximation de Fraunhofer. L'évolution de la variane des temps sature ensuite, à partir du moment

où l'approximation deRytovparabolique n'est plus valide. Ces simulations, non limitées au adrede

l'optiquegéométrique,nereproduisentpasleseetsnonlinéairesévoquésauŸ2.3.4arlesphénomènes

de diration apparaissent plus ttque es eets. Pour envisager de reproduire la non linéarité de la

variane à l'aidedesimulations baséessurl'équation d'ondeaoustique,ilfaudrait être apablede

di-minuerdrastiquementlalongueurd'ondedel'ondesimulée. Ceiestdiilearlepasdedisrétisation

spatiale de la méthode des diérenes nies déoule diretement de ette valeur de longueur d'onde;

pluslepasde disrétisation estfaible, pluslasimulation est oûteuse entemps de alul.

2.4.2 Inversion de la ovariane du hamp de vitesse

En utilisantdeshypothèsesrestritives(ovariane gaussienneisotrope,ondesplanes de même

in-idene), les sismologues ont herhé dès les années 1970 à extraire les aratéristiques statistiques

desmilieux traversés à partird'enregistrements d'ondes télésismiques(Aki [3℄). Des ajustements

ma-nuels réalisés surles ovarianesdes phases,les ovarianes desamplitudeset les ovarianes roisées

(approximation de Rytov parabolique) ont permis ainsi de retrouver des longueurs de orrélation de

l'ordre de la dizaine de kilomètres et des éart types des utuations de l'ordre de

5%

^{(f. Sato &}

nommée tomographie stohastique, en relâhant les hypothèses sur le milieu (anisotropie transverse,

quasi-stationnarité, introdution de plusieurs ouhes de ovarianes diérentes) et en permettant de

prendreen ompte tousles enregistrements d'ondesde même fréquene(possibilitéd'inidenes

dié-rentesentrelesondes).Cetypedehampsaléatoiresquasi-stationnaires anisotropesa aussiétéutilisé

réemment par Kravtsovetal.[126 ℄ etKaslilar etal. [114℄dansleadredelaaratérisationdu

sous-solave lestemps de trajetd'ondes sismiques réfratées(soureetréepteur ensurfae, trajetourbe

sansréexion).

Plutt qu'un ajustement indiret des paramètres du milieu, Müller et al. [154℄ ont proposé une

inversion direte en exprimant laovariane desperturbations de vitesse du milieu en fontion de la

ovariane destempsdetrajetd'uneondeplaneenmilieu2Disotrope.Ilsont nomméetteproédure,

développée dans le adre de l'optique géométrique, tomographie statistique. Dans Iooss [92 ℄ et Iooss

et al. [97 ℄, j'ai étendu ette inversion à une onde sphérique en milieu géométriquement anisotrope.A

partir de l'équation (2.38) on peut en eet exprimer diretement la ovariane des perturbations de

vitesse

C ₀

^{en fontionde laovariane destempsdetrajetd'uneondesphérique}

C _T

^{.La propriétéque}

j'aidémontrée estlasuivante (résultat donné en 2Dpour simplier sonexpression) :

Propriété 2.4.3 Pour une ondesphérique en milieu2Dgéométriquement anisotrope, dans

l'approxi-mation del'optique géométrique et sous la ondition

r = o(X)

^ave

r ∈ R ₊

, on a

Cerésultat estobtenu en inversant l'intégrale de

I(ρ, X) = σ _ε ²

par unetransformée d'Abel,e qui donne

C 0

Enutilisantlapropriété

C ₀ (0) = 1

^{,laformule(2.40)estobtenue.Unefoislemodèleestimé,}l'expression (2.40) donne la portée transverse

l _⊥

^par

C ₀ (1)

^{. Des exemples pratiques} d'appliation de e résultat sont donnésdansIoossetal.[97 ℄.

Les inversions préédentes supposent que les utuations

ε(r)

^{dont on herhe à retrouver les}

aratéristiques statistiques se superposent à un hamp de vitesse moyen onstant. En pratique, il

est néessairede prendre en ompte un maro-modèle de vitesse, qui induit une ourbure des rayons

sur lesquels on intègre les utuations

ε

^{, et qui doit être aratérisé de manière} déterministe par les méthodes inverses lassiques (Tarantola [208℄). Quelques auteurs ont proposé des méthodes pour

prendreenompteemaro-modèle,notammentKlime²[122 ,120℄.Celui-iproposeégalementd'utiliser

lafontion deovariane estimée pourontraindre orretement leproblème inversedéterministe.

2.4.3 Appliation à la sismique d'exploration

L'adaptation de esméthodes d'inversionà laproblématique de lasismiqueréexion (f.Fig.2.1)

soulève une diulté partiulière : la prise en ompte de la réexion de l'onde sur une interfae au

detrajeten fontion del'oset

x

^(distane soure-réepteur) :

Var

[T(x)] =

^Var

[T(r

down

)] +

^Var

[T (r

up

)] + 2

^Cov

[T (r

down

), T (r

up

)] ,

^(2.44)

où

r

^{down et}

r

^up orrespondent respetivement au rayon desendant (de la soure vers le point de réexion) et au rayon montant (du point de réexion vers le réepteur). L'idée est alors de travailler

ave une onde sphérique dont la soure est située au point de réexion et d'utiliser dans l'équation

(2.44)lesexpressionsdesvarianeetovarianedestempsaupremierordredansl'optiquegéométrique

(Eqs. (2.34) et (2.38)). Dans Touati [214 ℄ et Touati et al. [215 ℄, une proédure d'inversion indirete

est utilisée pour estimer lalongueur de orrélation horizontale des utuations du hamp de vitesse,

dans le as où le réeteur est horizontal. Dans Iooss [92, 91℄, j'ai montré que ette proédure reste

appliable dansl'approximation de Rytovparabolique, en dehorsdu domaine de validité de l'optique

géométrique.

Dans leadre del'optique géométrique,es travaux ont étégénéralisés par Kravtsov et al.[127℄ à

desmilieuxdont lavitessemoyenne dépend delaprofondeur etdont les utuations sontanisotropes

quasi-stationnaires (dépendaneen profondeur desparamètres statistiques).

D'autrepart,j'aimontréquel'inversiondiretedonnéeparlaformule(2.40)demeure possibledans

lagéométrie ave réexion (Iooss [92℄,Iooss&Galli [96 ℄, Iooss etal.[97 ℄). Il sut alors de remplaer

I(u, X)

^{dans(2.40) par}

I _R : u ∈ R ₊ → I _R (u) ∈ R

:

I _R (x) = ∂ ²

∂x ² [x

^Var

[T (x)] .

^(2.45)

Dessimulationsnumériquesont illustrélarobustessedeetteinversiondireteetsonappliationàdes

donnéesréelles a démontré safaisabilité.

DansIoossetal.[97 ℄,enm'inspirant deKlime²[122 ℄,j'aiégalement proposéde prendreenompte

dans l'inversion un maro-modèle de vitesse en travaillant sur les temps de trajet relatifs, dénis

omme le rapport du temps de trajet

T (r)

^{de l'onde et le temps de trajet}

T ₀ (r)

^{dans le milieu sans}

utuation aléatoire (i.e. ave uniquement le maro-modèle de vitesse). En pratique, une première

étapedetomographiedéterministeestappliquéesurlestempsdetrajet

T (r)

^{pourdéterminere}

maro-modèle, puis les temps de trajet

T 0 (r)

^{y sont alulés par traé de rayons. Par ailleurs,} l'hypothèse de réeteur horizontal étant quelque peu limitative, je me suis eoré d'intégrer dans le modèle des

utuationspossiblesduréeteur,àsavoiruneomposanteàvariationstrèslentes,etuneomposante

àfaiblesutuationsmodéliséesparunproessusaléatoire(Iooss[90℄,Iooss&Galli[96 ℄).Laproédure

d'inversion demeure inhangée ar les utuations aléatoires du réeteur n'induisent qu'un terme

onstant supplémentaire dansl'équation (2.44).

Finalement, j'ai poursuivi e travail en ollaborant ave David Geraets durant sa thèse à l'Éole

desMinesde Paris (Geraets[74℄,Geraets &Galli [75 ℄,Ioossetal.[97 ℄ etGeraets etal. [76 ℄).Celui-i

a développé une proédure d'inversion ne néessitant pas l'utilisation des temps de trajet. En eet,

laréupérationde eux-i est l'une des diultésmajeures de l'appliation de ette méthodologieen

sismiqueréexion:laproéduredupointédestemps detrajetsurlessismogrammesestextrêmement

déliatedufaitdubruitprésentdanslesdonnéessismiques,d'autantplusqu'onnesaitsouventpasoù

pointer letemps detrajetsurl'ondelette sismique.DavidGeraets proposedon une inversionrobuste

pourretrouverlaovarianedesperturbationsdevitessedesondesàpartirdelaovarianedesvitesses

destak.Cesdernièressontissuesd'unajustementpolynomialparmoindresarrésdestemps detrajet

enfontion de l'oset,et sontdon moinssensibles auxerreurssurles temps de trajet.

2.5 Conlusion

Lestravauxprésentésdanse hapitre ont étéréalisésdurant messixpremièresannées d'ativités

dereherhe,entre1995et2001.Lesproblèmesévoquésrentrent dansleadregénéraldelaméanique

statistiquedesmilieuxontinus.Auvudesoutilsutilisés,estravauxpeuventêtreégalementonsidérés

aléatoiresà laphysique etauxproblèmes d'ingénierie.Cette multipliation desdomainessientiques

onernés a été l'une des diultés majeures à surmonter durant es travaux. Il est souvent diile

d'aorderd'unpointdevuetehnique,dessienesaussidiérentestellesquelaphysiquestatistique,

lagéostatistique,lagéophysique etlaméaniquedesuides.Ceiapuêtreréaliségrâeàdemultiples

éhangesetollaborationsave desherheursdotésd'unegrandeouverture d'esprit.Lesrésultatsque

j'ai obtenus montrent aussi que ette transversalité permet l'émergene d'idées neuves. Mes travaux

s'intègrentégalementdansl'ensembledesappliationsmodernesdesoutilsgéostatistiques(f.Bilodeau

et al. [22℄ pour une revue réente), dans lesquelles la modélisation des phénomènes physiques n'est

plus ignorée. Conernant lapropagation d'ondes en milieu aléatoire, mon prinipal apportrésulte de

l'introdutiondel'anisotropiestatistique(enpartiulierl'anisotropiegéométrique)danslestraitements

théoriquesetles simulations numériques.

Ces reherhesquiparaissaient séduisantesthéoriquement maispeuexploitablesilyadixans(ar

nonappliablessurdonnéesréellesdufaitdubruitdesdonnées)ontprisplusdesensesdernières

an-nées,notammentgrâeàl'améliorationdeertainsoutilsexpérimentaux.Auniveaudelaommunauté

internationale, quelquesauteurs ont poursuivil'étude ne desutuationsde temps detrajetd'ondes

aoustiques, aussi bien en sismologie (Baig [11 ℄, Saito [183℄), qu'en ontrle ultrasonore (Durgin &

Andreeva [61℄)et en oéanographie (Godin [78℄). En e qui onerne l'appliation de la tomographie

statistique(pas forément dénomméede la même manièrepar mes homologues) en sismique, onpeut

noterles travauxde Klime²[122 , 120 ℄, Kaslilaretal. [114 ℄ et Liuetal. [136 ℄.

Ainsi, j'entrevois quelquesperspetiveset extensionsde mes travauxqui pourraient s'avérer

inté-ressantes:

⊲

intégrationdelatomographie statistiquedanslagestiondesinertitudes enexplorationet produtionpétrolières (Thoreetal.[213 ℄, Geraets etal.[77℄);

⊲

^{uniation de mes travaux en} tomographie statistique ave eux de Kravtsov et al. [126℄

(formulation enmilieu quasi-stationnaire ave utuationsvertiales de vitesse);

⊲

utilisationde laovariane desperturbationsdevitesseommeovariane a prioridansla tomographie lassique(Tarantola [208℄,Klime²[120℄, Veherin et al. [221 ℄);

⊲

développement delatomographiestatistiquedansl'approximationmarkoviennede l'équa-tiond'ondeparaboliqueenmilieualéatoire(f.parexempleRytovetal.[181℄),adremoins

restritifque l'approximationde Rytovde l'équationd'onde parabolique quej'aiutilisée;

⊲

^{dérivation de la variane des temps de trajet au seond ordre dans la théorie des rayons}

omplexes ou théorie géométrique de la diration (f. Kravtsov[125 ℄ pour une revue

ré-ente surlesujet),extension naturelle de l'optiquegéométrique;

⊲

^{dérivation rigoureuse delaméthode de sommationdesfaiseauxgaussiens pourla}

simula-tionnumérique delapropagation d'ondes aoustiquesdansles milieuxen mouvement. En

eet,dansIoossetal.[98℄jemebasesuruneméthodeheuristiqueenutilisant,dansle

sys-tèmedutraé derayonsdynamique, lavitesseeetivedu milieudénie danslaremarque

2.3.1.

La problématique abordée dans e hapitre se situe nalement dans le ontexte de la prise en

ompte des inertitudes en simulation numérique. Véritable l onduteur de e mémoire, elui-i

permet de relier mes deux périodes de reherhe. Les travaux présentés dans e hapitre onernent

plus spéiquement les inertitudes de modèles : négliger l'hétérogénéité des hamps de vitesse des

ondesrevientàsimplierlesmodèlesphysiques.Dansledomainedesinertitudes,onherhesouventà

ondesrevientàsimplierlesmodèlesphysiques.Dansledomainedesinertitudes,onherhesouventà

Dans le document Bertrand Iooss. To cite this version: HAL Id: tel (Page 36-0)