Montrer que l’applicationφ

UNSA –Mesure et Topologie– L3 2015-2016 Examen du 16 d´ecembre 2015

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1. Hom´eomorphismes et projection st´er´eographique. On repr´esente les points de la sph`ere-unit´eSⁿ deRⁿ⁺¹ par des couples (ξ, x)∈Rⁿ×Rtels que kξk²+x²= 1.

1.a. Montrer que l’applicationφ : [−1,1[→[¹₂,∞[ d´efinie par φ(x) = _1−x¹ est un hom´eomorphisme. Indication: Construire l’application inverse.

1.b. On note P = (0,1) ∈ Sⁿ le “pˆole-nord”. Montrer que l’application Φ : Sⁿ− {P} → Rⁿ : (ξ, x) 7→ φ(x)ξ est un hom´eomorphisme. Indication:

Montrer que Ψ(ξ) = (λξ,1−λ) pourλ=_1+kξk² ₂ est l’application inverse de Φ.

1.c. On pose S₊ⁿ = {(ξ, x) ∈ Sⁿ|x ≥ 0} et S₋ⁿ = {(ξ, x) ∈ Sⁿ|x ≤ 0}.

Montrer queS₊ⁿ etS₋ⁿ sont des parties compactes deSⁿ v´erifiantS₊ⁿ∪S₋ⁿ =Sⁿ. Montrer que l’intersectionS₊ⁿ ∩S₋ⁿ s’identifie `a la sph`ere-unit´eSⁿ⁻¹deRⁿ.

1.d. Montrer que l’image Φ(F) d’une partie ferm´eeF de Sⁿ−{P}est une partie compacte deRⁿ. Montrer inversement que si l’image Φ(F) d’une partie F deSⁿ−{P} est compacte, alorsF est ferm´ee. En d´eduire qu’un ouvertU de Rⁿ poss`ede un compl´ementaire compact si et seulement si Φ⁻¹(U)∪ {P}est un voisinage ouvert deP.

2. Locale connexit´e et composantes connexes. Pour un espace topologique E on consid`ere les trois propri´et´es suivantes:

(C1) tout ouvert deE est r´eunion d’ouverts connexes;

(C2) tout point deE est contenu dans un ouvert connexe;

(C3) les composantes connexes deE sont ouvertes.

2.a. Montrer les implications (C1) =⇒ (C2) =⇒ (C3) =⇒ (C2).

2.b. Montrer queRⁿ muni de la topologie usuelle v´erifie (C1). Montrer que la partieF ={0} ∪ {¹_n, n∈N∗}de R, munie de la topologie induite, ne v´erifie pas la propri´et´e (C2), et donc pas non plus la propri´et´e (C1).

2.c. Montrer qu’un espace compact v´erifiant (C3) ne poss`ede qu’un nombre fini de composantes connexes. Montrer que l’espaceF de la question 2.b est compact. Quelles sont les composantes connexes deF ?

2.d. On consid`ere l’application φ:R→S¹ :t 7→e^2πit. Montrer que pour toutt0∈R, la restrictionφ_{|]t0−1/2,t0}+1/2[ :]t0−1/2, t0+1/2[→S¹−{φ(t0+1/2)}

est un hom´eomorphisme. En d´eduire que le cercle-unit´eS¹, muni de la topologie induite, v´erifie la propri´et´e (C1).

3. R´egularit´e des mesures bor´eliennes. On consid`ere l’espace mesur´e (R<sup>n</sup>,B<sub>R</sub><sup>n</sup>, µ) o`uB_Rⁿ est la tribu des parties bor´eliennes deRⁿ, etµ:B_Rⁿ→R+

est une mesurebor´elienne, c’est-`a-direµ(K)<∞pour tout compactK⊂Rⁿ. 3.a. Montrer que toute partie ferm´ee deRⁿest r´eunion d’une suite croissante de parties compactes deRⁿ. En d´eduire que la tribuB_Rⁿdes parties bor´eliennes est engendr´ee par les parties compactes deRⁿ.

3.b. Montrer que pour une suite d´ecroissante (A_n)_n≥0de parties bor´eliennes telles queT

n≥0A_n=B etµ(A₀)<∞, on a inf_n∈Nµ(A_n) =µ(B). Indication:

consid´erer la suite croissanteBn=A0−An et utiliser que S

n≥0Bn =A0−B.

3.c. Montrer que pour toute partie compacte K de Rⁿ, les parties U_n = {x∈Rⁿ|d(x, K)< _n+1¹ } sont ouvertes, de mesure finie, et v´erifient:

µ(K) = inf

n µ(U_n).

Une partie bor´elienneA est dite -entour´ee s’il existe une partie ferm´ee F et une partie ouverteU telles queF⊂A⊂U et µ(A−F)≤et µ(U−A)≤. 3.d. Montrer que si Aest -entour´ee alors Rⁿ−A´egalement. Montrer que si (An)_n≥0 est une suite croissante de parties bor´eliennes telle que pour tout n≥0,An soit ₂n-entour´ee, alors la r´eunionA=S

n≥0An est 2-entour´ee.

3.e. Montrer que toute partie bor´elienne est -entour´e pour tout > 0.

Indication: Montrer que l’ensemble des parties bor´eliennes qui sont-entour´ees pour tout >0 est une tribu contenant les parties compactes.

Conclure que pour toutes partie bor´elienneA et mesure bor´elienneµ, on a µ(A) = inf

A⊂Uouvert µ(U) = sup

A⊃Fferm´e

µ(F).

Barˆeme indicatif: 6 + 6 + 8