Analyse II, Exercices, 2007-2008 Liste 4, FB, October 23, 2007(V1:15-08-06)
Analyse II
Liste “type” 4 Mardi 30 octobre 2007 REMARQUES pour les s´eances de r´ep´etition
- R´ef: notamment le livre de r´ef´erence pour le cours, `a savoirErwin KreyzsigChapitre 13 - A la r´ep´etition: exercices *
FONCTIONS D’UNE VARIABLES COMPLEXE, 1ere partie
1. D´eterminer la partie r´eelle et la partie imaginaire des complexes suivants 1 +i
1−2i, 1 2i3−1.
2. (*) D´eterminer le module et la valeur principale (ie dans ]−π, π]) de l’argument des complexes suivants
ei, (1 +i)12, z1, z2, z1z2
o`u z1=−2 + 2iet z2= 5i.
3. D´eterminer les racines quatri`emes de 1 (resp. 16i) et en donner une repr´esentation g´eom´etrique.
4. (*) R´esoudre les ´equations suivantes (z est une variable complexe)
z2+ 1 = 0, z4−16 = 0, z4+ 16 = 0, z2+z+ 1 = 0, z3−1 = 0, z2−i= 0.
5. Exercices 1-10 EK p617
6. On d´efinit C2 comme ´etant l’ensemble des couples de complexes (appel´e encore vecteur `a deux composantes complexes). Dans cet ensemble, on d´efinit l’addition et la multiplication par un complexe (par ...), de mˆeme que leproduit scalaire
<(z1, z2),(z1′, z2′)>=z1z1′ +z2z′2 et la norme
k(z, z′)k=p
|z|2+|z′|2.
Calculer la norme de (1, i) et le produit scalaire des ´el´ements suivants deC2 : (1, i) et (1 +i,1+i1 ).
G´en´eralisation possible `aCn.
7. La s´erie de terme g´en´eral 1/n! converge-t-elle? Pourquoi? En d´eterminer la somme.
La s´erie de terme g´en´eral 1/3mconverge-t-elle? Pourquoi? En d´eterminer la somme.
Dans chacun des cas suivants, d´eterminer si les s´eries sont absolument convergentes/semi-convergentes.
Si besoin, pr´eciser en fonction du complexez.
• P+∞ m=1
(−z)m m
• P+∞ m=1
(10−15i)m m!
• P+∞
m=1(1 +i)−m
• P+∞
m=1m2 3im
8. (*) Soitf(z) =|z|. CalculerR
γ1f(z)dz+R
γ2f(z)dz+R
γ3f(z)dzpour les cheminsC1 suivants.
1
i 2
3
1
1
CalculerR
γf(z)dz avecf(z) =z, f(z) =z, f(z) = 1z, f(z) =z12 et γ 1 i
9. (*) Soit
Sγ = Z
γ
z dz.
• Montrer que, siγest ferm´e, alors l’expression 2i1Sγ est r´eelle et en donner une interp´etation.
• CalculerSγ pour le chemin form´e par la juxtaposition du segment joignant l’origine au point de coordonn´ees (1,0) et du segment joignant (1,0) et (1,1).
10. D´eterminer si les fonctions suivantes, prolong´ees par 0 en 0, sont continues en 0 f(z) = ℜz2
|z2|, g(z) =|z|2ℜ 1
z
.
11. Montrer que la fonctionf(z) =ℜz n’est analytique (holomorphe) en aucun point.
12. Montrer directement que la fonctionf d´efinie parf(z) =ℜ(cosz) est harmonique dansR2. 13. D´eterminer les parties r´eelle et imaginaire du complexe cos(1 +i)
14. R´esoudre les ´equations suivantes en la variable complexez
cosz= 0, cosz= 1, cosz= 3, sinhz= 0.
15. (*) D´eterminerLogπz=Logz=Lnz(resp. Log0z) pour les complexesz suivants
−10, 2−2i, i, −i, e−i.
D´eterminer les parties r´eelle et imaginaire des complexes suivants (d´efinition des puissances utilisant LogpuisLog0) :
(−i)i, (−1)1+i. 16. (*) D´eterminer o`u les fonctions suivantes sont holomorphes
1
sinz, 1
z4+ 1, Log0(1 +z), Logz z3+ 1
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Analyse II
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Les solutions sont disponibles en format pdf (par exemple sur le site web www.afo.ulg.ac.be) (solutions
`a la liste 4 de 2006-2007).
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