Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE LM364 – Intégration 1 Année 2011–12
Examen final du 13 décembre 2011 (1ère session)
Durée : 2 heures. Tous documents interdits. La qualité et la rigueur de la rédaction seront prises en compte.
Exercice 1. On rappelle quecosh(t) = (et+e−t)/2. Soit fx(t) := ext
cosh(t) t, x∈R, etF:R→Rdéfinie par
F(x) :=
Z
R
fxdλ, oùλ désigne la mesure de Lebesgue.
a) Expliquer pourquoiF est bien définie et déterminer l’ensembleD:={t∈R:F(t)<∞}.
b) Soit a∈]0,1[. Justifier le fait que la fonctionF est dérivable sur[−a, a].
c) Montrer que la fonction F est dérivable sur ]−1,1[ et donner une expression de F0 sous forme intégrale.
d) Montrer que limx→1,x<1F(x) = +∞.
Exercice 2. Soit(E,A, µ)un espace mesuré,F et(fn)n∈Ndes fonctions éléments deF(A,B(R)).
On suppose que les deux conditions suivantes sont satisfaites : (i) pour toutx∈E, pour tout n∈N, 06fn(x)6F(x), (ii) pour toutx∈E, F(x) = limnfn(x).
a) Rappeler pourquoi F est mesurable et en redonner une démonstration.
b) Montrer que R
F dµ= limn→∞
R fndµ.
Exercice 3. Soit (E,A) un espace mesurable, (An) une suite d’éléments de A et (αn) une suite de nombres réels. On pose f :=P+∞
n=0αn1An.
a) Pour chacune des conditions suivantes, dire si elle est suffisante pour quef soit bien définie comme application deEversR, et justifier (éventuellement à l’aide d’un contre-exemple) : (i) lim supnAn =∅
(ii) lim infnAn=∅
(iii) la suite (αn)est bornée
(iv) la série de terme général (αn)est absolument convergente (v) pour tout n, αn≥0.
b) Lorsqu’elle est bien définie, montrer que f est mesurable.
c) Soitµune mesure sur(E,A). On suppose que la série de terme généralαnµ(An)converge absolument. Montrer que f est bien définie µ-p.p., est µ-intégrable, et que
Z
E
f dµ=X
n≥0
αnµ(An).
