Suites numériques : TD n

Suites numériques : TD n

1

I

Soit (un)_n∈Nla suite définie par :un=3n²+5n−1.

Exprimer en fonction den: un+1 ; un+1 ; un−1 ; u2n

II

Soit (un)_n∈Nla suite définie par :un=2n+3 n+1 . Exprimer en fonction den:un−1 ;un−1,u_n²,u_n².

III

On considère la suite (un) définie par :

½ u₀=1

un+1=2un−3 . Calculer les cinq premiers termes de cette suite.

IV

Soit (u_n) la suite définie par





 u0=2 un+1=2+un

u_n−1 . Calculer les premiers termes de cette suite.

V

Pour certaines suites définies par récurrence, le calcul des différents termes peut être compliqué. On peut vouloir plus simplement représenter géométriquement, sur l’axe des abscisses d’un repère, ces termes pour avoir une idée du comportement de la suite.

Voici comment faire, expliqué sur un exemple :

Considérons la suite définie paru₀=1 et la relationu_n+1= 1

3u_n+3. On a doncu_n+1=f(u_n), avec f(x)=1 3x+3.

• On commence par tracer dans un repère ³ O;−→

i ;−→ j´

la droiteD _{d’équation y =x} (première bissectrice), puis la courbeC_f, représentative def

• On place u0 =1 sur l’axe des abscisses. Par définition, u1 = f(u0). On construit alors le point de la courbe C_f d’abscisseu₀.

Son ordonnée estu1=f(u0).

• On construit le point de même ordonnée u1 sur D_{. Ce} point a alors pour abscisse u1. On placeu1 sur l’axe des abscisses.

• On recommence alors à partir de u1. On construit alors le point de C_f d’abscisse u1. Il a pour ordonnéeu2. On construit le point de /∆de même ordonnée et ainsi de suite... On relie les différents points par des segments de droite.

• Faire cette construction jusqu’àu₅. Voici ce que cela donne :

u0 u1 ^u2 u3u4

u5 1

2 3 4 5

-1

1 2 3 4 5

-1 0 _~i

~j

Que se passe-til pour la construction des termes suivants ? VI

Représenter de même les premiers termes de la suite définie paru0=3 etu_n+1 = 2

1+u_n. La courbe est représentée ci- dessous.

O →− i

−

→j C_f

D