TES 5 DS 6 1er f´evrier 2017 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Classique (10 minutes) (4 points)
Soit les fonctionsf et F d´efinies surRpar : f(x) = 6x2−2x+ 7 etF(x) = 2x3−x2+ 7x−5.
1. Montrer queF est une primitive def surR.
2. En d´eduire : Z 1
0
f(x)dx.
3. D´eterminer une primitiveGtel queG(0) = 0.
Solution:
1. F0(x) = 6x2−2x+ 7 donc F est une primitive de f 2.
Z 1 0
f(x)dx=F(1)−F(0) = 3 + 5 = 8
3. G(x) =F(x)−F(0) = 2x3−x2+ 7xest une primitive de f telle queG(0) = 0
Exercice 2 : Probl`eme (45 minutes) (16 points)
Les deux parties de cet exercice sont ind´ependantes.
Partie A
1. Encadrer par deux entiers cons´ecutifs chacune des solutions de l’´equation f(x) = 10 sur l’intervalle [0 ; 7].
2. Donner le maximum de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 7] et pr´eciser la valeur en laquelle il est atteint.
3. La valeur de l’int´egrale Z 3
1
f(x) dxappartient `a un seul des intervalles suivants. Lequel ?
a. [9 ; 17] b. [18 ; 26] c. [27 ; 35]
Solution:
Dans cette partie, les r´eponses seront donn´ees sans justification, avec la pr´ecision permise par le graphique situ´e en annexe . Celui-ci pr´esente dans un rep`ere d’origine O la courbe repr´esentative C d’une fonction f d´efinie et d´erivable sur l’intervalle[0 ; 7].
1. l’intervalle [0 ; 7]. L’´equationf(x) = 10 admet deux solutions dans[0 ; 7]: l’une se trouve dans l’intervalle [0 ; 1]; l’autre dans l’intervalle[2 ; 3].
2. Le maximum de la fonctionf sur l’intervalle[0 ; 7]est d’environ 14,8 et il semble atteint pourx= 1.
3. SoitIla valeur de l’int´egrale Z 3
1
f(x) dx.
La fonctionf est positive sur [0 ; 7] donc l’int´egraleI est ´egale `a l’aire du domaine d´elimit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les deux droites d’´equationsx= 1 etx= 3 (domaine hachur´e en gris sur le graphique.
Ce domaine contient le polygone hachur´e en rouge dont l’aire est de 17 doncI >17.
Ce domaine est contenu dans le polygone dessin´e en noir dont l’aire est de 26 doncI <26.
Le seul intervalle qui convienne est[18 ; 26].
Partie B
La courbe donn´ee en annexe est la repr´esentation graphique de la fonctionf d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0 ; 7]
d’expression :f(x) = 2xe−x+3.
On rappelle quef0 d´esigne la fonction d´eriv´ee de la fonctionf.
1. Montrer que pour tout r´eelxde l’intervalle [0 ; 7],f0(x) = (−2x+ 2)e−x+3.
2. (a) ´Etudier le signe def0(x) sur l’intervalle [0 ; 7] puis en d´eduire le tableau de variation de la fonctionf sur ce mˆeme intervalle.
(b) Calculer le maximum de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 7].
TES 5 DS 6 Page 2 sur 4 3. (a) Justifier que l’´equation f(x) = 10 admet deux solutions sur l’intervalle [0 ; 7] que l’on notera αet β avec
α < β.
(b) On admet queα≈0,36 `a 10−2pr`es.
Donner une valeur approch´ee deβ `a 10−2 pr`es.
4. On consid`ere la fonctionF d´efinie sur l’intervalle [0 ; 7] par :F(x) = (−2x−2)e−x+3. (a) Justifier queF est une primitive def sur l’intervalle [0 ; 7].
(b) Calculer la valeur exacte de l’aire, en unit´es d’aire, du domaine plan d´elimit´e par les droites d’´equation x= 1, x= 3, l’axe des abscisses et la courbeC.
5. La fonctionf´etudi´ee mod´elise le b´en´efice d’une entreprise, en milliers d’euros, r´ealis´e pour la vente dexcentaines d’objets (xcompris entre 0 et 7).
(a) Calculer la valeur moyenne du b´en´efice, `a l’euro pr`es, lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets.
(b) L’entreprise souhaite que son b´en´efice soit sup´erieur `a 10 000 euros.
D´eterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
Solution:
Partie B
La courbe donn´ee en annexe est la repr´esentation graphique de la fonction f d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0 ; 7]d’expression :f(x) = 2xe−x+3.
1. f0(x) = 2×e−x+3+ 2x×(−1) e−x+3= (2−2x) e−x+3= (−2x+ 2) e−x+3
2. (a) Pour tout r´eelx, e−x+3>0 doncf0(x) est du signe de−2x+ 2 qui s’annule et change de signe pour x= 1.
f(0) = 0 ;f(1) = 2 e2≈14,78 et f(7) = 14 e−4≈0,26
On ´etablit le tableau de variation de la fonctionf sur[0 ; 7]: x
−2x+ 2 f0(x)
f
0 1 7
+ −
+ −
0 0
2e2 2e2
14e−4 14e−4 (b) Le maximum de la fonction f sur l’intervalle[0 ; 7]estf(1) = 2 e2≈14,78.
3. (a) f est continue et strictement croissante sur [0; 2],f(0) = 0 etf(1) = 2e2≈14,78, par le corollaire des valeurs interm´ediairesf(x) = 10 admet une unique solutionαsur [0; 2].
f est continue et strictement d´ecroissante sur [2; 7], f(2) = 2e2 ≈ 14,78 et f(7) = 14e−4 par le corollaire des valeurs interm´ediairesf(x) = 10 admet une unique solutionβ sur [2; 10].
D’apr`es le tableau de variation def, on peut d´eduire que l’´equationf(x) = 10 admet deux solutions dans[0 ; 7].
(b) On admet queα≈0,36 `a 10−2pr`es. On v´erifie quef(0,36)>10.
f(2)≈10,9>10 f(3) = 6<10
=⇒ β ∈[2 ; 3] f(2,1)≈10,3>10 f(2,2)≈9,8<10
=⇒ β ∈[2,1 ; 2,2]
f(2,16)≈10,01>10 f(2,17)≈9,95<10
=⇒ β ∈[2,16 ; 2,17]
Donc 2,16 est une valeur approch´ee au centi`eme deβ.
4. On consid`ere la fonctionF d´efinie sur l’intervalle[0 ; 7]par :F(x) = (−2x−2)e−x+3.
(a) F(x) = (−2)×e−x+3+ (−2x−2)×(−1) e−x+3= (−2 + 2x+ 2) e−x+3 = 2xe−x+3=f(x) doncF est une primitive de f sur l’intervalle[0 ; 7].
TES 5 DS 6 Page 3 sur 4 (b) La fonctionf est positive sur l’intervalle[0 ; 7]donc la valeur de l’aire, en unit´es d’aire, du domaine
d´elimit´e par les droites d’´equationx= 1, x= 3, l’axe des abscisses et la courbeCf est Z 3
1
f(x) dx.
Z 3 1
f(x) dx=h F(x)i3
1=F(3)−F(1) = (−8)− −4 e2
= 4 e2−8 unit´es d’aire.
5. La fonctionf ´etudi´ee mod´elise le b´en´efice d’une entreprise, en milliers d’euros, r´ealis´e pour la vente dex centaines d’objets (xcompris entre 0 et 7).
(a) La valeur moyenne du b´en´efice lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets, donc entre 1 et 3 centaines d’objets, est :
1 3−1
Z 3 1
f(x) dx=4 e2−8
2 = 2 e2−4 milliers d’euros, soit environ 10 778 euros.
(b) L’entreprise souhaite que son b´en´efice soit sup´erieur `a 10 000 euros, ce qui revient `a d´eterminerxpour quef(x)>10.
D’apr`es les questions pr´ec´edentes, le nombre d’objets que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif doit aller deα`a β centaines, donc deα×100 `a β×100, et donc de 36 `a 216 objets.
TES 5 DS 6 Page 4 sur 4
Baccalauréat ES/L
A. P. M. E. P.
ANNEXE
N’est pas à rendre avec la copie
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 x 8
y
C
Pondichéry
