TES 5 DS 6 1er f´evrier 2017 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Classique (10 minutes) (4 points)
Soit les fonctionsf etF d´efinies surR par : f(x) = 6x2−2x+ 7 etF(x) = 2x3−x2+ 7x−5.
1. Montrer queF est une primitive def surR.
2. En d´eduire : Z 1
0
f(x)dx.
3. D´eterminer une primitive Gtel queG(0) = 0.
Exercice 2 : Probl`eme (45 minutes) (16 points)
Les deux parties de cet exercice sont ind´ependantes.
Partie A
1. Encadrer par deux entiers cons´ecutifs chacune des solutions de l’´equation f(x) = 10 sur l’intervalle [0 ; 7].
2. Donner le maximum de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 7] et pr´eciser la valeur en laquelle il est atteint.
3. La valeur de l’int´egrale Z 3
1
f(x) dx appartient `a un seul des intervalles suivants. Lequel ?
a. [9 ; 17] b. [18 ; 26] c. [27 ; 35]
Partie B
La courbe donn´ee en annexe est la repr´esentation graphique de la fonction f d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0 ; 7] d’expression :f(x) = 2xe−x+3.
On rappelle quef0 d´esigne la fonction d´eriv´ee de la fonctionf.
1. Montrer que pour tout r´eel x de l’intervalle [0 ; 7],f0(x) = (−2x+ 2)e−x+3.
2. (a) ´Etudier le signe def0(x) sur l’intervalle [0 ; 7] puis en d´eduire le tableau de variation de la fonction f sur ce mˆeme intervalle.
(b) Calculer le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 7].
3. (a) Justifier que l’´equationf(x) = 10 admet deux solutions sur l’intervalle [0 ; 7] que l’on noteraαet β avec α < β.
(b) On admet que α≈0,36 `a 10−2 pr`es.
Donner une valeur approch´ee de β `a 10−2 pr`es.
4. On consid`ere la fonctionF d´efinie sur l’intervalle [0 ; 7] par :F(x) = (−2x−2)e−x+3. (a) Justifier que F est une primitive def sur l’intervalle [0 ; 7].
(b) Calculer la valeur exacte de l’aire, en unit´es d’aire, du domaine plan d´elimit´e par les droites d’´equation x= 1, x= 3, l’axe des abscisses et la courbe C.
5. La fonction f ´etudi´ee mod´elise le b´en´efice d’une entreprise, en milliers d’euros, r´ealis´e pour la vente dex centaines d’objets (xcompris entre 0 et 7).
(a) Calculer la valeur moyenne du b´en´efice, `a l’euro pr`es, lorsque l’entreprise vend entre 100 et 300 objets.
(b) L’entreprise souhaite que son b´en´efice soit sup´erieur `a 10 000 euros.
D´eterminer le nombre d’objets possibles que l’entreprise devra vendre pour atteindre son objectif.
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Baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.
ANNEXE
N’est pas à rendre avec la copie
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 x 8
y
C
Pondichéry 6 26 avril 2017
