St. Joseph/ICAM Toulouse CB3 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦4 - ESPACES PREHILBERTIENS - Sujet 1
On considère l’espace vectoriel E = R[X], la famille P0 =X0, P1 =X, P2=X2
∈ E3 et le sous- espace vectoriel F =Vect{P0, P1, P2}.
On définit surE2 l’application suivante :
ϕ: (P, Q)7→
Z 1 0
P(t)Q(t)dt.
1. Montrer queϕ est un produit scalaire surE.
• ϕest bien une forme sur E puisque les fonctions polynômes sont continues sur[0,1].
• ∀(P, Q)∈E2, ϕ(P, Q) =ϕ(Q, P), donc ϕest une forme symétrique.
• La linéarité de l’intégrale nous donne immédiatement : ∀(P, Q, R)∈E3, ∀λ∈R,
ϕ(P +λQ, R) = Z 1
0
(P+λQ)(t)R(t)dt
= Z 1
0
P(t)R(t)dt+λ Z 1
0
Q(t)R(t)dt
= ϕ(P, R) +λϕ(Q, R),
d’où la linéarité deϕpar rapport à la première variable, et par symétrie la bilinéarité de la forme ϕ.
• ∀P ∈E, ϕ(P, P) =R1
0 P2(t)dt≥0, donc la forme ϕest positive.
• ϕ(P, P) = 0 ⇒ R1
0 P2(t)dt = 0 ⇒ P2(t) = 0, ∀t ∈ [0,1] car t 7→ P2(t) est continue et positive sur [0,1] donc P(t) = 0 ∀t∈[0,1] donc P est un polynôme qui admet une infinité de racines, donc P = 0, doncϕ est définie.
Conclusion :ϕest une forme bilinéaire symétrique définie positive, donc un produit scalaire sur E.
2. Montrer que, pour tout polynôme P ∈E, on a : Z 1
0
tP(t)dt 2
6 1 3
Z 1 0
P2(t)dt.
ϕétant un produit scalaire, on peut utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui nous donne :
∀(P, Q)∈E2, |ϕ(P, Q)| ≤p
ϕ(P, P)p
ϕ(Q, Q), donc en prenant Q=X, on trouve :
Z 1
0
tP(t)dt
≤ s
Z 1
0
t2dt Z 1
0
P2(t)dt⇔ Z 1
0
tP(t)dt 2
6 1 3
Z 1
0
P2(t)dt.
3. Déterminer une base orthonormale(Q0, Q1, Q2) deF. Base orthonormale(Q0, Q1, Q2) surF :
Q0=X0; Q1= 2√ 3
X−X0 2
; Q2= 6√ 5
X2−X+X0 6
.
4. Déterminer pF X3
.pF X3
= 14Q0+3
√ 3 20 Q1+
√ 5
20Q2= 32X2−35X+201X0.
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB3 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦4 - ESPACES PREHILBERTIENS - Sujet 2
On considère l’espace vectoriel E = R[X], la famille P0 =X0, P1 =X, P2=X2
∈ E3 et le sous- espace vectoriel F =Vect{P0, P1, P2}.
On définit surE2 l’application suivante :
ϕ: (P, Q)7→
Z 1
−1
P(t)Q(t)dt.
1. Montrer queϕ est un produit scalaire surE.
• ϕest bien une forme sur E puisque les fonctions polynômes sont continues sur[0,1].
• ∀(P, Q)∈E2, ϕ(P, Q) =ϕ(Q, P), donc ϕest une forme symétrique.
• La linéarité de l’intégrale nous donne immédiatement : ∀(P, Q, R)∈E3, ∀λ∈R,
ϕ(P+λQ, R) = Z 1
−1
(P+λQ)(t)R(t)dt
= Z 1
−1
P(t)R(t)dt+λ Z 1
−1
Q(t)R(t)dt
= ϕ(P, R) +λϕ(Q, R),
d’où la linéarité deϕpar rapport à la première variable, et par symétrie la bilinéarité de la forme ϕ.
• ∀P ∈E, ϕ(P, P) =R1
−1P2(t)dt≥0, donc la formeϕest positive.
• ϕ(P, P) = 0 ⇒ R1
−1P2(t)dt = 0 ⇒ P2(t) = 0, ∀t ∈ [−1,1] car t 7→ P2(t) est continue et positive sur [-1,1] doncP(t) = 0∀t∈[−1,1]donc P est un polynôme qui admet une infinité de racines, donc P = 0, doncϕ est définie.
Conclusion :ϕest une forme bilinéaire symétrique définie positive, donc un produit scalaire sur E.
2. Montrer que, pour tout polynôme P ∈E, on a : Z 1
−1
tP(t)dt 2
6 2 3
Z 1
−1
P2(t)dt.
ϕétant un produit scalaire, on peut utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui nous donne :
∀(P, Q)∈E2, |ϕ(P, Q)| ≤p
ϕ(P, P)p
ϕ(Q, Q), donc en prenant Q=X, on trouve :
Z 1
−1
tP(t)dt
≤ s
Z 1
−1
t2dt Z 1
−1
P2(t)dt⇔ Z 1
−1
tP(t)dt 2
6 2 3
Z 1
−1
P2(t)dt.
3. Déterminer une base orthonormale(Q0, Q1, Q2) deF. Base orthonormale(Q0, Q1, Q2) surF :
Q0 = X0
√
2 ; Q1= r3
2X; Q2= 3√ 5 2√
2
X2− X0 3
.
4. Déterminer pF X3+X4 . PF X3+X4
=
√2 5 Q0+
√6
5 Q1+23
√5 70√
2Q2= 6956X2+ 35X−28059X0.
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