St. Joseph/ICAM Toulouse CB5 - 2017-2018 - Correction
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens - Sujet 1
Soitn∈N∗. Pour (P, Q)∈Rn[X], on pose :
ϕ(P, Q) = Z 1
−1
P(t)Q(t)(1 +t2)dt
1. Montrer queϕ est un produit scalaire surRn[X].
Pour tout (P, Q) ∈ Rn[X], la fonction t 7→ P(t)Q(t)(1 +t2) est continue sur [−1,1], donc ϕ(P, Q)∈R.
ϕest clairement symétrique et, par linéarité de l’intégrale, linéaire par rapport à sa deuxième variable, donc bilinéaire.
Soit P ∈Rn[X]. La fonction t7→P(t)2(1 +t2) est continue et positive sur[−1,1]donc par positivité de l’intégrale, ϕ(P, P)≥0; de plus, on a :
(ϕ(P, P) = 0)⇔(∀t∈[−1,1], P(t)2(1 +t2) = 0)⇔(∀t∈[−1,1], P(t) = 0).
Ainsi, si ϕ(P, P) = 0, alors le polynôme P admet une infinité de racines, c’est donc le polynôme nul.
Finalement, ϕest une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c’est un produit scalaire.
On notera par la suite ϕ(P, Q) = (P|Q).
2. Déterminer une base orthonormée deR2[X]pour ce produit scalaire.
Remarquons tout d’abord que pour tout(n, m)∈N : (Xn|Xm) =
Z 1
−1
tn+m+t2+n+mdt=
0 si n+m est impair
2
n+m+ 1+ 2
n+m+ 3 si n+m est pair On notera (P0, P1, P2) la base orthonormée.
? (X0|X0) = 8
3; on prend doncP0= r3
8X0.
? X−(X|P0)
| {z }
0
P0 =X et(X|X) = 16
15; on prend P1 =
√15 4 X.
? X2−(X2|P0)P0−(X2|P1)
| {z }
0
P1 =X2−2 5 et
X2−2
5|X2−2 5
= 136 525.
On prend P2 = r525
136
X2−2 5
.
3. Calculer la distance deX2 àR1[X].
R1[X] est un sous-espace vectoriel de R2[X], admettant pour base orthonormée (P0, P1) pour le produit scalaireϕ. On en déduit que, dansR2[X],R1[X]⊥=Vect{P2}.
Pour déterminer la distance deX2 à R1[X], deux méthodes :
∗ En utilisant la formule : d X2,R1[X]
=kX2−pR1[X](X2)k.
On a :pR1[X](X2) = (X2|P0)P0+ (X2|P1)P1 = 2
5, doncd X2,R1[X]
=kX2−2 5k=
r136 525 (qui a déjà été calculé !).
∗ En utilisant la formule d X2,R1[X]
=kpR1[X]⊥(X2)k.
On a : d X2,R1[X]
=k(X2|P2)P2)k=|(X2|P2)|= r136
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB5 - 2017-2018 - Correction
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens - Sujet 2
Soitn∈N∗. Pour (P, Q)∈Rn[X], on pose :
ϕ(P, Q) = Z 1
−1
P(t)Q(t)(1−t2)dt
1. Montrer queϕ est un produit scalaire surRn[X].
Pour tout (P, Q) ∈ Rn[X], la fonction t 7→ P(t)Q(t)(1−t2) est continue sur [−1,1], donc ϕ(P, Q)∈R.
ϕest clairement symétrique et, par linéarité de l’intégrale, linéaire par rapport à sa deuxième variable, donc bilinéaire.
Soit P ∈Rn[X]. La fonction t7→P(t)2(1−t2) est continue et positive sur[−1,1]donc par positivité de l’intégrale, ϕ(P, P)≥0; de plus, on a :
(ϕ(P, P) = 0)⇔(∀t∈[−1,1], P(t)2(1−t2) = 0)⇔(∀t∈]−1,1[, P(t) = 0).
Ainsi, si ϕ(P, P) = 0, alors le polynôme P admet une infinité de racines, c’est donc le polynôme nul.
Finalement, ϕest une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c’est un produit scalaire.
On notera par la suite ϕ(P, Q) = (P|Q).
2. Déterminer une base orthonormée deR2[X]pour ce produit scalaire.
Remarquons tout d’abord que pour tout(n, m)∈N : (Xn|Xm) =
Z 1
−1
tn+m−t2+n+mdt=
0 si n+m est impair
2
n+m+ 1− 2
n+m+ 3 si n+m est pair On notera (P0, P1, P2) la base orthonormée.
? (X0|X0) = 4
3, on prend donc P0 = r3
4X0.
? X−(X|P0)
| {z }
0
P0 =X et(X|X) = 4
15; on prend P1 =
√15 2 X.
? X2−(X2|P0)P0−(X2|P1)
| {z }
0
P1 =X2−1 5 et
X2−1
5|X2−1 5
= 32 525.
On prend P2 = r525
32
X2−1 5
.
3. Calculer la distance deX2 àR1[X].
R1[X] est un sous-espace vectoriel de R2[X], admettant pour base orthonormée (P0, P1) pour le produit scalaireϕ. On en déduit que, dansR2[X],R1[X]⊥=Vect{P2}.
Pour déterminer la distance deX2 à R1[X], deux méthodes :
∗ En utilisant la formule : d X2,R1[X]
=kX2−pR1[X](X2)k.
On a :pR1[X](X2) = (X2|P0)P0+ (X2|P1)P1 = 1
5, doncd X2,R1[X]
=kX2−1 5k=
r 32 525 (qui a déjà été calculé).
∗ En utilisant la formule d X2,R1[X]
=kp
R1[X]⊥(X2)k.
On a : d X2,R1[X]
=k(X2|P2)P2)k=|(X2|P2)|= r 32
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