St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦4 - ESPACES PREHILBERTIENS - Sujet 1
On considère l’espace vectoriel E = R[X], la famille P0 =X0, P1 =X, P2=X2
∈ E3 et le sous- espace vectoriel F =Vect{P0, P1, P2}.
On définit surE2 l’application suivante :
ϕ: (P, Q)7→
Z 1 0
P(t)Q(t)dt.
1. Montrer queϕ est un produit scalaire surE.
2. Montrer que, pour tout polynôme P ∈E, on a : Z 1
0
tP(t)dt 2
6 1 3
Z 1
0
P2(t)dt.
3. Déterminer une base orthonormale(Q0, Q1, Q2) deF. 4. Déterminer pF X3
.
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CB n
◦4 - ESPACES PREHILBERTIENS - Sujet 2
On considère l’espace vectoriel E = R[X], la famille P0 =X0, P1 =X, P2=X2
∈ E3 et le sous- espace vectoriel F =Vect{P0, P1, P2}.
On définit surE2 l’application suivante :
ϕ: (P, Q)7→
Z 1
−1
P(t)Q(t)dt.
1. Montrer queϕ est un produit scalaire surE.
2. Montrer que, pour tout polynôme P ∈E, on a : Z 1
−1
tP(t)dt 2
6 2 3
Z 1
−1
P2(t)dt.
3. Déterminer une base orthonormale(Q0, Q1, Q2) deF. 4. Déterminer pF X3+X4
.
Spé PT B CB4 - 2016-2017
