St. Joseph/ICAM Toulouse Durée: 45 min
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens - Sujet 1
Soitn∈N∗. Pour (P, Q)∈Rn[X], on pose :
ϕ(P, Q) = Z 1
−1
P(t)Q(t)(1 +t2)dt
1. Montrer queϕ est un produit scalaire surRn[X].
2. Déterminer une base orthonormée deR2[X]pour ce produit scalaire.
3. Calculer la distance deX2 àR1[X].
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens - Sujet 2
Soitn∈N∗. Pour (P, Q)∈Rn[X], on pose :
ϕ(P, Q) = Z 1
−1
P(t)Q(t)(1−t2)dt 1. Montrer queϕ est un produit scalaire surRn[X].
2. Déterminer une base orthonormée deR2[X]pour ce produit scalaire.
3. Calculer la distance deX2 àR1[X].
Spé PT B CB5 - 2017-2018
