St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens - Sujet 1
Pour (P, Q)∈R[X], on pose :
ϕ(P, Q) = Z +∞
0
e−2tP(t)Q(t)dt 1. Questions préliminaires d’analyse.
a. Justifier que pour tout (P, Q)∈R[X]2, Z +∞
0
e−2tP(t)Q(t)dt converge.
b. Pour n∈N, on note In= Z +∞
0
tne−2tdt. Montrer que pour toutn∈N∗, In= n 2In−1. c. CalculerI0, et en déduireI1,I2,I3 etI4.
2. Montrer que ϕest un produit scalaire surR[X].
3. Déterminer une base orthonormée de Vect{X0, X} pour ce produit scalaire.
4. Calculer la distance deX2 à Vect{X0, X}.
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens - Sujet 2
Pour (P, Q)∈R[X], on pose :
ϕ(P, Q) = Z +∞
0
e−3tP(t)Q(t)dt 1. Questions préliminaires d’analyse.
a. Justifier que pour tout (P, Q)∈R[X]2, Z +∞
0
e−3tP(t)Q(t)dt converge.
b. Pour n∈N, on note In= Z +∞
0
tne−3tdt. Montrer que pour toutn∈N∗, In= n 3In−1. c. CalculerI0, et en déduireI1,I2,I3 etI4.
2. Montrer que ϕest un produit scalaire surR[X].
3. Déterminer une base orthonormée de Vect{X0, X} pour ce produit scalaire.
4. Calculer la distance deX2 à Vect{X0, X}.
Spé PT B CB5 - 2019-2020
