St. Joseph/ICAM Toulouse CB5 - 2019-2020 - Correction
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens - Sujet 1
Pour (P, Q)∈R[X], on pose :
ϕ(P, Q) = Z +∞
0
e−2tP(t)Q(t)dt 1. Questions préliminaires d’analyse.
a. Justifier que pour tout (P, Q)∈R[X]2, Z +∞
0
e−2tP(t)Q(t)dt converge.
Pour tout (P, Q)∈R[X]2, la fonction t7→P(t)Q(t)e−2test continue sur [0; +∞[; de plus, par croissances comparées, lim
x→+∞t2P(t)Q(t)e−2t = 0 donc P(t)Q(t)e−2t = o+∞
1 t2
et par comparaison à une intégrale de Riemann convergente,
Z +∞
0
e−2tP(t)Q(t)dtconverge.
b. Pour n∈N, on note In= Z +∞
0
tne−2tdt. Montrer que pour toutn∈N∗, In= n 2In−1. Soitn∈N∗. On noteu:t7→tnetv:t7→ −e−2t
2 .uetvsont de classeC1 sur[0; +∞[, etlim
+∞uv= 0 par croissances comparées.
D’après le théorème d’intégration par parties, comme on a prouvé la convergence de Z +∞
0
u(t)v0(t)dt, on a, pourn∈N∗ :In=
−tne−2t 2
+∞
0
+n
2In−1 = n 2In−1. c. CalculerI0, et en déduireI1,I2,I3 etI4.
Z +∞
0
e−2tdt=
−e−2t 2
+∞
0
= 1
2. On déduit de la question précédente :I1=I2= 1
4,I3= 3
8,I4= 3 4. 2. Montrer que ϕest un produit scalaire surR[X].
On a montré dans la question1que ϕest à valeurs réelles.
ϕ est clairement symétrique et, par linéarité de l’intégrale généralisée, linéaire par rapport à sa deuxième variable, donc bilinéaire.
SoitP ∈R[X]. La fonctiont7→ P(t)2e−2t est continue et positive sur[0; +∞[donc par positivité de l’intégrale, ϕ(P, P)≥0; de plus, on a :
(ϕ(P, P) = 0)⇔(∀t∈[0; +∞[, P(t)2e−2t= 0)⇔(∀t∈[0; +∞[, P(t) = 0).
Ainsi, siϕ(P, P) = 0, alors le polynômeP admet une infinité de racines, c’est donc le polynôme nul.
Finalement, ϕest une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c’est un produit scalaire.
On notera par la suite ϕ(P, Q) = (P|Q).
3. Déterminer une base orthonormée de Vect{X0, X} pour ce produit scalaire.
On notera (P0, P1)la base orthonormée recherchée.
? (X0|X0) = 1
2; on prend P0 =
√ 2X0.
? X−(X|P0)
| {z√ }
2 4
P0 =X−1 2 et
X−1
2|X−1 2
) = 1
8; on prend P1 = 2√ 2
X−1
2
.
4. Calculer la distance deX à Vect{X0, X}.
On noteF =Vect{X0, X}. En utilisant la formuled(X, F)2 =kX2−pF(X2)k2, on obtient : d X2, F2
=kX2−(X2|P0)
| {z√ }
2 4
P0−(X2|P1)
| {z√ }
2 2
P1k2 =kX2−2X+1 2k2 = 1
8, donc d X2, F
=
√ 2 4 .
Spé PT B Page 1 sur 2
St. Joseph/ICAM Toulouse CB5 - 2019-2020 - Correction
CB n
◦5 - Espaces préhilbertiens - Sujet 2
Pour (P, Q)∈R[X], on pose :
ϕ(P, Q) = Z +∞
0
e−3tP(t)Q(t)dt 1. Questions préliminaires d’analyse.
a. Justifier que pour tout (P, Q)∈R[X]2, Z +∞
0
e−3tP(t)Q(t)dt converge.
Pour tout (P, Q)∈R[X]2, la fonction t7→P(t)Q(t)e−3test continue sur [0; +∞[; de plus, par croissances comparées, lim
x→+∞t2P(t)Q(t)e−3t = 0 donc P(t)Q(t)e−3t = o+∞
1 t2
et par comparaison à une intégrale de Riemann convergente,
Z +∞
0
e−3tP(t)Q(t)dtconverge.
b. Pour n∈N, on note In= Z +∞
0
tne−3tdt. Montrer que pour toutn∈N∗, In= n 3In−1. Soitn∈N∗. On noteu:t7→tnetv:t7→ −e−3t
3 .uetvsont de classeC1 sur[0; +∞[, etlim
+∞uv= 0 par croissances comparées.
D’après le théorème d’intégration par parties, comme on a prouvé la convergence de Z +∞
0
u(t)v0(t)dt, on a, pourn∈N∗ :In=
−tne−3t 3
+∞
0
+n
3In−1 = n 3In−1. c. CalculerI0, et en déduireI1,I2,I3 etI4.
Z +∞
0
e−3tdt=
−e−3t 3
+∞
0
= 1
3. On déduit de la question précédente : I1= 1
9, I2=I3= 2
27,I4= 8 81.
2. Montrer que ϕest un produit scalaire surR[X].
démonstration en tout point identique au sujet 1
3. Déterminer une base orthonormée de Vect{X0, X} pour ce produit scalaire.
On notera (P0, P1)la base orthonormée recherchée.
? (X0|X0) = 1
3; on prend P0 =√ 3X0.
? X−(X|P0)
| {z√ }
3 9
P0 =X−1 3 et
X−1
3|X−1 3
= 1
27; on prendP1 = 3√ 3
X−1
3
.
4. Calculer la distance deX2 à Vect{X0, X}.
On noteF =Vect{X0, X}. En utilisant la formuled(X, F)2 =kX2−pF(X2)k2, on obtient : d X2, F2
=kX2−(X2|P0)
| {z }
2√ 3 27
P0−(X2|P1)
| {z }
4√ 3 27
P1k2 =kX2−4 3X+2
9k2 = 4
243 donc d X2, F
= 2√ 3 27 .
Spé PT B Page 2 sur 2
