Université de Cergy Pontoise Deug MIAS 2, année 2001/2002
Examen d’analyse complexe n
◦1
Exercice 1 : Calcul de la transformée de Fourier dee−t
2
2, on pose :
F(x) = Z +∞
−∞
e−t
2
2e−ixtdt
1. Montrer que l’intégrale est convergente.
2. Soientxun réel strictement positif,ΓRle chemin constitué des 4 segments[−R;R], [R;R+ix],[R+ix;−R+ix],[−R+ix;−R], le tout parcouru dans le sens tri- gonométrique. ReprésenterΓRpuis calculer l’intégrale :
Z
ΓR
e−z
2 2 dz
3. En utilisant l’intégrale de Gauss : Z +∞
−∞
e−t
2
2 dt =√
2π
CalculerF(x)pourx > 0. (On pourra paramètrer les 4 segments et regarder la limite lorsqueRtend vers l’infini de chacune des 4 intégrales)
Exercice 2 : Soienth etg deux fonctions holomorphes sur un ouvertΩdeC,a ∈ Ω, etf = hg.On suppose queg(a) = 0etg0(a)6= 0. Calculer la limite enade(z−a)f(z) en déduire que le résidu def enaest donné par la formule :
Res(f, a) = h(a) g0(a) En déduire le résidu suivant : Rés(z7z+3z−42+1 ,1).
Exercice 3 : On veut calculer l’intégrale suivante I =
Z +∞
0
1 1 +x4 dx
pour cela on posef(z) = 1+z1 4, ∆R le chemin fermé défini par le segment IR : [0;R]
le quart cercle CR de centre O de rayon R > 1 puis le segment JR : [iR; 0], le tout parcouru dans le sens trigonométrique.
1. (a) Déterminer les pôles def. Représenter∆R.
(b) On posea = eiπ4 , calculer le résidu def ena. On pourra utiliser le résultat de l’exercice 2, mais ce n’est pas obligatoire.
(c) Calculer à l’aide du théorème des résidus :R
∆Rf(z)dz.
(d) Montrer que :
R→+∞lim Z
CR
f(z)dz = 0
(e) Montrer queI est une intégrale convergente et donner sa valeur.
2. Montrer en utilisant un secteur angulaire d’angle 2πn que pourn ∈N∗\ {1}on a : Z ∞
0
1
1 +xn dx= π nsinπn
1
