Examen d’analyse complexe

Université de Cergy-Pontoise - L3 - 2008-2009

Examen d’analyse complexe

1^èresession - 17 Décembre 2008 Durée:3heures

I. Exercice

Soit la fonctionf(z) = z²+i,définie surC.

1. Soit le demi-planP = {z ∈ C | Imz >0}.On veut montrer qu’il n’existe pas de fonctionf holomorphe surP,telle quer² =f surP.On raisonne par l’absurde.

(a) On suppose qu’une telle fonctionrexiste. Exprimer la dérivéer⁰ en fonction der.

(b) Trouver un pointz₀ ∈P tel quez²₀+i= 0. Préciser la contradiction en considérantr⁰(z₀).

2. Soitg =Log◦f où Log est la détermination principale du logarithme complexe.

(a) Trouver le domaineHoùgest holomorphe.

(b) Préciser l’expression d’une fonctionr, holomorphe surH, vérifiantr² =f.

3. Comparer les conclusions des questions (1) et (2).

II. Problème

1. Soit la fonctionh(z) = sinh(z),z ∈C.

(a) Vérifier quehest périodique.

(b) Préciser ses zéros et leur ordre de multiplicité.

2. Soit la fonctionf(z) = 1 sinh(z).

(a) Préciser son domaine de définitionD, ses pôles et leur ordre de multiplicité.

(b) Trouver les rayonsretρ(r≤ρ) de la couronne de convergenceC(0;r, ρ)du développe- ment de Laurent def en chaque pôle.

(c) Préciser le résidu def en chaque pôle.

(d) Ecrire le développement de Laurent def en 0en s’arrêtant à l’ordre 3 de la partie série entière de ce développement.

(e) Montrer que la fonctionf(z)− 1

z admet un prolongement analytique en0et calculer sa valeur en0.

3. Soit la fonctiong(z) = 1 z²sinh(z).

(a) Préciser ses pôles et leur ordre de multiplicité.

(b) Calculer son résidu en0.

1

4. Soit R > 0. Soit le rectangle E_R de sommets a = R +i^π₂, b = −R +i^π₂, c = −R −i^π₂, d = R−i^π₂, dont le bord∂ER est l’union des segments [ab], [bc], [cd], [da]parcourus dans le sens direct (cf. figure).

(a) Calculer par la méthode des résidus I_R =

Z

∂ER

g(z)dz.

(b) Montrer, en utilisant la définition d’une integrale curlivigne, que

¯¯

¯¯ Z

[da]

g(z)dz

¯¯

¯¯+

¯¯

¯¯ Z

[bc]

g(z)dz

¯¯

¯¯≤ 2π R²sinh(R). (c) En utilisant à nouveau la définition d’une integrale curlivigne, exprimer

Z

[ab]

g(z)dz+ Z

[cd]

g(z)dz.

(d) En déduire la valeur de Z _∞

−∞

4x² −π²

(4x²+π²)²cosh(x)dx.

2