TaleST I Calcul différentiel Lundi 17 novembre 2008
Devoir surveillé n˚4
EXERCICE no 1 (Calcul de dérivées) Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1. f(x) = 2x15−3x2−5x+ 2−π.
2. f(x) = 2
x+ 3√x−√ 3.
3. f(x) = 8x−3 8 . 4. f(x) = −2
x6.
5. f(x) = (3x2−x)(−2x+ 4).
6. f(x) = 1
x(3x2−x+ 2).
7. f(x) = 2(−x+ 1)(x−2)(x+ 2).
8. f(x) = −x2+ 3x−2 2x−1 . EXERCICE no 2 (Construction d’une courbe)
Soitf la fonction de courbe représentativeCf définie surRparf(x) = x3
3 +x2−3x−4.
1. Vérifier quef′(x) =x2+ 2x−3.
2. Compléter le tableau de valeurs suivant :
a −5,5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 3,5
f(a) 2,7 5
f′(a) 5
3. Tracer les tangentes en−4,−3,−1, 1 et 2 puis construireCf dans un repère (O;−→ı;−→).
EXERCICE no 3 (QCM - Lecture graphique)
On considère une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle [−2 ; 10 ] représentée graphiquement par la courbe Cf ci-dessous. La droiteDest la tangente à Cf au pointB et les tangentes aux points C etE sont parallèles à l’axe des abscisses.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
b b b
B C
E Cf
D
1. Quelle est la valeur def(2) ?
a.f(2) = 0 b.f(2) = 4,38 c.f(2) = 4,5
2. Quelle est la valeur def′(0) nombre dérivé def en 0 ?
a.f′(0) = 2,5 b.f′(0) = 2 c.f′(0) = 0,5
3. Quel est l’ensembleS des solutions de l’équationf(x) = 0 ?
a.S=∅ b.S={ −1 ; 6 ; 10} c.S={ 2 ; 8}
4. Quelle est l’équation réduite de la droiteD?
a.y= 2,5x+ 4 b.y=−2x+ 2,5 c.y= 2x+ 2,5
5. Quel est l’ensembleS′ des solutions de l’inéquationf′(x)>0 ?
a.S = ] 2 ; 8 [ b.S = [−2 ; 2 [∪] 8 ; 10 ] c.S={ 2 ; 8}
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TaleST I Calcul différentiel Lundi 17 novembre 2008
Correction DS n˚4
EXERCICE no 1
1. f′(x) = 2×15x14−3×2x−5×1 + 0 = 30x14−6x−5.
2. f′(x) = 2×−1
x2 + 3× 1 2√
x−0 =−2 x2 + 3
2√ x. 3. f(x) = 8
8x−3
8 =x−3
8 donc : f′(x) = 1.
4. f(x) =−2x−6 donc : f′(x) =−2×(−6)x−7= 12 x7.
5. f′(x) = (6x−1)(−2x+ 4) + (3x2−x)(−2) =−12x2+ 24x+ 2x−4−6x2+ 2x=−18x2+ 28x−4.
6. f(x) = 3x2 x −x
x+ 2
x= 3x−1 + 2
x donc : f′(x) = 3− 2 x2.
7. f(x) = (−2x+ 2)(x2−4) =−2x3+ 8x+ 2x2+ 8 donc : f′(x) =−6x2+ 4x+ 8.
8. f′(x) =(−2x+ 3)(2x−1)−(−x2+ 3x−2)(2)
(2x−1)2 = −4x2+ 2x+ 6x−3 + 2x2−6x+ 4
(2x−1)2 = −2x2+ 2x+ 1 (2x−1)2 . EXERCICE no 2
1. On vérifie quef′(x) = 3x2
3 + 2x−3 =x2+ 2x−3.
2. Tableau de valeurs :
a −5,5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 3,5
f(a) −12,7 −5,7 2,7 5 3,3 −0,3 −4 −5,7 −3,3 5 12
f′(a) 16,25 12 5 0 −3 −4 −3 0 5 12 16,25
3. Graphique :
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
2 4 6 8 10
−2
−4
−6
−8
−10
−12
Cf
b b b b b b b
EXERCICE no 3 Réponses du Q.C.M. :
1. b. 2. b. 3. b. 4. c. 5. b.
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