La réunion de famille
Problème E341 de Diophante
Proposé par Raymond Bloch
Monsieur X et son épouse sont d’heureux grands-parents, qui organisent une grande réunion de famille.
Tous les participants ont des âges différents (exprimés en années entières).
Avec onze ans de plus que son épouse, Monsieur X est le plus âgé mais il est loin d’être centenaire.
À la petite table sont installés les six plus jeunes dont la somme des âges est un carré parfait. À la grande table se trouvent les adultes et les adolescents dont les âges sont égaux à tous les produits des âges des plus jeunes pris deux à deux.
Déterminer les âges de tous les membres de cette famille et justifer l’unicité de la solution.
Solution
Les enfants ont respectivement : 3, 4, 5, 6, 7, 11 ans et les autres 12, 15, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 33, 35, 42, 44, 55, 66, 77 ans.
On considère que l’adolescence commence à 12 ans. On note a, b, c, d, e, f les âges des enfants par ordre croissant.
Afn de justifer l’écart de 11 ans entre les deux époux, il est nécessaire que f = 11 et que e - d = 1. Ainsi : e ≤ 8 car l’âge d*f de X est bien inférieur à 100.
Si a = 2 alors b ≥ 6 et {b, c, d, e} est une partie de {6, 7, 8, 9, 10} : le total des âges se situe entre 43 et 47 ans. Ce ne peut être un carré.
D’où : 3 ≤ a < b < c < d < e ≤ 8
L’hypothèse e = 8 entraine d = 7 et {a, b, c} partie {3, 4, 5, 6}. La somme des âges se situe entre 38 et 41. Ce ne peut être un carré.
Seule reste la possibilité : (a, b, c, d, e, f) = ( 3, 4, 5, 6, 7, 11) dans laquelle le total des âges est le carré 36 !
