Casse-tête de novembre 2009
O étant le milieu du segmentBE, nous construisons les triangles équilatéraux AF M etBN O. Leurs cercles circonscrits traversés par le segmentM N donnent P et Q. Nous avons M P = AP +P F et N Q = BQ+QO (théorème de Ptolémée), et le tracé en rouge mesure alors la même distance que le segment M N.De plus,M N2=
c√ 3
2 +c+c√432 + c42
(théorème de Pythagore dans le triangle rectangleM RN),d’oùM N =c2p
11 + 6√
3 oùcdésigne la longueur du côté du carréABEF (soitc= 8 dans le cas présent).
E B
F A
M O
N N A
P Q
R
Par symétrie de centre O, le tracé reliant les 6 villes mesure 8p
11 + 6√ 3 ≈ 37,001 km.
Note : pour autant nous ne montrons pas qu’il s’agit bien du minimum. Il s’agit d’un problème d’arbre minimal de Steiner, difficile car de classe NP-complet, même s’il existe des algorithmes heuristiques plutôt efficaces pour approcher la solution ; un tel arbre minimal utilise des points intermédiaires formant des angles de 120°.
Webographie : Steiner trees on a Checkerboard et Steiner trees for ladders
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