D401- Comment recouvrir un carré avec k carrés de dimension unité
Solution
Plus grand carré (tracé rouge) qui peut être recouvert par 3 carrés de dimension unité et de couleurs bleu, jaune et vert.
Deux tentatives représentées ci-après : la figure de gauche donne un carré rouge de côté (1 2)/2=1,2071… tandis que la figure de droite donne un carré rouge de dimension 3 2/4=1,0606.. manifestement
insatisfaisante.
La bonne tentative consiste à faire chevaucher légèrement les deux carrés bleus et verts et à placer la diagonale du carré jaune selon l’axe de symétrie de ces deux carrés. Le côté du carré rouge est alors égal à
(1 5)/2 qui est la racine carrée du nombre d’or = 1,2720…
Plus grand carré (tracé rouge) qui peut être recouvert par 7 carrés de dimension unité et de couleurs bleu, jaune et vert
Le recouvrement optimal se présente comme suit avec un carré rouge de dimension 2
/ 3 4 /
11 =4,8713…
Plus grand carré (tracé rouge) qui peut être recouvert par 8 carrés de dimension unité et de couleurs jaune et vert
Le recouvrement optimal se présente comme suit avec un carré rouge de dimension 2
2
3 = 5,8284..
Plus grand carré (tracé rouge) qui peut être recouvert par 13 carrés de dimension unité et de couleurs jaune et vert
Le recouvrement optimal se présente comme suit avec un carré rouge de dimension 2
/ 6 2 /
11 = 9,74264…
Sources : Erich Friedman sur son site Mathmagic, Trevor Green, David Paterson
