D1980 VARIATION SUR UN THEME CONNU
Etant donné un triangle ABC et une droite (L),on projette orthogonalement A, B, C sur (L) en respectivement A', B', C'. On sait d’après le problème n°1 de D1959 que la perpendiculaire à BC passant par A', la perpendiculaire à CA passant par B' et la perpendiculaire à AB passant par C' ont un point commun P.
1) Montrer que lorsque (L) pivote autour d'un point fixe O donné le point P décrit une ellipse.
2) Cette ellipse peut-elle être un cercle ?
3) Pour quels points O cette ellipse est-elle réduite à un segment?
Q1) Les projections B' et C' de B et C sur L décrivent les cercles de diamètres OB et OC qui se recoupent au point E projection du point fixe O sur BC.
Le triangle variable B'EC' reste semblable au triangle fixe B''EC'' où B'' et C'' sont les milieux de OB et OC. Les angles de vecteurs (B''C'', B''B') et ((B''C'', C''C') sont égaux à une constante près.
Dans un repère où l'axe des abscisses passerait par B' en étant perpendiculaire à AC, et l'axe des ordonnées passerait par C'' en étant perpendiculaire à AB, on aurait xP = xC' et yP = yB'. Le
mouvement de P peut être considéré comme composé de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux de même période : P décrit une ellipse. Cette ellipse s'inscrit dans un parallélogramme dont les côtés sont portés par les tangentes au cercle (B'') perpendiculaires à AC, et au cercle (C'') perpend.. à AB.
Q2) Cette ellipse admet trois diamètres de longueurs respectives OB,OC,OA. Pour qu'elle soit un cercle, il est nécessaire que OB = OC = OA. Si une ellipse admet trois diamètres de même longueur et de directions deux à deux distinctes ( le triangle ABC n'est pas aplati ) cela suffit à en faire un cercle.<<'L'ellipse décrite par P est un cercle >> équivaut à << O est centre du cercle circonscrit au triangle ABC ' >>. C'est ce qui a été choisi pour la figure ci-dessus.
Q3) Cette ellipse passe par les projections orthogonales de O sur les 3 côtés du triangle ABC.
Si l'ellipse est un segment de droite, ces trois points sont alignés et réciproquement si trois points deux à deux distincts appartiennent à l'ellipse, elle est réduite à un segment de droite.
Cela équivaut à << O est sur le cercle circonscrit au triangle ABC >> . Le segment de droite est alors porté par la droite de Simson du point O.
