A311 – Réfractaires aux palindromes Solution
Question n°1
On appelle RP tout nombre N qui est réfractaire aux palindromes, c’est à dire qu’il ne mène jamais à un palindrome par les opérations successives de la forme N + M(N) où M(N) désigne le nombre miroir de N obtenu en écrivant N de droite à gauche.
Comme le nombre 196 est RP, tout nombre engendré par lui ainsi que le nombre miroir associé sera également RP. On en déduit immédiatement que 691, 196 + 691 = 887 et 788 sont RP.
Pour trouver d’autres entiers N de la catégorie RP, on recherche les solutions de N + N(M) = 691, 788, 887, 788+887 = 1675 avec N de la forme abc < 1000.
On constate que seules les valeurs 887 et 1675 donnent des solutions.
N + M(N) = 887 (100a+10b+c) + (100c+10b+a) = 101(a+c)+20b = 887 a+c=7 et b=9.
D’où les nombres de la catégorie RP : 295, 592, 394, 493 et 790.
N + M(N) = 1675 (100a+10b+c) + (100c+10b+a) = 101(a+c) + 20b = 1675 a+c=15 et b=8. D’où deux nombres supplémentaires de la catégorie RP: 689 et 986.
Nota : il existe 13 nombres entiers inférieurs à 1000 qui sont de la catégorie RP. Onze ont été trouvés et sont apparentés à 196 :196, 295, 394, 493, 592, 689, 691,788, 790, 887 et 986 . Les 12ème et 13ème 879 et 978 n’ont pas de parenté proche, semble-t-il avec 196.
Question n°2
Le premier nombre en écriture binaire qui est RP est 10110 (22 en écriture décimale).
Il est facile de vérifier que très rapidement les descendants de 10110 sont de la forme N = 1011…(n fois)…11010…(n+3 fois)….0 avec M(N)=1011…(n fois)….1
Après deux itérations on obtient : N = 1011…(n+1 fois)…11010…(n+4 fois)….0 avec M(N)=1011…(n+1 fois)….1.
Le processus est bien sans fin.
