D189. Les bissectrices prennent leur pied Solution proposée par Abdel-Ilah Echchilali

D189. Les bissectrices prennent leur pied Solution proposée par Abdel-Ilah Echchilali

1- Les perpendiculaires à BC et AC passant par R,pied de la bissectrice issue de C ,coupent ces côtés respectivement en R₁ et R2.

R étant sur la bissectrice de l’angle C, nous avons donc (1)RR₁ RR₂

- Les perpendiculaires à AB et AC passant par Q, pied de la bissectrice issue de B , coupent ces côtés respectivement en Q₁ et Q₂.

Q étant sur la bissectrice de l’angle C, nous avons donc (2)QQ₁ QQ₂

Si le triangle PQR est équilatéral on a donc (3)RQ RPQP

(1) et (3) impliquent que les triangles RQR₁ RPR₂ On en déduit l’égalité des angles suivante RQˆR R PˆR

2

1 

(2) et (3) impliquent que les triangles RQQ₁  PQQ₂. On en déduit l’égalité des angles suivante QRˆQ Q PˆQ

2

1 

Dans le triangle ARQ nous avons la somme des angles égale à . R

P R Q P Q A R

Q R Q R Q A Q R

Aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

1

1     







 

Nous avons aussi Q₂PˆQQPˆRRPˆR₂  On en deduit donc que Aˆ QPˆR/3

2-Le fait que le point D appartient au cercle circonscrit du triangle ABC équivaut a dire que l’angle D vaut 120 degrés.

On trace les perpendiculaires aux cotés CB et CD passant par le pied T de la bissectrice de l’angle C. Les pieds respectifs sont T₁ et T₂.

2

1 TT

TT  .

L’angle D valant BDˆC2/3, l’angle extérieur vaut donc B

D U B

D

T ˆ 2 /3 /3 ˆ

2      . DB est donc la bissectrice de l’angle T DˆU

2 , a

laquelle appartient le point T. Si T₃ ets le pied de la perpendiculaire a DU passant par T, alors on a aussi TT₃ TT₂ TT₁.

, ,

, _{1 3}

1

3 TT TT UDTT UB

TT    équivaut a dire que T est un point de la bissectrice de l’angle DUˆ . B

2 ˆ 3 2

2 ˆ / ˆ 2

ˆ DUˆB B D B

T U

D    



  

De la même façon, on démontre que

2 ˆ 3

ˆ C

S U

D    . Dans le triangle UST on l’angle U est egal donc a :

2 2

3 / 3 2 2

ˆ ˆ 3 2 2

ˆ 3 2

ˆ 3 ˆ ˆ

ˆ      B C    BC _  _ _  S

U D T U D U

le triangle UST est donc un triangle droit.