Les bissectrices prennent leur pied
Problème D189 de Diophante
Dans ce triangle ABC où Q et R sont les pieds des bissectrices issues de B et de C sur les côtés opposés, il existe un point P sur BC tel que PQR est un triangle équilatéral. En déduire la valeur de l’angle en A.
Sur l’arc BC du cercle circonscrit à ABC, on trace un point D quelconque de l’autre côté de A par rapport à BC. Dans le triangle BCD, les points S,T et U sont les pieds des bissectrices du triangle BCD issues de B, C et D sur les côtés opposés.
Démontrer que le triangle STU est rectangle.
Solution
La bissectrice BQ est aussi la médiatrice de PR car cette
médiatrice est le lieu des points d’où l’on voit PQ et RQ sous le même angle.
De même, la bissectrice CR est aussi la médiatrice de PQ.
Ainsi u + v = 60° et l’angle en A vaut 180° - 2 (u + v) = 60°
Puisque l’angle BAC vaut 60°, l’angle BDC vaut 120°.
120°
B
J I
U
T S
D
C L
K
W
Les bissectrices extérieures en B et en C coupent CD en I et BD en J. Il est facile de voir que les triangles équilatéraux bâtis sur TI et SJ ont leurs troisièmes sommets K et L sur BC.
Il est facile aussi de voir que IT et JS sont perpendiculaires mais je n’arrive pas à montrer que ces droites se coupent en U. Dit d’une autre façon : pourquoi les angles WSU et WTU valent-ils 30° ?
